广西科技大学时间序列分析计算题复习题Word文档格式.doc
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2.某国1961年1月—2002年8月的16~19岁失业女性的月度数据经过一阶差分后平稳（N＝500），经过计算样本其样本自相关系数及样本偏相关系数的前10个数值如下表
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.47
0.06
-0.07
0.04
0.00
-0.04
-0.05
0.01
-0.21
-0.18
-0.10
0.02
-0.01
-0.06
（1）利用所学知识，对所属的模型进行初步的模型识别。
（2）对所识别的模型参数和白噪声方差给出其矩估计。
解答：
（1）样本自相关系数1阶截尾，样本偏相关系数拖尾，
（2）由于模型有，
。
3.设是二阶滑动平均模型,即满足，其中是白噪声序列，并且，
（1）求的自协方差函数和自相关函数。
（2）当时，计算样本均值的方差。
（1）
（2）
4.设是正态白噪声序列，并且，时间序列来自，问模型是否平稳？
为什么？
该模型是平稳的，因为其AR特征方程的根为1.25，大于1。
5.假定Acme公司的年销售额（单位：
百万美元）符合AR
（2）模型：
其中。
（a）如果说2005年、2006年和2007年的销售额分别是900万美元，1100万美元和1000万美元，预测2008年和2009年的销售额。
（b）证明模型里的。
（c）计算问题（a）中2008年预测的95%预测极限。
（d）如果2008年的销售额结果为1200万美元，更新对2009年的预测。
解答:
（a）应用P142公式（9.3.28）得
5+1.1（10）–0.5（11）=10.5（百万美元）
5+1.1（10.5）–0.5（10）=11.55（百万美元）
（b）由课本54页公式（4.3.21）,，。
（c）由课本第140页公式（9.3.15）知道：
，2008年预测的95%预测极限为，这里
，故，代入后简单计算得2008年预测的95%预测极限为（7.67,13.33）。
（d）由148页更新方程（9.6.1）知，所以
（百万美元）
6.设的长度为10的样本值为0.8,0.2,0.9,0.74,0.82,0.92,0.78,0.86,0.72,0.84，试求
（1）样本均值；
（2）样本的自协方差函数和自相关函数；
（3）对模型参数给出其矩估计，并写出模型的表达式。
（1）样本均值。
0.758
（2）样本的自协方差函数值和自相关函数值。
注意，而（这里，具体计算略过）
（3）对AR
（2）模型参数给出其矩估计，并且写出模型的表达式。
由Yule-Walker方程
，
7.设服从模型：
，其中。
（1）给出未来3期的预测值；
（2）给出未来3期的预测值的的预测区间（）？
（2）应用延迟算子B表达式，我们有。
由（P143公式（9.3.38））知道，。
因为故有
，，。
所以未来期的预测值的的预测区间为:
。
故未来3期的预测值的的预测区间为：
101
101（0.136，0.332）
102（0.087，0.287）
103（-0.049，0.251）。
8.设平稳时间序列服从模型：
，其中是白噪声序列，并且，证明：
证明：
由题意，两边求方差得
（因为与相互独立）
（因为平稳）
整理即得。
9.设平稳时间序列服从模型：
，其中是白噪声序列，并且，证明其偏自相关系数满足：
因为模型偏自相关系数2阶截尾，即当时，。
（其一般证明见课本P80页）这里仅证明。
事实上，满足如下Yule-Walker方程：
（见课本P81公式（6.2.8）），其中分别为该模型前2阶自相关系数。
由课本P52页的公式（4.3.14）和P53页的公式（4.3.15）知：
于是，解Yule-Walker方程得。
10.设时间序列服从模型：
，其中是白噪声序列，并且，证明其自相关系数满足：
解：
方程两边乘以再取数学期望得，整理得
（1）
方程两边求方差得
整理得
（2）
将
（2）代入到
（1）可得：
，所以。
注意到，而当时，方程两边乘以再取数学期望可得
整理得（3）
在（3）式两边同除，即得，。
证毕！
11.设时间序列服从AR
（1）模型：
，其中是白噪声序列，
为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数的极大似然估计。
依题意，故无条件平方和函数为
易见（见p113式（7.3.6））其对数似然函数为
所以对数似然方程组为，即。
解之得。
12.对下列每个ARIMA模型，求和。
（a）
（b）
（a）原模型可变形为,注意到为零均值方差为的白噪声序列。
所以有
（b）原模型可变形为,因此为一个平稳可逆的模型。
同时注意到为零均值方差为的白噪声序列，所以我们有
（平稳性）
另一方面，
所以有。
13.若一时间序列长度为35，现对该时间序列拟合模型得其残差的前6个样本自相关系数如下：
计算统计量并由此对残差的自相关性进行检验（显著性水平）。
易见，（见课本P132）故检验统计量等于
此时服从一个自由度为的卡方分布，因为，所以没有证据来拒绝残差项是不相关的零假设。
14.若一时间序列长度为100，现对该时间序列拟合模型得其残差的前8个样本自相关系数如下：
3.6512
此时服从一个自由度为的卡方分布，因为所以没有证据来拒绝残差项是不相关的零假设。
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