高中数学解题技巧-数列放缩Word文档下载推荐.doc
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而正是成立的,所以原命题成立.
例6.已知,,求证:
所以
从而
例7.已知,,求证:
证明:
因为
所以
所以
二、函数放缩
例8.求证:
解析:
先构造函数有,从而
因为
例9.求证:
(1)
解析:
构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式:
例10.求证:
提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:
从而,
取有,,
所以有,,…,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有取有,,
所以有,所以综上有
例11.求证:
和.
构造函数后即可证明
例12.求证:
叠加之后就可以得到答案
(加强命题)
例13.证明:
解析:
构造函数,求导,可以得到:
令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14.已知证明.
解析:
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路:
。
于是,
即
注:
题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;
当然,本题还可用结论来放缩:
,
例15.(2008年厦门市质检)已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.(I)求证:
函数上是增函数;
(II)当;
(III)已知不等式时恒成立,
求证:
(I),所以函数上是增函数
(II)因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
(3)
……
相加后可以得到:
所以令,有
所以
(方法二)
又,所以
例16.(2008年福州市质检)已知函数若
设函数
∴函数)上单调递增,在上单调递减.
∴的最小值为,即总有
而
即
令则
例17.⑴设函数,求的最小值;
⑵设正数满足,证明
.
对函数求导数:
当在区间是减函数,
当在区间是增函数.
所以时取得最小值,,
(Ⅱ)证法一:
用数学归纳法证明.
(i)当n=1时,由(Ⅰ)知命题成立.
(ii)假定当时命题成立,即若正数,
则
当时,若正数令
则为正数,且由归纳假定知
①
同理,由可得
②
综合①、②两式
即当时命题也成立.
根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立.
证法二:
令函数
利用(Ⅰ)知,当
对任意
.①
下面用数学归纳法证明结论.
(i)当n=1时,由(I)知命题成立.
(ii)设当n=k时命题成立,即若正数
由①得到
由归纳法假设
即当时命题也成立.
所以对一切正整数n命题成立.
例18.设关于x的方程有两个实根,且,定义函数若为正实数,证明不等式:
当
上为增函数
由可知同理可得
又由(Ⅰ)知
三、分式放缩
姐妹不等式:
和记忆口诀”小者小,大者大”
解释:
看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19.姐妹不等式:
和也可以表示成为
和
利用假分数的一个性质可得
例20.证明:
运用两次次分式放缩:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
例21.求证:
例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编)在平面直角坐标系中,轴正半轴上的点列与曲线(≥0)上的点列满足,直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.
(1)证明>
>
4,;
(2)证明有,使得对都有<
(1)依题设有:
,由得:
又直线在轴上的截距为满足
显然,对于,有
(2)证明:
设,则
设,则当时,
所以,取,对都有:
故有<
成立。
例23.(2007年泉州市高三质检)已知函数,若的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列满足,记数列的前项和为,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数都有?
并证明你的结论。
首先求出,∵
∴,∵,,…
故当时,,
因此,对任何常数A,设是不小于A的最小正整数,则当时,必有.
故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.
例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:
.
解析:
容易得到,所以,要证只要证,因为
所以原命题得证.
五、迭代放缩
例25.已知,求证:
当时,
通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论
例26.设,求证:
对任意的正整数k,若k≥n恒有:
|Sn+k-Sn|<
又所以
六、借助数列递推关系
例27.求证:
设则
从而,相加后就可以得到
例28.求证:
例29.若,求证:
所以就有
七、分类讨论
例30.已知数列的前项和满足证明:
对任意的整数
,有
解析:
容易得到,
由于通项中含有,很难直接放缩,考虑分项讨论:
当且为奇数时
(减项放缩),于是
①当且为偶数时
②当且为奇数时(添项放缩)由①知由①②得证。
八、线性规划型放缩
例31.设函数.若对一切,,求的最大值。
由知即
由此再由的单调性可以知道的最小值为,最大值为
因此对一切,的充要条件是,
即,满足约束条件,
由线性规划得,的最大值为5.
九、均值不等式放缩
例32.设求证
此数列的通项为,,
①应注意把握放缩的“度”:
上述不等式右边放缩用的是均值不等式,若放成则得,就放过“度”了!
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
其中,等的各式及其变式公式均可供选用。
例33.已知函数,若,且在[0,1]上的最小值为,求证:
例34.已知为正数,且,试证:
对每一个,.
由得,又,故,而,
令,则=,因为,倒序相加得=,
而,
则=,所以,即对每一个,.
例35.求证
不等式左=,
原结论成立.
例36.已知,求证:
经过倒序相乘,就可以得到
例37.已知,求证:
其中:
因为
所以
从而,所以.
例38.若,求证:
因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号.
所以所以
例39.已知,求证:
解析:
例40.已知函数f(x)=x2-(-1)k·
2lnx(k∈N*).k是奇数,n∈N*时,
求证:
[f’(x)]n-2n-1·
f’(xn)≥2n(2n-2).
由已知得,
(1)当n=1时,左式=右式=0.∴不等式成立.
(2),左式=
令
由倒序相加法得:
,
所以所以综上,当k是奇数,时,命题成立
例41.(2007年东北三校)已知函数
(1)求函数的最小值,并求最小值小于0时的取值范围;
(2)令求证:
★例42.(2008年江西高考试题)已知函数,.对任意正数,证明:
.
对任意给定的,,由,
若令,则①,而②
(一)、先证;
因为,,,
又由,得.
(二)、再证;
由①、②式中关于的对称性,不妨设.则
(ⅰ)、当,则,所以,因为,
,此时.
(ⅱ)、当③,由①得,,,
因为所以④
同理得⑤,于是⑥
今证明⑦,因为,
只要证,即,也即,据③,此为显然.
因此⑦得证.故由⑥得.综上所述,对任何正数,皆有.
例43.求证:
(法二)
另一方面:
十、二项放缩
,
例44.已知证明
例45.设,求证:
数列单调递增且
引入一个结论:
若则(证略)
整理上式得()
以代入()式得即单调递增。
以代入()式得
此式对一切正整数都成立,即对一切偶数有,又因为数列单调递增,所以对一切正整数有。
注:
①上述不等式可加强为简证如下:
利用二项展开式进行部分放缩:
只取前两项有对通项作如下放缩:
故有
②上述数列的极限存在,为无理数;
同时是下述试题的背景:
已知是正整数,且
(1)证明;
(2)证明(01年全国卷理科第20题)
简析对第
(2)问:
用代替得数列是递减数列;
借鉴此结论可有如下简捷证法:
数列递减,且故即。
当然,本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!
详见文[1]。
例46.已知a+b=1,a>
0,b>
0,求证:
因为a+b=1,a>
0,可认为成等差数列,设,
从而
例47.设,求证.
观察的结构,注意到,展开得
,
即,得证.
例48.求证:
参见上面的方法,希望读者自己尝试!
)
例42.(2008年北京海淀5月练习)已知函数,满足:
①对任意,都有;
②对任意都有.
(I)试证明:
为上的单调增函数;
(II)求;
(III)令,试证明:
本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
(1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为,所以可以得到,
也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数.
(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先发现条件不是很足,,尝试探索看看按
(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由
(1)可知,令,则可以得到,又,所以由不等式可以得到,又,所以可以得到①
接下来要运用迭代的思想:
因为,所以,,②
,,
在此比较有技巧的方法就是:
所以可以判断③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.所以,综合①②③有=
(3)在解决的通项公式时也会遇到困难.
所以数列的方程为,从而,
一方面,另一方面
所以,所以,综上有.
例49.已知函数f(x)的定义域为[0,1],且满足下列条件:
①对于任意[0,1],总有,且;
②若则有
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)求证:
f(x)≤4;
(Ⅲ)当时,试证明:
(Ⅰ)解:
令,由①对于任意[0,1],总有,∴
又由②得即∴
(Ⅱ)解:
任取且设则
因为,所以,即∴.∴当[0,1]时,.
(Ⅲ)证明:
先用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,,不等式成立;
(2)假设当n=k时,
由得
即当n=k+1时,不等式成立由
(1)、
(2)可知,不等式对一切正整数都成立.
于是,当时,,而[0,1],单调递增
∴所以,
例50.已知:
求证:
构造对偶式:
令
=
又(
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指,定义在上的可积函数,则.
例51.求证:
解析:
,∵,
时,,,∴,.
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和.
例52.求证:
,.
解析:
考虑函数在区间上的定积分.
如图,显然-①
对求和,
例53.已知.求证:
考虑函数在区间上的定积分.
∵-②∴.
例54.(2003年全国高考江苏卷)设,如图,已知直线及曲线:
,上的点的横坐标为().从上的点作直线平行于轴,交直线于点,再从点作直线平行于轴,交曲线于点.的横坐标构成数列.
(Ⅰ)试求与的关系,并求的通项公式;
(Ⅱ)当时,证明;
(Ⅲ)当时,证明.
(过程略).
证明(II):
由知,∵,∴.∵当时,,
∴.
证明(Ⅲ):
由知.∴恰表示阴影部分面积,
显然④∴.
将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如:
①;
②;
③;
④.
十二、部分放缩(尾式放缩)
例55.求证:
例56.设求证:
又(只将其中一个变成,进行部分放缩),,
例57.设数列满足,当时证明对所有有;
用数学归纳法:
当时显然成立,假设当时成立即,则当时
,成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项,可得
注:
上述证明用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:
;
证明就直接使用了部分放缩的结论
十三、三角不等式的放缩
例58.求证:
(i)当时,
(ii)当时,构造单位圆,如图所示:
因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积
所以可以得到
当时
所以当时有
(iii)当时,,由(ii)可知:
所以综上有
十四、使用加强命题法证明不等式
(i)同侧加强
对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.
例59.求证:
对一切,都有.
当然本题还可以使用其他方法,如:
所以.
(ii)异侧加强(数学归纳法)
(iii)双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明,只要证明:
例60.已知数列满足:
求证:
从而,所以有
所以
又,所以,所以有
所以综上有
引申:
已知数列满足:
由上可知,又,所以
从而
又当时,,所以综上有.
同题引申:
(2008年浙江高考试题)已知数列,,,.
记,.求证:
当时.
(1);
(2);
★(3).
(1),猜想,下面用数学归纳法证明:
(i)当时,,结论成立;
(ii)假设当时,,则时,
从而,所以所以综上有,故
(2)因为则,,…,,相加后可以得到:
所以,所以
(3)因为,从而,有,所以有
从而
所以
所以综上有.
例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列的首项,,.
(1)证明:
对任意的,,;
(2)证明:
(1)依题,容易得到,要证,,,
即证
即证,设所以即证明
从而,即,这是显然成立的.
所以综上有对任意的,,
(法二)
原不等式成立.
(2)由
(1)知,对任意的,有
取,
则.
原不等式成立.
十四、经典题目方法探究
探究1.(2008年福建省高考)已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:
证明:
可以得到.先证明
(方法一)
所以
(方法二)因为,相乘得:
从而.
(方法三)设A=,B=,因为A<
B,所以A2<
AB,
所以,从而.
下面介绍几种方法证明
(方法一)因为,所以,所以有
(方法二),因为,所以
令,可以得到,所以有
(方法三)设所以,从而,从而
又,所以
(方法四)运用数学归纳法证明:
(i)当时,左边=,右边=显然不等式成立;
(ii)假设时,,则时,
所以要证明,只要
证明,这是成立的.
这就是说当时,不等式也成立,所以,综上有
探究2.(2008年全国二卷)设函数.如果对任何,都有,求的取值范围.
设,则,
因为,所以
(i)当时,恒成立,即,所以当时,恒成立.
(ii)当时,,因此当时,不符合题意.
(iii)当时,令,则故当时,.
因此在上单调增加.故当时,,
即.于是,当时,
所以综上有的取值范围是
变式:
若,其中且,,求证:
证明:
容易得到由上面那个题目知道
就可以知道
★同型衍变:
(06年全国一卷)函数.若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>
1,求a的取值范围.
函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),导数为.
(ⅰ)当0<
a≤2时,f(x)在区间(-∞,1)为增函数,故对于任意x∈(0,1)恒有f(x)>
f(0)=1,因而这时a满足要求.
(ⅱ)当a>
2时,f(x)在区间(-,)为减函数,故在区间(0,)内任取一点,比如取,就有x0∈(0,1)且f(x0)<