考研数学三:公式大全文档格式.docx
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xn+fn+1θx(n+1)!
xn+1
(0<
θ<
1)
4.五个基本初等函数泰勒公式:
(1)ex=1+x+12!
x2+⋯+1n!
xn+eθx(n+1)!
(2)sinx=x-13!
x3+15!
x5-⋯+-1n-1∙12n-1!
∙x2n-1+-1n∙cosθx2n+1!
∙x2n+1
(3)cosx=1-12!
x2+14!
x4-⋯+(-1)n∙12n!
∙x2n+-1n+1∙cosθx2n+2!
∙x2n+2
(4)1+xα=1+αx+αα-12!
x2+⋯+αα-1⋯α-n+1n!
xn+αα-1⋯α-nn+1!
1+θxα-n-1xn+1
(5)ln1+x=x-12x2+13x3-⋯+-1n-11nxn+-1n∙xn+1n+11+θxn+1
5.定积分重要公式:
※
(1)若f(x)在[-a,a]上连续,则-aaf(x)dx=0a[fx+f(-x)]dx
※
(2)若f(x)在[0,a]上连续,则0af(x)dx=120a[fx+f(a-x)]dx
(3)0πxf(sinx)dx=π20πfsinxdx=π0π2f(sinx)dx
6.几个重要的广义积分:
※
(1)-∞+∞e-x2dx=π(主要记这一个,以下的几个自己推)
(2)0+∞e-x2dx=π2
(3)-∞+∞e-x22dx=2π
(4)0+∞e-x22dx=π2
7.6种常见的麦克劳林展开式:
(1)ex=n=0∞xnn!
x∈-∞,+∞
(2)sinx=n=0∞-1n∙x2n+12n+1!
x∈-∞,+∞
(3)cosx=n=0∞-1n∙x2n2n!
x∈-∞,+∞
(4)ln1+x=n=0∞(-1)n∙xn+1n+1x∈(-1,1]
(5)(1+x)a=n=0∞αα-1⋯α-n+1n!
xnx∈(-1,1)
※特别:
11-x=n=0∞xnx∈(-1,1)
11+x=n=0∞-1n∙xnx∈(-1,1)
(6)arctanx=n=0∞-1n∙x2n+12n+1x∈[-1,1]
8.微分方程与差分方程的6大类:
(1)一阶齐次线性微分方程y'
+P(x)y=0通解:
y=Ce-P(x)dx(C=±
eC1)
(2)一阶非齐次线性微分方程y'
+Pxy=Q(x)的通解:
y=e-Pxdx(QxePxdxdx+C)
(3)二阶常系数齐次线性微分方程y’’+py’+qy=0(p,q为常数)的通解:
由特征方程r2+pr+q=0,解出r1,r2
i.r1,r2为两个不相等的实根:
y=C1er1x+C2er2x
ii.r1,r2为两个相等的实根:
y=(C1+C2x)er1x
iii.r1,r2为一对共轭复根,r1=α+βi,r2=α-βi(α=-p2,β=4q-p22):
y=eαxC1cosβx+C2sinβx
(4)二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+py’+qy=f(x)的特解:
①若fx=Pm(x)eλx,则特解为y*=xkQm(x)eλx,
i.若λ不是特征方程的根,则k=0
ii.若λ是特征方程的单根,则k=1
iii.若λ是特征方程的重根,则k=2
②若fx=eλxPlxcosωx+Pnxsinωx,则特解为
y*=xkeλxRm
(1)xcosωx+Rm
(2)xsinωx(m=max(l,n))
i.若λ+ωi(或λ-ωi)不是特征方程的根,则k=0
ii.若λ+ωi(或λ-ωi)是特征方程的根,则k=1
(5)一阶常系数齐次线性差分方程yx+1-ayx=0的特征方程为:
λ-a=0
通解为:
Yx=Cax(C为任意常数)
(6)一阶常系数非齐次线性差分方程yx+1-ayx=f(x)的特解为:
①若fx=Pn(x),则特解为:
yx*=xkQn(x)
i.若1不是特征方程的根,则k=0
ii.若1是特征方程的根,则k=1
②若fx=b1cosωx+b2sinωx,则特解为:
yx*=Acosωx+Bsinωx(A,B为待定系数)
9.条件概率公式:
PBA=PABPA
10.全概率公式:
PA=PAB1PB1+PAB2PB2+⋯+PABnPBn
贝叶斯公式:
PBiA=PABiPBij=1nPABjPBji=1,2,⋯,n
※常用的两个公式:
PA=PABPB+PABPBPBA=PABPBPABPB+PABPB
11.※随机变量分布及其数字特征:
分布及数字征
离散型
分布律
期望
方差
(0-1)分布
PX=k=pk1-p1-k
p
p(1-p)
二项分布
PX=k=Cnkpkqn-k
np
npq
几何分布
PX=n=p∙qn-1
1p
qp2
超几何分布
PX=k=CMkCN-Mn-kCNn
nMN
nMN1-MNN-nN-1
泊松分布
PX=k=λkk!
e-λ
λ
连续型
概率密度
分布函数
均匀分布
fx=1b-a,a<
x<
b0,其他
Fx=0,x<
ax-ab-a,a≤x<
b1,x≥b
a+b2
b-a212
指数分布
fx=λe-λx,x>
00,x≤0
Fx=0,x≤01-e-λx,x>
1λ
1λ2
一般正态分布
fx=12πσe-x-μ22σ2
μ
σ2
标准正态分布
φx=12πe-x22
Φx=12π-∞xe-t22dt
1
12.边缘分布公式:
连续型随机变量边缘分布函数:
FXx=Fx,∞,FYy=F∞,y
离散型随机变量边缘分布函数:
不需要记,明白意思就能自己推
连续型随机变量概率密度:
fXx=-∞+∞fx,ydy,fYy=-∞+∞fx,ydx
离散型随机变量概率密度:
13.两个随机变量的函数分布:
i.Z=X+Y的分布
若X与Y不独立,则fX+Yz=-∞+∞f(z-y,y)dyfX+Yz=-∞+∞f(x,z-x)dx
若X与Y独立,则fX+Yz=-∞+∞fXz-yfY(y)dyfX+Yz=-∞+∞fXxfY(z-x)dx
ii.Z=YX的分布;
Z=XY的分布
若X与Y不独立,则fYXz=-∞+∞xfx,xzdxfXYz=-∞+∞1xfx,zxdx
若X与Y独立,则fYXz=-∞+∞xfXxfY(xz)dxfXYz=-∞+∞1xfX(x)fYzxdx
iii.M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布,设X和Y相互独立
※Fmaxz=FX(z)FYz
※Fminz=1-1-FXz[1-FYz]
14.期望及方差公式:
(1)离散型随机变量期望:
EX=k=1∞xkpk
(2)连续型随机变量期望:
EX=-∞+∞xf(x)dx
(3)设Y是X的函数Y=g(X),则
EY=Eg(X)=k=1∞g(xk)pkEY=Eg(X)=-∞+∞g(x)f(x)dx
(4)设Z是二维随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y),则
EZ=Eg(X,Y)=-∞+∞-∞+∞gx,yf(x,y)dxdyEZ=Eg(X,Y)=j=1∞i=1∞gx,ypij
(5)期望的性质:
i.EX+Y=EX+E(Y)
ii.若X,Y不相关,则:
EXY=EXE(Y)
iii.附加公式:
EX+Y=-∞+∞-∞+∞(x+y)f(x,y)dxdy
EXY=-∞+∞-∞+∞xyf(x,y)dxdy
(6)方差定义式:
DX=EX-EX2
具体写成:
DX=k=1∞xk-EX2pkDX=-∞+∞xk-EX2fxdx
(7)※方差计算式:
DX=EX2-E2X
(8)方差的性质:
i.DCX=C2DX,DX+C=DX
ii.DX±
Y=DX+DY±
2Cov(X,Y)
iii.若X,Y不相关,则:
DX±
Y=DX+DY
(9)切比雪夫不等式:
设随机变量X具有期望EX=μ,方差DX=σ2,则对任意正数ξ有:
PX-μ≥ξ≤σ2ξ2或PX-μ<
ξ≥1-σ2ξ2
(10)协方差定义式:
CovX,Y=EX-EXY-EY
(11)协方差计算式:
CovX,Y=EXY-EXEY
(12)协方差的性质:
i.CovaX,bY=abCovX,Y
ii.CovX1+X2,Y=CovX1,Y+CovX2,Y
(13)相关系数:
ρXY=CovX,YDX∙DY
从此处开始以下公式共用一个条件:
X1,X2,⋯,Xn是来自总体X的简单随机样本。
15.
(1)当n充分大时:
k=1nxk-nμnσ~N(0,1)
(2)当n充分大时,上式也可也写成:
X-μσn~N0,1或X~N(μ,σ2n)
16.
(1)样本均值:
X=1ni=1nXi
※
(2)样本方差:
S2=1n-1i=1nXi-X2=1n-1i=1nXi2-nX2
16.χ2分布:
总体X~N(0,1),则
χ2=X12+X22+⋯+Xn2记作:
χ2~χ2(n)E(χ2)=n,Dχ2=2nχ2n1+χ2n2=χ2n1+n2
17.t分布:
设X~N(0,1),Y~χ2(n),则
t=XYn记作:
t~t(n)
若t~t(n),则:
t2~F1,n
18.F分布:
设X~χ2(n1),Y~χ2(n2),且X与Y相互独立,则
F=Xn1Yn2记作:
F~Fn1,n2
若F~Fn1,n2,则1F~Fn2,n1
特例:
若X~N(0,1),Y~N(0,1)则X2Y2~F(1,1)
※19.九个最常见的统计量:
EX=μ,
DX=σ2n,
ES2=σ2
X~Nμ,σ2n,
X-μσn=nX-μσ~N(0,1)
i=1nXi-μ2σ2~χ2(n)
n-1S2σ2=i=1nXi-Xσ2~χ2(n-1)
X-μSn=nX-μS~t(n-1)
nX-μ2S2~F1,n-1
20.施密特正交化公式:
β1=α1β2=α2-β1,α2β1,β1β1β3=α3-β1,α3β1,β1β1-β2,α3β2,β2β2⋯βr=αr-β1,αrβ1,β1β1-β2,αrβ2,β2β2-⋯-βr-1,αrβr-1,βr-1βr-1