江苏省泰州市届高三数学第一次模拟考试试题.docx

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江苏省泰州市届高三数学第一次模拟考试试题

2020届高三年级第一次模拟考试

数学

（满分160分，考试时间120分钟）

参考公式：

柱体的体积V＝Sh，锥体的体积V＝

Sh

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1.函数f（x）＝sin2x的最小正周期为________．

2.已知集合A＝{4，a2}，B＝{－1，16}，若A∩B≠∅，则实数a＝________．

3.复数z满足zi＝4＋3i（i是虚数单位），则|z|＝________．

4.函数y＝

的定义域是________．

5.从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．

6.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是________．

7.已知数列{an}满足log2an＋1－log2an＝1，则

＝________．

8.若抛物线y2＝2px（p>0）的准线与双曲线x2－y2＝1的一条准线重合，则p＝________．

9.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体积为V1，四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则

的值是________．

10.已知函数f（x）＝2x4＋4x2，若f（a＋3）>f（a－1），则实数a的取值范围为________．

11.在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：

（x－k）2＋（y＋k－4）2＝1上任一点P作圆C2：

x2＋y2＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ的长最小时，k＝________．

12.已知P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足

＋

＋2

＝0，λ

＋μ

＋

＝0，则λμ＝________．

13.已知函数f（x）＝

若存在x0＜0，使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是________．

14.在△ABC中，已知sinAsinBsin（C－θ）＝λsin2C，其中tanθ＝

，若

＋

＋

为定值，则实数λ＝________．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

已知向量a＝（sinx，1），b＝

，其中x∈（0，π）．

（1）若a∥b，求x的值；

（2）若tanx＝－2，求|a＋b|的值．

16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线BD的中点，E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD.求证：

（1）直线PB∥平面OEF；

（2）平面OEF⊥平面ABCD.

17.（本小题满分14分）

如图，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝

，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米．

（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；

（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

＋

＝1（a>b>0）的左顶点为A，B是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为

，点A到右准线的距离为6.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围．

19.（本小题满分16分）

设A，B为函数y＝f（x）图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别作函数y＝f（x）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f（x）的“优点”．

（1）若函数f（x）＝

不存在“优点”，求实数a的值；

（2）求函数f（x）＝x2的“优点”的横坐标的取值范围；

（3）求证：

函数f（x）＝lnx的“优点”一定落在第一象限．

20.（本小题满分16分）

已知首项不为0的数列{an}的前n项和为Sn，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nSn＋1－（2n＋5）Sn＋Sn－1＝ra1.

（1）若a2＝3a1，求r的值；

（2）数列{an}能否是等比数列？

说明理由；

（3）当r＝1时，求证：

数列{an}是等差数列．

2020届高三年级第一次模拟考试

数学附加题

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.[选修42：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

B.[选修44：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为

（t为参数），曲线C的参数方程为

（θ为参数）．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．

C.[选修45：

不等式选讲]（本小题满分10分）

设正数a，b，c满足3a＋2b＋c＝1，求

＋

＋

的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.

（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．

23.（本小题满分10分）

已知函数f（x）＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设fn（x）＝fn－1（f1（x）），其中f1（x）＝f（x），方程

fn（x）＝0和方程fn（x）＝1根的个数分别为gn（0），gn

（1）．

（1）求g2

（1）的值；

（2）证明：

gn（0）＝gn

（1）＋1.

2020届高三年级第一次模拟考试（七）（泰州）

数学参考答案

1.π2.±43.54.[－1，1]5.156.8

7.48.9.1410.（－1，＋∞）11.2

12.－3413.[－1，0）14.510

15.

（1）因为a∥b，

所以sinxcosx＝12，即sin2x＝1.

因为x∈（0，π），所以x＝π4.

（2）因为tanx＝sinxcosx＝－2，

所以sinx＝－2cosx.

因为a＋b＝1，1＋cosx，

所以|a＋b|＝1＋（1＋cosx）2＝9＋sinx＋2cosx＝32.

16.

（1）O为BD的中点，F为PD的中点，

所以PB∥FO.

因为PB⊄平面OEF，FO⊂平面OEF，

所以PB∥平面OEF.

（2）连结AC，因为四边形ABCD为平行四边形，

所以AC与BD交于点O，O为AC的中点．

因为E为PC的中点，

所以PA∥OE.

因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥平面ABCD，

所以OE⊥平面ABCD.

因为OE⊂平面OEF，

所以平面OEF⊥平面ABCD.

17.

（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝π6，

又∠APO＝π－θ，∠OAP＝θ－π6，

由正弦定理，得π6＝OAsin（π－θ）＝π6，又OA＝2，

所以PA＝1sinθ，OP＝6，

所以y＝PA＋PB＋OP＝2PA＋OP＝6＝3sinθ－cosθ＋2sinθ，

因为∠APQ＞∠AOP，

所以θ>π6，∠OAQ＝∠OQA＝12（π－π6）＝5π12，

所以θ∈5π12.

（2）令f（θ）＝3sinθ－cosθ＋2sinθ，θ∈5π12，

f′（θ）＝1－2cosθsin2θ＝0，得θ＝π3，

f（θ）在区间π3上单调递减，在区间（π3，5π12）上单调递增，

所以当θ＝π3，即OP＝33千米时，f（θ）有唯一的极小值，即是最小值，则f（θ）min＝2.

答：

当工作坑P与O的距离为33千米时，地下电缆管线的总长度最小．

18.

（1）依题意，得a2＝6，解得a＝2，c＝1，

所以b＝＝，

所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.

（2）由

（1）知，A（－2，0），设AB：

x＝my－2，m≠0，

联立x＝my－2，3x2＋4y2＝12，

解得12m3m2＋4或x＝－2，y＝0，

即B（6m2－83m2＋4，12m3m2＋4），则P（－83m2＋4，6m3m2＋4），

所以kOP＝－3m4，OP：

y＝－3m4x.

因为AB⊥BQ，所以kBQ＝－m，所以直线BQ的方程为BQ：

y＝－mx＋6m3＋4m3m2＋4，

联立6m3＋4m，得x0＝8（3m2＋2）3m2＋4＝8－163m2＋4∈（4，8）．

19.

（1）由题意可知，f′（x）＝f′1x对x∈（0，1）∪（1，＋∞）恒成立，

不妨取x∈（0，1），则f′（x）＝1x＝2ax＝f′1x恒成立，即a＝12，

经验证，a＝12符合题意．

（2）设A（t，t2），B1t2（t≠0且t≠±1），

因为f′（x）＝2x，

所以A，B两点处的切线方程分别为y＝2tx－t2，y＝2tx－1t2，

令2tx－t2＝2tx－1t2，解得x＝121t∈（－∞，－1）∪（1，＋∞），

所以“优点”的横坐标取值范围为（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

（3）设A（t，lnt），b1，－lnt，t∈（0，1），

因为f′（x）＝1x，

所以A，B两点处的切线方程分别为y＝1tx＋lnt－1，y＝tx－lnt－1，

令1tx＋lnt－1＝tx－lnt－1，

解得x＝1t>0，

所以y＝1t·1t＋lnt－1＝t2＋1t2－1（lnt－t2－1t2＋1），

设h（m）＝lnm－m2－1m2＋1，m∈（0，1），

则h′（m）＝（m2－1）2m（m2＋1）2>0，

所以h（m）单调递增，

所以h（m）

（1）＝0，

即lnt－t2－1t2＋1<0.

因为t2＋1t2－1<0，

所以y＝1t·1t＋lnt－1>0，

所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．

20.

（1）令n＝2，得4S3－9S2＋S1＝ra1，

即4（a3＋a2＋a1）－9（a2＋a1）＋a1＝ra1，

化简，得4a3－5a2－4a1＝ra1.

因为2a1＋a2＝a3，a2＝3a1，

所以4×5a1－5×3a1－4a1＝ra1，

解得r＝1.

（2）假设数列{an}是等比数列，公比为q，则由2a1＋a2＝a3得2a1＋a1q＝a1q2，且a1≠0，解得q＝2或q＝－1，

由2nSn＋1－（2n＋5）Sn＋Sn－1＝ra1，

得4Sn＝2nan＋1－an－ra1（n≥2），

所以4Sn－1＝2（n－1）an－an－1－ra1（n≥3），两式相减，整理得2nan＋1＋an－1＝（2n＋3）an，

两边同除以an－1，可得2n（q2－q）＝3q－1.

因为q＝2或－1，

所以q2－q≠0，

所以上式不可能对任意n≥3恒成立，

故数列{an}不可能是等比数列．

（3）r＝1时，令n＝2，

整理得－4a1－5a2＋4a3＝a1，

又由2a1＋a2＝a3可知a2＝3a1，a3＝5a1，

令n＝3，可得6S4－11S3＋S2＝a1，

解得a4＝7a1，

由

（2）可知4Sn＝2nan＋1－an－a1（n≥2），

所以4Sn－1＝2（n－1）an－an－1－a1（n≥3），

两式相减，整理得2nan＋1＋an－1＝（2n＋3）an（n≥3），

所以2（n－1）an＋an－2＝（2n＋1）an－1（n≥4），

两式相减，可得2n[（an＋1－an）－（an－an－1）]＝（an－an－1）－（an－1－an－2）（n≥4）．

因为（a4－a3）－（a3－a2）＝0，

所以（an－an－1）－（an－1－an－2）＝0（n≥4），

即an－an－1＝an－1－an－2（n≥4），

又因为a3－a2＝a2－a1＝2a1，

所以数列{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列．

21.A.将λ＝－2代入2＝λ2－（x－1）λ－（x＋5）＝0，得x＝3，

B.由题意得曲线C的直角坐标方程为（x＋1）2＋y2＝4.

将直线l的参数方程1＋t代入（x＋1）2＋y2＝4得

1－t＋1＋1＋t＝4，

即4t2－4t－3＝0，

解得t1＝－12，t2＝32，

则AB＝|t1－t2|＝32＝2.

C.因为3a＋2b＋c＝1，

所以1a＋1a＋b＋1b＋c

＝（2a＋a＋b＋b＋c）·1b＋c

≥（×1a＋×1a＋b＋×1b＋c）2

＝（＋1＋1）2

＝6＋4，

当且仅当a＝a＋b＝b＋c时，等号成立，

所以1a＋1a＋b＋1b＋c的最小值为6＋4.

22.

（1）以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A1（0，0，3），B（1，0，0），C1（1，1，3），

所以BA1→＝（－1，0，3），AC1→＝（1，1，3），

所以cos〈BA1→，AC1→〉＝－1＋911＝11055.

（2）由题意得C（1，1，0），D（0，1，0），

所以A1B→＝（1，0，－3），A1C→＝（1，1，－3），AC1→＝（1，1，3），AD→＝（0，1，0），

设平面A1BC的一个法向量为n1＝（x1，y1，z1），则

A1C·n1＝0，即x1－3z1＝0，x1＋y1－3z1＝0，

令z1＝1，则n1＝（3，0，1）．

设平面AC1D的一个法向量为n2＝（x2，y2，z2），则

AD·n2＝0，即x2＋y2＋3z2＝0，y2＝0，

令z2＝1，则n2＝（－3，0，1），

所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝－9＋110＝－45，

所以平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值为35.

23.

（1）当n＝2时，f2（x）＝f1（1－|2x－1|）＝f（1－|2x－1|）＝1－|2（1－|2x－1|）－1|＝1，

所以2（1－|2x－1|）＝1，

所以1－|2x－1|＝12，

所以2x－1＝±12，

所以x＝14或x＝34，

所以g2

（1）＝2.

（2）因为f（0）＝f

（1）＝0，

所以fn（0）＝fn

（1）＝0.

因为f1（x）＝1－|2x－1|∈[0，1]，

当x∈12时，f1（x）单调递增，且f1（x）∈（0，1]，

当x∈1，1时，f1（x）单调递减，且f1（x）∈[0，1）．

下面用数学归纳法证明：

方程fn（x）＝0（x∈（0，1]）、方程fn（x）＝1（x∈（0，1]）、方程fn（x）＝0（x∈[0，1））、方程fn（x）＝1（x∈[0，1））的根的个数都相等，且为gn

（1）．

（ⅰ）当n＝1时，方程f1（x）＝0（x∈（0，1]）、方程f1（x）＝1（x∈（0，1]）、方程f1（x）＝0（x∈[0，1））、方程f1（x）＝1（x∈[0，1））的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．

（ⅱ）假设n＝k时，方程fk（x）＝0（x∈（0，1]）、方程fk（x）＝1（x∈（0，1]）、方程fk（x）＝0（x∈[0，1））、方程fk（x）＝1（x∈[0，1））的根的个数都相等，且为gk

（1），

则当n＝k＋1时，有fk＋1（x）＝fk（f1（x））．

当x∈12时，f1（x）∈（0，1]，方程fk＋1（x）＝0的根的个数为gk

（1）．

当x∈1，1时，f1（x）∈[0，1），方程fk＋1（x）＝0的根的个数也为gk

（1）．

所以方程fk＋1（x）＝0（x∈（0，1]）的根的个数为gk＋1（0）＝2gk

（1），

同理可证：

方程fk＋1（x）＝1（x∈（0，1]）、方程fk＋1（x）＝0（x∈[0，1））、方程fk＋1（x）＝1（x∈[0，1））的根的个数都相等，且为2gk

（1），

由（ⅰ）（ⅱ）可知，命题成立，

又因为fn（0）＝fn

（1）＝0，

所以gn（0）＝gn

（1）＋1.