独立坐标系统的建立方法与研究Word文档格式.doc
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由于地球表面高低不平很不规则，以及地层内部密度的不均匀，地球的运动等原因，内外业采用了不同的基准线和基准面，为了便于野外数据的采集与室内的计算，外业通常采用铅垂线为基准线，以大地水准面为基准面。
而内业计算时以参考椭球面为基准面，以椭球法线为基准线。
因此，使得外业数据与内业计算的不一致。
再加上大多数工程中采用的是平面直角坐标系，这就要将椭球面上的长度坐标等数据换算为平面直角坐标系。
通常的方法是利用高斯—克吕格投影来实现。
但是，依据不同的用途和工程项目，应分别采用不同的坐标系来满足工程项目的需要，限制误差。
地球是一个椭球体，将椭球面上的大地坐标系转换为平面直角坐标系不可避免的会发生长度变形，测区范围越大，形变就越大。
为了限制长度变形，国家控制网通常采用分带的方法，将投影区域限制在中央子午线两旁的狭窄范围之内。
我国《规范》规定：
所有国家的大地点均按高斯正形投影计算其在带内的平面直角坐标……。
在1：
1万和更大比例尺测图的地区，还应加算其在带内的直角坐标系。
我们通常将这种控制点在带或带内的坐标系称为国家统一坐标。
高斯投影分带有效的限制了长度变形，但是在投影带的边缘地区，其长度变形仍然达到了很大的数值，以至不能适合于城市和工程控制测量的应用。
各行业测量规范如《公路勘测规范》、《工程测量规范》、《地籍测量规范》等都规定了：
投影变形应满足1km边长不大于2.5cm变形精度的要求，即投影变形精度应达到1：
4万的精度。
这样，除了高等级的控制测量以外的绝大多数测量工作就可不加边长投影改正。
为了达到城市和工程建设的要求，就必须对长度变形加以限制，这就要考虑化算至椭球面的改正和投影至高斯平面的改正。
一般情况下，可以考虑建立独立坐标系，目的是减小高程归化与投影长度变形产生的影响，将它们控制在一个微小的范围，使计算出来的长度在实际应用时（如工程放样）不需要做任何的改正。
独立坐标系的建立有多种方法，在如何建立独立坐标系时应考虑到测区的实际情况。
在本文中我将讨论如何建立各种坐标系统以及坐标系统之间的关系，各种方法的优缺点，以及如何选取独立坐标系进行探讨。
第一章坐标系统的建立
1–1坐标系统的概述
坐标系统是所有测量工作的基础，所有测量成果都是建立在其之上。
由于线路测量的特殊性，坐标系统的选择相当重要。
坐标系统的选择影响到测量成果的正确性和可靠性。
选择一个合适的坐标系统，它能为工程带来十分方便的测量，使工程顺利进行，反之依然。
地面上P的空间位置可用不同的坐标系统来表示。
一般常用的坐标有：
天文坐标系统，地面上一点P的坐标可表示为（Φ，λ，H常）；
大地坐标，地面上一点P的坐标可表示为（B，L，H）；
空间大地坐标，地面上一点P的坐标可表示为（x，y，z）。
高斯平面直角坐标系，该坐标系统是将椭球面上的各点的大地坐标，按照一定的数学规律投影到平面，并以相应的平面直角坐标表示。
如一点P的平面坐标（x，y），（B，L）为P点在椭球面上相应的大地坐标，a,b我椭球的长，短半轴，则他们的关系为：
x=F1（B，L）y=F2（B，L）.其中F1，F2为投影函数。
为了能更好地满足测图和工程测量需要，我国目前采用高斯投影平面直角坐标系。
该坐标系是由高斯投影即一种等角投影而得，顾名思义，其投影后角度保持不变。
其特点有：
①椭球面上的任意角度投影到平面上保持不变；
②作为平面坐标轴的中央子午线，投影后为一直线，并且是投影后的对称轴；
③中央子午线投影到平面后，其长度不变。
为了减少投影长度变形，我们把投影区限定在中央子午线两旁的狭窄范围内。
为此，我们按精度每隔6º
或3º
用子午线把椭球面分成若干长条形的投影带，每一个投影带独立地投影到投影面上，形成独立的坐标系，即可减少因投影而产生的变形。
目前我国采用的坐标系统一般有三种：
北京54坐标系，西安80坐标系，新北京54坐标系。
这几种坐标系都是借助一定的观测手段，采用一的数学方法，在一个实在的运动和变化的物理空间中建立起来的，所以它的定义和描述都是通过以下几组基准数据来描述和体现的：
①基本常数系统；
②地极及精度零点系统；
③位置和方位基准；
④长度基准；
⑤高程基准。
以上介绍的均为国家统一坐标系，但在实际的工程测量中，有的国家坐标系并不能满足测图及工程测量的要求，需要建立地方独立坐标系。
1–2长度改正的计算
建立独立坐标系所要考虑的主要因素就是长度变形的问题，也就是实际的距离与转化为独立坐标系中的距离之差要保证能够满足足够小，即确定在一定的允许范围之内，这就是我们通常所说的相对误差允许范围。
因此，讨论独立坐标系的建立主要还是讨论长度的变形问题，所以后面的几种独立坐标的建立都是围绕着长度变形而来的。
1.2.1地面观测值归算至椭球面
地面观测值换算到椭球面上有两项改正计算：
1、将以铅垂线为准的大地观测方向转化为椭球面上以法线为准的大地线方向（方位角改正）；
2、将地面观测边长转化为椭球面上的大地线长度（边长改正）。
1.2.1.1地面观测方向归算至椭球面
地面观测方向归算至椭球面上，有3个基本内容：
一是将测站点铅垂线为基准的地面观测方向转化为椭球面上以法线为基准的观测方向；
二是将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间的法截线方向；
三是将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向。
1、垂线偏差改正
测量计算的基准面和基准线是椭球面及其法线，而观测方向的基准线是测站点的铅垂线。
为了求得椭球面上以法线为基准的方向观测值，必须在观测结果中加入相应的改正数，它称之为垂线偏差改正，以表示。
垂线偏差改正公式为：
（1—1）
其中，A和分别为观测的大地方位角和垂直角。
由式（1—1）可知，垂线偏差改正的大小主要取决于测站点的垂线偏差和观测方向的垂直角。
例如在A=0°
、tan=0.01的情况下，当==时，得=0.0；
当==时，得=。
可见，这项改正数是很小的，只有在国家一二等三角测量中，才加入该项改正。
2、标高差改正
由于测站点和照准点的两条法线不在同一平面上，且照准点高出椭球面一定高度时，从而产生标高差。
假设A点为测站点，B点为照准点。
为简单起见，设A点就在椭球面上。
如果照准点B高出椭球面某一高度H，在A点照准B点得出的法截线为Ab′，B沿法线至椭球面的投影点为b，观测方向归算至椭球面上应该是Ab方向。
这样，将Ab′方向换算为Ab方向所加入的改正称为标高差改正，以表示。
在次不加推导给出的计算公式：
（1—2）
式中，为照准点的大地纬度；
为测站点至照准点的大地方位角；
H为照准点高出椭球面的高程；
为测站点子午圈曲率半径。
假设=、=，当H=200m时，=；
当H=2000m时，=。
可见标高差的数值很微小，在进行局部地区的控制测量时，可不必考虑此项改正。
3、截面差改正
经过前面两项改正，已将地面观测的水平方向换算为椭球面上的相应法截线方向。
这时还需要将法截线方向换算为大地线方向，这项改正叫截面差改正，以表示。
假如A到B点的方位角为45度，A，B两点的平均纬度为45度，即使AB间的距离s=30km时，经过计算[1]，只有。
所以，只有在一等三角测量中，才进行截面差改正。
综上所述，上面的三项改正都是比较小的，在不大的测区范围内，都是可以不用计算在内的。
对于一般需要建立独立坐标系的工程，基本上是可以忽略其影响。
1.2.1.2地面观测距离归算至椭球面
地面测距的结果，是两端点之间的直线长。
空间直线长与端点的铅垂线没有关系，可以直接沿端点的法线归算至椭球面上。
为了导出空间直线归算至椭球面的计算公式，可以用下图表示空间直线AB方向的椭球剖面。
图1—1地面观测距离化算至椭球面
图中，d为连接AB的空间直线长；
S为AB在椭球面上的投影点ab之间的弧长。
图中用球面弧长代替了椭球面上的法截线弧长。
因为当法截线弧长达600km时，用适当半径的球面弧长代替法截线弧长，其相对误差只有1：
2500000，此时球面半径按公式计算取[1]
式中，为两端点之间的平均纬度，处的卯酉圈曲率半径。
若A、B两点的大地高分别为和，则由三角形AOB按余弦公式可以写出
根据半角的三角函数得
上式继而写为
图中，，并设高差h=--，代入上式得
由此可得ab间的弦长
（1—3）
取，，则可将上式写得更直观一些，将上式展开为
（1—4）
上式即为空间直线d换算为椭球面上弦长的计算公式。
其次，再将弦长换算为弧长S。
由图1—1可知：
将上式右端函数展开成幂级数的形式
（1—5）
若将（1—3）、（1—4）写成一个式子，取s=，=，则得
（1—6）
上式右端第一项实际测距仪与反射镜平均高程面上的水平距离；
第二项是水平距离换算成椭球面上相应弦长的改正数；
第三项是弦长换算成椭球面上弧长的改正数。
因为椭球面上的发截弧与大地线长度相差甚微，二者可不加区别，所以经过上列换算后的长度，可以视为椭球面上的大地线长度。
1.2.2高斯投影与国家直角坐标系
地图投影有很多种，比较适用于控制测量的是正形投影。
正形投影又可根据不同投影的本身特定条件区分为很多种，而高斯投影则是正形投影中的一种。
我国数十年来一直采用高斯投影建立国家平面直角坐标系。
对于高斯投影，我们可以这样理解：
设想有一个椭圆柱面横套在地球椭球的外面，椭圆柱的中心轴通过椭球中心与椭球的长轴相一致，此时椭圆柱面恰与地球的某一子午线相切，该子午线称作中央子午线。
将中央子午线东西各一定范围内的地区按正行条件投影到椭圆柱面上。
如下图所示。
然后将椭圆柱面沿着通过南极和北极的母线展开，即成高斯投影平面，如图：
图1—2高斯平面投影示意图
在高斯投影面上，中央形，满足正行投影要求。
⑵、中央子午线投影后是一条直线。
⑶、中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于1。
高斯投影尽管保持了子午线和赤道的投影都是直线。
若以中央子午线与赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，即x轴，以赤道的投影为横坐标轴，即为y轴，这就形成了高斯平面直角坐标系。
由上所述可知，形成高斯投影的条件是，也可以说其特性是：
⑴、投影后角度不产生变投影后角度不变，但不能保持长度不变，有些长度变形还会达到很大，严重制约了高斯投影的应用范围。
所以有必要对高斯投影的长度比和长度变形作进一步的研究。
经过计算推导，可以得出用大地坐标表示的高斯投影长度比m公式：
（1—7）
为便于实用，可以进一步推求用平面坐标表示的高斯投影长度比公式：
（1—8）
其中，R为投影点处的椭球平均曲率半径，y为该点的横坐标。
上面的公式将有助于我们进一步认识和分析高斯投影长度变形的变化规律。
首先看到，投影长度比m随点的位置不同而变化，而在一点处与方向无关，这和正行投影要求是一致的。
当y=0时，m=1，即中央子午线投影后长度不变，这和高斯投影本身条件是一致的。
当时，无论y值为正为负，m值恒大于1，即离开中央子午线的任何位置，投影到平面上的线段都变长了。
其次还增可以看到，长度变形（m--1）与成正比的增大，随着离开中央子午线距离的加，长度变形急剧增大。
若取R=6371km，根据上式可以算出不同y值时的长度变形情况，如下表所示：
表1—1长度变形随距离y的变化
y（km）
10
20
30
50
100
150
200
250
长度变形
长度变形是有害的，但是又不能完全避免。
只能采取一定的措施对它加以限制，使它的有害影响减下到适当的程度。
这其中有效方法之一就是“分带”。
所谓分带，就是把投影区域限定在中央子午线两旁的狭窄范围之内。
具体做法是，在椭球面上每隔一定的经度，以子午线为界划分出不同的投影区域，形成大小相等的彼此独立的投影带。
位于各带中央的子午线即为该带的中央子午线，每一投影带边缘的子午线称为分带子午线。
这样，各带就有着自己的坐标原点和坐标轴，形成相对独立的坐标系。
地球的形状与大小,即大地水准面的形状与大小,十分接近一个两极稍扁的旋转椭球体.我们平常所用的地形图一般采用高斯投影,即横轴椭圆柱正形投影.如图（略）,椭球与椭圆柱面相切的子午线成为中央子午线或轴子午线,即高斯平面直角坐标系的X轴.将中央子午线东西方向一定经差（一般为6°
或3°
）范围地区投影到椭圆柱面上再把椭圆柱面按某一棱线展开,便构成了高斯平面直角坐标系统。
高斯投影中,除中央子午线外,椭球面上上任何两点投影到椭圆柱面上,两点间线段的长度均发生变形，且随着中央子午线两侧经差的增大，长度变形加剧。
为了控制这种长度变形，使它在测图和用图时影响很小，在相隔一定地区另立中央子午线，即采用分带投影。
我国国家测量规定采用6°
带和3°
代两种分带办法。
一般地，对于1/25000~1/100000的地形图采用6°
带，对于1/10000或更大比例尺的地形图采用3°
带，同时还规定每一个6°
带向东加宽30′，向西加宽15′或7.5′，以保证在投影带的边缘部分有两套坐标和地形图，便于在边缘部分补点、计算。
有些测绘单位为了控制长度变形，满足工程放样的需要，往往对1/1000、1/500或更大比例尺的地形图采用1.5°
带或独立投影带。
由于采用分带投影，椭球面上统一的坐标系被分割成相互独立的坐标系。
在公路施工测量中，常常会遇到内容完全相同的地形图中点的坐标不一样的情况，就是在测图时采用了不同中央子午线的缘故，需要进行坐标换带计算。
高斯投影分带有效的限制了长度变形，但是在投影带的边缘地区，其长度变形还是达到了很大值，不能供城市和工程建设需要，因此，这就要建立独立坐标系，下一章将对这一点进行探讨。
1.2.3高斯投影坐标的换算
高斯投影的换算，包括由大地坐标（B，L）求高斯平面直角坐标（x，y），和由高斯平面直角坐标（x，y）求大地坐标（B，L）。
前者称为高斯投影坐标正算，后者称为高斯投影坐标反算。
本节主要介绍它们的计算公式和适用情况。
1.2.3.1由大地坐标计算平面直角坐标的公式
由大地坐标计算平面直角坐标的一般函数式是以大地经度L从起始子午面起算的，而高斯投影分带的结果，使得各投影带均以起始子午线作为中央子午线，所以，以弧度作单位的经度差可以表示为：
（1—9）
则由大地直角坐标计算平面直角坐标的公式可以表示为：
（1-10）
式中：
B为大地点的大地纬度；
X为由赤道至纬度B的子午线弧长；
为到中央子午线的经差，可由公式（1—9）算出，在中央子午线以东为正，以西为负。
上式就是高斯投影坐标的正算公式，在参考文献[1]中有其完整的推导过程，在此只列出其最后的计算公式。
由该公式可以由（B，L）计算（x，y），当<
3.5度时，使用该式计算（x，y）的精度为0.001m。
1.2.3.2由平面直角坐标的公式计算大地坐标
下面我将介绍由国家直角坐标（x，y）计算大地坐标（B，L）的计算公式，亦即高斯投影反算公式。
由于参考文献[1]中对其有详细的论述推导过程，在此也只列出它的最终推导的结果。
如下式，
（1—11）
说明：
而式中B和均以弧度为单位表示，如以度为单位，等号的右端应乘以。
其中，凡脚注有“f”的，表明这些函数符号都是以垂足纬度代入求得的。
垂足纬度可以根据子午线弧长公式，由x=X反算求得，该公式如下：
X=6367558.4969－{32140.4048－[135.3303－（0.7092－0.0041）（1—12）
也可以将展开成近似垂足纬度余弦函数的幂级数的形式，直接解算：
{50221746+[293622+（2350+22）]
}（1—13）
式中，为近似垂足纬度，按下式计算：
（1—14）
取=57.295779513度，所得的以度为单位。
1.2.3.3高斯投影坐标正反算的数值公式
在过去，高斯投影坐标计算一直是借助数表来实现的，常用的如《高斯克吕格投影计算表》，它是以公式（1—10）和（1—11）为基础编算的，在高斯计算中发挥了重要的作用。
近20年来，随着计算器的变革，有关测量的计算表以不再适应需要，人们可以根据适宜的计算公式用普通的编程计算器来实施计算。
下面将依据克拉夫斯基椭球参数计算的结果代入来求高斯投影坐标正反算的数值公式。
考虑，，0.0067385254，结果可以得出公式：
x=6367558.4969
（1—15）
（0.3333333+0.001123）—0.1666667
0.00833—[0.1667－（0.1967+0.004）
]（1—16）
公式（1—15）就是高斯投影坐标正算的数值公式，式中N为参考椭球卯酉圈曲率半径，B为大地点的纬度，是经差，可以按公式（1—9）求得，=57.295779513°
.
下面将列出高斯投影坐标反算的数值公式，首先由国家坐标来求大地纬度B。
若令：
（0.5+0.003369）
0.25+（0.16161+0.00562） （1—17）
则：
（1—18）
式中，为垂足纬度，关于它的计算在前面已有介绍；
其中，z可以表示为。
而的值可以经下式算得：
6399698.902－{21562.267－[108.973－（0.612－
0.004）]}（1—19）
下面再列出求经度的计算公式。
0.333333－（0.166667－0.001123）
0.2－（0.1667－0.0088）（1—20）
依旧令为垂足纬度，关于它的计算在前面已有介绍；
令，则有
（1—21）
按上式计算的经差以弧度为单位，将其代入（1—9）式中，就可以求出以度为单位的大地坐标L。
式（1—18）和式（1—21）就是高斯投影坐标的反算的数值公式。
当经差时，该2式计算大地坐标的精度可达到，可以满足高斯投影的多种计算的需要。
最后说明的是，本节列出的高斯投影坐标正反算的数值公式采用的是克拉夫斯基椭球参数，所以这些数值公式只实用于采用该椭球参数建立的坐标系统（例如1954年北京坐标系和新1954年北京坐标系）。
对于1980年国家大地坐标系的有关计算，则需要另行推导相应的数值计算公式，只要将1975年国际椭球参数值代入公式（1—10）和（1—11）即可。
详细的公式推导可见参考文献[1]。
第二章建立地方独立坐标系统
2–1建立独立坐标系应注意的问题
地面观测边长s投影至大地水准面和高斯平面的改正分别为：
式中，、——边长分别投影至大地水准面、高斯平面的改正值；
——所测边两端点至大地水准面的平均高程；
S——所测边长的水平长度；
R——参考椭球体平均曲率半径，可取R=6371km。
2.1.1投影改正值的变化规律
一般情况下，光采用抵偿高程时常将投影改正作为常数看待，不考虑测区内不同位置投影改正值的变化问题。
而实际情况是，即使在地形平坦的地区或较小范围的测区，其影响也是不可忽视的。
设测区中任一点k与测区中心在东西方向（y轴）上的距离为y，与测区平均高程的高差为h。
k点的两项投影改正与测区中心过平均高程面的改正是不一样的。
2.1.1.1大地水准面投影改正值的变化
k点的大地水准面投影改正为：
上式中等号右边的第二项即为椭球面投影改正的变化量，令
由上式可见，高差h与投影改正的变化量成正比，随着h的增大而增大，但它们的符号相反。
2.1.1.2高斯平面投影改正值的变化
k点的高斯平面投影改正为：
令
此即为高斯平面投影改正的变化量。
由上式可见，与y和两项有关，其规律为：
⑴、与有正比关系，随着值的增加而增加；
⑵、与y成抛物线的关系，随着y的增加而增加；
⑶、当一定时，随着（y）的值增加，y（）
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