多元函数微分学总结Word文档下载推荐.doc

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在点连续。

2.偏导数的概念

二元函数的偏导数的概念：

设在点的某一邻域内有定义,

如果极限存在,则称此极限为函数在点处对x的偏导数,记作,,,或。

如果极限存在,则称此极限为函数在点处对y的偏导数，记作,,,或fy（x0,y0）.

例4设则函数在原点偏导数存在的情况是

（研）

解：

应选【C】

因为，

故，所以。

所以。

故选【C】。

【评注】开算数根也即含绝对值也即为分段函数，必要时需要用偏导数定义

讨论偏导数，与一元函数类似，是重要考点。

例5设,则

（2008-北京赛）.

【分析】为了利用偏导数的定义求出和，需要写出函数的表达式，为此要想到利用结论：

其中。

其中

从而，

故。

【评注】此例中这种把极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。

3.全微分概念及以上几个概念之间的关系

二元函数全微分的概念：

如果函数在点（x,y）的全增量

可表示为

则称函数在点（x,y）可微分,而称ADx+BDy为函数在点（x,y）的全微分,记作dz,即

关系：

偏导连续可微偏导存在；

可微连续；

但偏导存在可微；

连续偏导存在

【评注】一元函数微分学的有些结论不能搬到多元函数微分学中。

例6设，

（1）在（0，0）点是否连续？

（2）求；

（3）在（0，0）点是否可微；

（4）在（0，0）点是否连续。

（天津工业大学竞赛题）

【分析】讨论分段函数在分段点的偏导数及全微分必须利用偏导数和全微分的定义。

解

（1）由夹逼准则，

，故

（2）当时

当，利用偏导数的定义得

故

同理可得

（3）为了考察在点是否可微，我们来考察

是否为的高阶无穷小，因为

故，即

所以在点可微。

（4）由于不存在，所以

【评注1】利用偏导数和全微分的定义讨论函数偏导数的存在性和可微性，既是重点也是难点，需掌握。

【评注2】若在点连续，且偏导数存在，则判别在点是否可微，需考察是否为的高阶无穷小。

【评注3】此例验证了偏导数连续是可微的充分条件，而非必要条件。

【评注4】注意这几个概念之间的关系与一元函数的有关结论的不同之处。

例7设函数,其中在点（0,0）的一个邻域内连续,证明:

在点（0,0）处可微的充要条件为。

（2007-天津赛）

（必要性）已知在点（0,0）处可微，故与都存在。

而

其中由于存在，故。

（充分性）已知，类似于必要性的过程容易推出欲证在点（0,0）处可微，只需证

注意到：

，

所以。

又，由夹逼定理知。

从而在点（0,0）处可微，并且。

【评注】此题是一元函数中的重要结论“设在点连续，则在可导的”在多元函数中的推广，但证明过程要比一元函数复杂的多。

题型2多元函数的偏导数的计算

1.复合函数求导

例8设函数，则（2011-研）

，为了计算简便，由偏导数的定义，可得

。

【评注】同时

，同时，

利用后者往往可以大大简化计算，此例的解答就是利用的后者。

例9设，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数。

求。

（2005-天津赛）

【分析】本题是典型的利用复合函数求导法则求二阶偏导数的常规题。

【评注1】多元复合函数的求导法则是重点，应理解链式法则的内涵。

常见的链式法则有：

①：

②：

③：

④z=f（u,x,y）,且u=j（x,y）：

.

其它情形可以此类推，此例中就涉及到①和③。

【评注2】若具有二阶连续偏导数，则,注意将此两项进行合并.

例10设，这里可导且具有连续偏导数，求.

【评注】注意区分何时该用全导数记号，何时该用偏导数记号。

例11设，.

由上述表达式可知为自变量,所以

【评注】类似于一元函数，对于多层的复合关系，先要分清变量间的关系，然后逐层利用复合函数的链式法则即可。

例12设变换把方程化为，试确定.（2003-天津赛）。

【分析】利用变量替换，借助求解多元复合函数的偏导数使方程变形，是常见题型，这里注意把握好与中间变量及自变量的树形关系：

计算一、二阶偏导数：

，

代入方程，得到

以题意有，所以.

例13设二元函数具有二阶偏导数，且，证明的充要条件为：

（2009-天津赛）

（必要性）若，

则，显然有。

（充分性）若，则，

由于，所以

即，因此不含，故可设。

从而有

即。

【评注】此题的难点在充分性的证明上，注意是涉及到了关于商的偏导数运算法则的逆运算，看似简单，实际上非常能考察大家的基本功。

2.隐函数求导

例14设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在此邻域内该方程（）

（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数；

（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数和；

（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数和；

（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数和。

（2005-研）

应选[D]

令

显然在点的一个邻域内具有连续的偏导数导数，且,而

故可确定两个具有连续偏导数的隐函数和。

【评注】本题考查了对隐函数存在定理的三个条件及结论的理解。

例15设是由所确定的二元函数，求：

，。

（2010-天津赛）。

【分析】此例是最基本的隐函数求导问题，可以直接利用隐函数的求导公式：

，也可以方程两边分别对x，y求偏导数。

解1：

利用隐函数的求导公式。

令，则由隐函数的求导公式得

，，

解2:

将等式两边分别对x，y求偏导数：

【评注】一般地，若利用，求隐函数的二阶偏导数时，应注意到仍然是的函数，需进一步利用复合函数的求导法则去求，这是难点。

例16设函数是由方程确定的隐函数，其中具有连续的二阶偏导数，且求证：

和。

（2011-北京赛）

，

，由于

将等式两边分别对求偏导数，得到

，即

，即，

将上面的第一个式子两边同乘第二个式子两边同乘，然后相加并注意到和，得到。

【评注】在证明第二个等式时，若先利用的表达式去求三个二阶偏导数，再代入待证明的等式的左端，显然很麻烦，而设法利用第一问的结果，两边同时对求偏导，问题便迎刃而解了。

例17设，，，其中具有连续的一阶偏导数，且，求.（2002-天津赛）

【分析】在求导之前要先分析清楚变量之间的关系，对于此题，变量都为的一元函数。

三式两端同时对求全导数得：

整理可得：

【评注】分清函数关系后，此题也可以视为是利用方程组求导数的方法求得的隐函数的导数。

例18设，其中具有一阶连续偏导数，求

【分析】这是典型的由方程组组成的隐函数的求导问题，方程组两边直接对求偏导数即可。

方程组两端同时对求偏导得：

由此可知，当时有

，.

题型3多元函数微分学在几何中的应用

1.空间曲线的切线和法平面方程

例19曲线在点处的切线方程为.（2003-天津赛）

方程组两边对求全导数得，解之得，

从而，故。

【评注】一般地，若G：

，则在处，；

若G：

，则在处，切向量；

，则在点，（注意条件），此例题属第三种情形。

例20螺旋线上与平面平行的切线有（）

（A）1条；

（B）2条；

（C）3条；

（D）4条.（2012-天津赛）

应选（B）

依题意，即，故，

所以，

故切线方程为。

【评注】此题的切向量属例19【评注】中的第一种情形。

例21设函数在点附近有定义，且，则

；

曲面；

曲线在点处的切向量为;

（2001-研）

应选

函数在点的两个偏导数存在，并不一定能保证函数在点可微，因此不正确。

由于偏导数存在不一定能保证曲面在相应点处存在切平面，即便切平面存在，其，故不正确。

曲线的参数方程为，从而其切向量为，故正确。

【评注】此题的概念性很强，所涉及的知识点也较多，易犯的典型错误是选。

2.空间曲面的切平面和法线方程

例22曲面与平面平行的切平面的方程是。

（2003-研）

【分析】待求平面的法矢量为，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与平行确定.

解令，则

，，.

设切点坐标为，则切平面的法矢量为，其与已知平面平行，因此有

可解得，相应地有

故所求的切平面方程为

，即。

【评注1】两平面平行，则它们的法向量成比例，但并不一定相等。

【评注2】一般地，若曲面方程为，则在点，切平面的法向量。

例23求曲面，在处的切平面方程。

【分析】S为曲面的参数方程，分别将代人曲面S的方程中，得在曲面上过点的两条空间曲线方程，这两条曲线在点的切线所确定的平面就是所求的切平面。

将代人S的方程，得曲面上一点，

将代人曲面方程得在曲面上的一条空间曲线的参数方程，其切向量为，将代人曲面方程得在曲面上的另一条空间曲线的参数方程，其切向量为，从而切平面的法向量为

，故所求的切平面方程为

例24在椭球面上求一切平面，它在坐标轴的正半轴截取相等的线段。

【分析】只需按题设要求一步一步去做即可，关键是建立完切平面方程后，应注意到切点满足椭球面方程，最好把切平面方程化简成平面的截距式方程。

设，切点为，，，，故该点处切平面的法向量为，

切平面方程为，即。

依题意，有截距，即。

由于切点在椭球面上，故有，即，

从而解得，

于是有。

切平面方程为。

题型4与函数的全微分、方向导数和梯度有关的题

例25设函数可微,且,则在点（1,2）处的全微分（研）

【评注】一般地，若则；

若则。

例26.设函数由方程所确定，则

（2006-天津赛）.

解1:

解2：

由全微分形式不变性，得，故。

【评注】求由隐函数所确定的函数的全微分时，既可以先利用隐函数的求导方法求出偏导数，再利用全微分的计算公式得，也可以利用全微分形式不变性得

例27函数在点处，沿点指向点方向的方向导数为（2005-天津赛）。

【评注】一般地，，

，其中是向量的方向余弦。

例28.函数在点处的梯度等于。

（2008-研）

【评注】一般地，；

例289求的值，使函数在点处沿轴正方向的方向导数有最大值64.

设，则，

故，

由方向导数与梯度的关系知，当的方向与梯度的方向一致时，方向导数达到最大值。

据题意有，故。

【评注】方向导数沿梯度的方向达到最大值，且其最大值为梯度的模。

题型5与多元函数极值有关的题

例30已知函数在点（0,0）的某个邻域内连续，且，则

（A）点（0,0）不是的极值点；

（B）点（0,0）是的极大值点；

（C）点（0,0）是的极小值点；

（D）无法判断点（0,0）是否为的极值点.

（研）

【分析】由题设，容易推知，因此点（0,0）是否为的极值，关键看在点（0,0）的充分小的邻域内是恒大于零、恒小于零还是变号.

应选（A）

由 知，分子的极限必为零，从而有,且充分小时），于是

特殊地，当且充分小时，；

而当且充分小时，.故点（0,0）不是的极值点，应选（A）.

【评注】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度.极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想（见例5的评注）。

例31设函数的全微分为，则点（0，0）

（A）不是的连续点 ；

（B）不是的极值点；

（C）是的极大值点 ；

（D）是的极小值点。

解;

应选（D）

因可得，

，，，又在（0，0）处，，

，，故（0，0）为函数的一个极小值点。

【评注】此题主要考察了极值的充分条件：

设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又，令

，则

①AC-B2>

0时具有极值,且当A<

0时有极大值,当A>

0时有极小值;

②AC-B2<

0时没有极值;

③AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值.。

例32设z=z（x,y）是由确定的函数，求的极值点和极值.

【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，为此先求出一阶偏导数，再令其为零即可确定驻点，然后用二元函数极值的充分条件确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点，并求出相应的极值.

因为，方程两边分别对求导数得

.

令得故

将上式代入，可得或

由于，

，

对于驻点，

，，，

故，又，从而点（9,3）是z（x,y）的极小值点，极小值为z（9,3）=3.

对于驻点，类似地，由

，，，

可知，又，从而点（-9,-3）是z（x,y）的极大值点，

极大值为z（-9,-3）=-3.

【评注】本题讨论了隐函数求极值问题，关键是：

求可能的极值点时应注意满足原方程，当然也可以利用公式及求两个偏导数，但由于此题需要求出二阶偏导数在驻点处的偏导数值，故在求时，还是用此例的方法运算量小。

例33设有二阶连续偏导数,,且,证明在取得极值,判断此极值是极大值还是极小值,并求出此极值.（2008-北京赛）

【分析】为证明在取得极值,必须找出在的各个二阶导数，为此需求出在点的一阶偏导数，由已知条件自然会想到利用微分的概念。

解：

因为,

由全微分的定义知，.

，，，

，

且,故是极大值.

【评注】此题考察了全微分的概念、复合函数的导数和极值的充分条件，是

概念性、综合性较强的题，当然在求二阶偏导数时，也可以利用偏导数的定义，事实上，这样做运算量会更小。

例34设二元函数在有界闭区域上可微，在的边界曲线上，并满足，求的表达式.（2005-天津赛）。

【分析】此题乍看好像无从下手，但题设条件：

在的边界曲线上给了我们思路，不妨大胆假设处处有，然后用反正法证之。

显然满足题目条件.下面用反证法证明只有满足题目条件.

事实上，假设不恒等于0，则至少存在一点，使得，不妨假设，由于在有界闭区域上可微，从而在有界闭区域上连续，也必在内至少存在一点，使为在上的最大值.因为在上可微，所以必有，于是得到.然而，由题设知，因此应有，这与的假设矛盾；

同理可证的情况.因此可知在D上。

【评注】此题的理论性、概念性比较强，主要考察了函数可微与偏导数存在、连续的关系及极值的必要条件：

设函数在点具有偏导数,且在点处有极值,则有，，注意极值的必要条件是重要考点。

例35设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是

（A）若，则.（B）若，则.

（C）若，则.（D）若，则.

（2006-天津赛）

【分析】利用二元函数条件极值的拉格朗日乘子法

应选（D）

作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则

，即.

因为，将代人第一个方程,得

　.

因此若，则.故应选（D）.

【评注】条件极值的拉格朗日乘子法是重要考点，一般它有以下几种情形：

①求函数在条件下取得极值的必要条件

可构造拉格朗日函数：

令，解之可得驻点。

②求函数在条件下取得极值的必要条件,

③求函数在条件下取得极值的必要条件

例36在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大.（2004-天津赛）

函数的方向导数表达式为：

其中：

，，为方向的方向余弦.因此

由题意即求函数在条件下的最大值.

设

令解之得以及，即得驻点为与.因最大值一定存在，故只需比较

，

的大小，由此可知即为所求.

【评注】此例属于例35中的【评注】②

例37求在椭圆域上的最大值和最小值.

【分析】在椭圆域上的最大值和最小值,可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值或一元函数在闭区间上的最值问题.

解：

令得可能极值点为，而

再考虑其在边界曲线上的情形

方法1：

利用拉格朗日函数乘子法

设，

令

得可能极值点；

代入得，比较，这三个值的大小，可得在区域上的最大值为3，最小值为-2.

方法2：

将条件极值转化为非条件极值，问题化为求一元函数在闭区间上的最值问题。

将代入，

得，

令，得驻点，比较，得在D的边界上的最大值为，最小值为将这两个值再与比较，可得在区域上的最大值为3，最小值为-2。

【评注】求二元函数在闭区域上的最值的步骤：

①令，得驻点为在闭区域内可能的极值点。

②求出在闭区域的边界上可能的极值点，将之记为.

③求出，比较这些点的函数值，最大者即为最大值，最小者，就是最小值

例38.试求上的最大值与最小值。

（研）

解.令,解得,.

当x=0时,在[－3,0]上的最大值为,最小值为。

当y=0时,在[－3,0]上的最大值为最小值为,

当时，将代人目标函数中得，，

当时z有最小值.即

当时z有最大值.即

比较上述各个函数值得：

=为最大值,为最小值.

【评注】此题的边界由三段直线组成，需分别讨论。

例39设圆含于椭圆的内部,且圆与椭圆相切于两点（即在这两点圆与椭圆都有公共切线）.

（1）求与满足的等式;

（2）求与的值,使椭圆的面积最小.（2011-天津赛）。

【分析】由圆和椭圆的图形及已知条件可知：

切点不在轴上，利用题设容易求出第一问，而第二问属于条件极值问题，显然第二问需要利用第一问的结论。

（1）设圆与椭圆相切于点,则既满足椭圆方程又满足圆方程,且在处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率,即.注意到因此,点应满足

由

（1）和

（2）式,得

（4）

由（3）式得代入（4）式

化简得或（5）

（2）按题意,需求椭圆面积在约束条件（5）下的最小值.

构造函数令

并注意到,可得.代入（8）式得

故从而

由此问题的实际可知,符合条件的椭圆面积的最小值存在,因此当时,此椭圆的面积最小.

例40设在内连续，在内连续有界，且满足条件：

（1）当时，，

（2）在内与有二阶连续偏导数，，证明：

在内恒成立（首届-全国决赛）。

【分析】关于多元函数不等式证明的方法不多，直接正面证明此题显然不好下手，可以考虑用反证法，再设法利用条件

（1）

（2）推出矛盾。

假设在内至少存在一点，使得。

令，据题设条件当时，，

又在半径小于1的任何闭区域上都连续，故在内必有最小值，设最小值在达到，这样，据反正假设，我们有，

另一方面，我们又有在内处处成立，特别地有：

，从而有，但是为的最小值点，由极值的充分条件知必有，，否则若，便会有，从而不是的极值点，这与为的最小值点矛盾，所以有，这又与矛盾，假设错误，故在内恒成立。

【评注】此题理论性较强，用到了闭区域上连续函数的性质和极