考研数二历年真题(2016-2003)文档格式.doc
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设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：
（1）；
（2）．
20．（本题满分11分）
设函数，定义函数列
，，
设是曲线，直线所围图形的面积．求极限．
21．（本题满分11分）
已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积．
22．（本题满分11分）
设，E为三阶单位矩阵．
（1）求方程组的一个基础解系；
（2）求满足的所有矩阵．
23．（本题满分11分）
证明阶矩阵与相似．
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案
一、选择题:
1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1、下列反常积分中收敛的是（）
（A）（B）（C）（D）
2、函数在内（）
（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点（D）有无穷间断点
3、设函数，若在处连续，则（）
（A）（B）（C）（D）
4、设函数在连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
5、设函数满足，则与依次是（）
（A）,0（B）0，（C）-,0（D）0,-
6、设D是第一象限中曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则=（）
（A）（B）
（C）（D）
7、设矩阵A=，b=,若集合Ω=，则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为（）
（A）（B）（C）（D）
8、设二次型在正交变换下的标准形为其中，若，则在正交变换下的标准形为（）
（A）（B）（C）（D）
二、填空题：
9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
9、设
10、函数在处的n阶导数
11、设函数连续，若，，则
12、设函数是微分方程的解，且在处取值3，则=
13、若函数由方程确定，则=
14、设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，，其中E为3阶单位矩阵，则行列式=
三、解答题：
15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
设函数，，若与在是等价无穷小，求的值。
16、（本题满分10分）
设，D是由曲线段及直线所形成的平面区域，，分别表示D绕X轴与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若，求A的值。
得：
17、（本题满分10分）
已知函数满足，，，求的极值。
18、（本题满分10分）
计算二重积分，其中
19、（本题满分10分）
已知函数，求零点的个数。
20、（本题满分11分）
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为的物体在的恒温介质中冷却，30min后该物体降至，若要将该物体的温度继续降至，还需冷却多长时间？
21、（本题满分11分）
已知函数在区间上具有2阶导数，，，，设，曲线在点处的切线与轴的交点是，证明
22、（本题满分11分）
设矩阵且.
（1）求的值；
（2）若矩阵满足，为3阶单位阵，求.
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
1、当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
2、下列曲线中有渐近线的是（）
（A）（B）
（C）（D）
4、曲线上对应于的点处的曲率半径是（）
（A）（B）（C）（D）
5、设函数，若，则（）
（A）（B）（C）（D）
6、设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则（）
（A）的最大值和最小值都在的边界上取得
（B）的最大值和最小值都在的内部取得
（C）的最大值在的内部取得，的最小值在的边界上取得
（D）的最小值在的内部取得，的最大值在的边界上取得
7、行列式（）
（C）（D）
8、设为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的（）
（A）必要非充分条件
（B）充分非必要条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分也非必要条件
9、.
10、设是周期为的可导奇函数，且，则
11、设是由方程确定的函数，则.
12、曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是.
13、一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标.
14、设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围是.
求极限
已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.
设平面区域，计算.
设函数具有2阶连续导数，满足.
若，，求的表达式.
设函数，在区间上连续，且单调增加，.
证明：
（Ⅰ）（I），；
（II）
设函数，.定义数列
，，，，
记是由曲线，直线及轴所围平面图形的面积，求极限.
已知函数满足，且.求曲线所围图形绕直线旋转所成旋转体的体积.
设为阶单位矩阵.
（I）求方程组的一个基础解系；
（II）求满足的所有矩阵.
23、（本题满分11分）
阶矩阵与相似.
2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：
1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设，其中，则当时，是（）
（A）比高阶的无穷小（B）比低阶的无穷小
（C）与同阶但不等价的无穷小（D）与等价的无穷小
（2）设函数由方程确定，则（）
（A）（B）（C）（D）
（3）设函数，，则（）
（A）是函数的跳跃间断点 （B）是函数的可去间断点
（C）在处连续但不可导（D）在处可导
（4）设函数，若反常积分收敛，则（）
（5）设，其中函数可微，则（）
（A）（B）（C）（D）
（6）设是圆域在第象限的部分，记，则（）
（7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
（8）矩阵与相似的充分必要条件为
（A）
（B）
（C）
（D）
9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）．
（10）设函数，则的反函数在处的导数．
（11）设封闭曲线L的极坐标方程为，则L所围成的平面图形的面积为．
（12）曲线上对应于的点处的法线方程为．
（13）已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件的解为．
（14）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若
15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
当时，与为等价无穷小，求与的值。
（16）（本题满分10分）
设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。
（17）（本题满分10分）
设平面内区域由直线及围成.计算。
（18）（本题满分10分）
设奇函数在上具有二阶导数，且.证明：
（I）存在，使得；
（II）存在，使得。
（19）（本题满分11分）
求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
（20）（本题满分11分）
设函数，
（I）求的最小值
（II）设数列满足，证明存在，并求此极限.
（21）（本题满分11分）
设曲线的方程为，
（1）求的弧长；
（2）设是由曲线，直线及轴所围平面图形，求的形心的横坐标。
（22）（本题满分11分）
设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。
（23）（本题满分11分）
设二次型，记。
（I）证明二次型对应的矩阵为；
（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线的渐近线条数（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
（2）设函数，其中为正整数,则（）
（A）（B）（C）（D）
（3）设，则数列有界是数列收敛的
（）
（A）充分必要条件（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件（D）非充分也非必要
（4）设则有
（）
（A）（B）（C）（D）
（5）设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是
（）
（A）（B）（C）（D）
（6）设区域由曲线围成，则
（）
（A）（B）2（C）-2（D）-
（7）设,,,,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）
（A）（B）（C）（D）
（8）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则（）
（A）（B）（C）（D）
914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设是由方程所确定的隐函数，则.
（10）.
（11）设其中函数可微，则.
（12）微分方程满足条件的解为.
（13）曲线上曲率为的点的坐标是.
（14）设为3阶矩阵，，为伴随矩阵，若交换的第1行与第2行得矩阵，则.
（15）（本题满分10分）
已知函数，记，
（I）求的值;
（II）若时，与是同阶无穷小，求常数的值.
（16）（本题满分10分）
求函数的极值.
（17）（本题满分12分）
过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
（18）（本题满分10分）
计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成.
（19）（本题满分10分）
已知函数满足方程及,
（I）求的表达式;
（II）求曲线的拐点.
（20）（本题满分10分）
证明,.
（21）（本题满分10分）
（I）证明方程，在区间内有且仅有一个实根；
（II）记（I）中的实根为，证明存在，并求此极限.
（22）（本题满分11分）
设，
（I）计算行列式；
（II）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.
（23）（本题满分11分）
已知，二次型的秩为2，
（I）求实数的值；
（II）求正交变换将化为标准形.
2011年考研数学试题（数学二）
一、选择题
1.已知当时，函数
Ak=1,c=4Bk=a,c=-4Ck=3,c=4Dk=3,c=-4
2.
ABCD0
3.函数的驻点个数为
A0B1C2D3
4.微分方程
AB
CD
5设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件
AB
CD
6.设
AI<
J<
KBI<
K<
JCJ<
I<
KDK<
I
7.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。
记则A=
ABCD
8设是4阶矩阵，是A的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为
ABCD
二、填空题
9.
10.微分方程
11.曲线的弧长s=____________
12.设函数，则
13.设平面区域D由y=x,圆及y轴所组成，则二重积分
14.二次型，则f的正惯性指数为________________
15.已知函数，设，试求的取值范围。
16.设函数y=y（x）有参数方程，求y=y（x）的数值和曲线y=y（x）的凹凸区间及拐点。
17.设，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g（x）可导，且在x=1处取得极值g
（1）=1,求
18.设函数y（x）具有二阶导数，且曲线l:
y=y（x）与直线y=x相切于原点，记是曲线l在点（x,y）外切线的倾角，求y（x）的表达式。
19.证明：
1）对任意正整数n，都有
2）设,证明收敛。
20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由连接而成。
（1）求容器的容积。
（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？
（长度单位：
m；
重力加速度为；
水的密度为）
21.已知函数f（x,y）具有二阶连续偏导数，且f（1,y）=0,f（x,1）=0,，其中，计算二重积分。
22.
X
1
P
1/3
2/3
Y
-1
求：
（1）（X，Y）的分布；
（2）Z=XY的分布；
（3）
23.A为三阶实矩阵，，且
（1）求A的特征值与特征向量；
（2）求A
2010年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解答
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）
（1）函数的无穷间断点数为（）
（A）（B）（C）（D）
（2）设函数，是一阶非齐次微分方程的两个特解，若常数，使得是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则（）
（A），（B），
（C），（D），
（3）曲线与（）相切，则（）
（A）（B）（C）（D）
（4）设、为正整数，则反常积分的收敛性（）
（A）仅与有关（B）仅与有关（C）与、都有关（D）与、都无关
（5）设函数由方程确定，其中为可微函数，且。
则（）
（A）（B）（C）（D）
（6）（）
（A）（B）
（C）（D）
（7）设向量组可由向量组线性表示，下列命题正确的是（）
（A）若向量组线性无关，则（B）若向量组线性相关，则
（C）若向量组线性无关，则（D）若向量组线性相关，则
（8）设是阶实对称矩阵，且，若，则相似于（）
（A）（B）
二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）
（9）阶常系数齐次线性微分方程的通解为
（10）曲线的渐近线方程为
（11）函数在处的阶导数
（12）当时，对数螺线的弧长为
（13）已知一个长方形的长以的速率增加，宽以的速率增加，则当，时，它的对角线增加速率为
（14）设，为阶矩阵，且，，则
三、解答题（15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）
求的单调区间与极值。
（I）比较与（）；
（II）记（），求。
（17）（本题满分11分）
设函数由参数方程（）所确定，其中具有二阶导数，且，。
已知，求函数。
一个高为的柱体形贮油罐，底面是长轴为，短轴为的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时（如图），计算油的质量。
（长度单位为，质量单位为，油的密度为常数）
（18题图）
设函数具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定，的值，使等式在变换下简化为。
计算二重积分，其中。
（21）（本题满分10分）
设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，，。
存在，，使得。
设，，已知线性方程组存在两个不同的解。
（I）求，；
（II）求的通解。
设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第一列为，求，。
2009年全国硕士研究生入学统一考试
1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）函数的可去间断点的个数，则（）
1. 2. 3. 无穷多个.
（2）当时，与是等价无穷小，则（）
. .. .
（3）设函数的全微分为，则点（）
不是的连续点. 不是的极值点.
是的极大值点.是的极小值点.
（4）设函数连续，则（）
. .
. .
（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（）
有极值点，无零点. 无极值点，有零点.
有极值点，有零点. 无极值点，无零点.
（6）设函数在区间上的图形为：
-2
2
3
O
则函数的图形为（）
.
.
.
.
（7）设、均为2阶矩阵，分别为、的伴随矩阵。
若，则分块矩阵的伴随矩阵为（）
. .
. .
（8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若
，则为（）
9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
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