第三章行波法(2)文档格式.doc

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12．无限长弦在点x=x0受到初始冲击，冲量为I，试求解弦的振动。

[提示：

]。

习题2.2（P154）

1．一根无限长的弦与轴的正半轴重合，处于平衡状态中，左端位于原点，当时左端点最微小的振动，求弦的振动规律。

当显然有

当，将初始条件延拓到x<

0半无界区域，

其中和尚未确定。

将达朗伯公式应用于延拓后的无界弦。

且令其满足边界条件得到：

即

记at为，则

显然取时可以满足边界条件

于是

2．半无限长的杆，其端点受到纵向力作用，求解杆的纵振动。

泛定方程，

的初始条件：

边界条件

对的地方，端点的影响未传到，所以

。

对的地方，需要考虑端点的影响。

对a<

0,和未定义，现将它们延拓。

其中和待定，应用达朗伯公式；

它应满足边界条件

显然，取而即可满足条件。

3．平面偏振的平面光波沿x轴行进而垂直地投射于两种介质的分界面上，入射光波的电场强度，其中是第一种介质的折射率。

求反射光波和透射光波[提示：

在分界面上，E连续，。

入射光波传到分界面x=0处的时刻为t=0，得定解问题：

衔接条件

在x<

0的区域中，

（1）之解为

由条件

（2）可得

在区域x>

0，没有反射波，只有透射波。

因此（3）的解为

由条件（4），。

应用衔接条件（5）（6），得

将（8）对t积分，且由于。

由（7）（9）消去行

再得。

所以解为：

反射波

透射波

4．求解半无限长理想传输线上电报方程的解，端点通过电阻相接，初始电压分布为，初始电流分布，在什么条件下端点没有反射（这种情况叫作匹配）？

∵是理想传输线，∴。

因此，定解问题是

（x<

0）

电压和电流在点有。

（i）对于端点的影响尚未到达，由达朗伯公式；

同理

这就是从的区域沿x轴正方向朝着端点x=0行进的入射波。

（ii）对于，必须考虑到端点的反射，直接从通解出发有

（1）

（2）

其中和是待求的反射波，因传输是理想的，故

（1）和

（2）应满足和。

由于所以上列两式即

总之和两个函数不是独立的，这样

（1）和

（2）应代之以

（3）和（4）应满足边界条件即

由此解得

以此代入（3）和（4）得到解答

右边第二项是反射波，要想没有反射波，应令右边第二项的系数为零，即

端点没有反射波，意味着电波的能量全部被电阻吸收，

这叫做阻抗匹配，这时负载阻抗R等于传输线的特性阻抗。

5．在弦的x=0处悬挂着质量为M的载荷，有一行波，从x<

0的区域向悬挂点行进，试求反射波和透射波，

设波传到分界点x=0处的时刻为t=0，则依题意

衔接条件为

上式中是荷载Mg的位移，在x＜0的区域中，方程

（1）的通解为

其中是待求的反射波。

由条件

（2）知

即

由的解知

在的区域，只有透射波，而没有反射波，故（3）的解为

其中是待求的反射波，由条件（4），可知

即

由可得

。

应用衔接条件（5），（6），可得

∴

将上式对t积分，并利用得

而反射波。

故本题之解透射波为：

当时，

当，时，

习题2.3（P162）

1．证明球面问题

的解为：

将该问题利用球坐标转换为一维问题。

在球对称的情况下原方程可变为：

令，则原方程变为：

得通解为：

即，原方程的通解为

将初始条件代入有

求解并整理

2．以半径为的球内含有气体，在初始时刻时是静止的，在球内的初始压缩率为，在

球外为零。

无论何时，压缩率与速度势的关系为，并且速度势满足方程

试对所有的，确定压缩率。

该问题的定解问题为：

上题的结果有：

讨论：

（1）若点在球外，则，所以，即，此时有

（2）若点在球内，则，

（ⅰ）当时，更有，得

（ⅱ）当当时，而当时，，

（III）当，更有，所以，，此时有：

3．利用泊松公式求解下列定解问题

根据三维泊松公式有：

因为：

所以：

4．在泊松公式中，若将球面上的积分代一平面上的圆的积分，并注意球面上下两半都投影于同一圆，便可导出二维空间的泊松公式。

试推导二维空间的泊松公式：

将三维泊松公式中球面上的积分代一平面上的圆的积分，而积分面积元则应以在上的投影代替，即

又球面上下两半部都投影于同一圆，所以，

将其代入三维波送公式有：

+

即：

5．利用二维泊松公式求解下面的定解问题

根据二维泊松公式有：

思考：

能否用简单的方法求解第2题和第5题

第2题：

由于该方程为线性方程，故可以利用叠加原理来求解。

于是该题可以变为下面三个一维波动方程的解的叠加。

（1）

（2）（3）

故原方程的解为：

第5题：

由初始条件可知，将二维波动方程分解为一维波动方程的叠加

（1）

6．应用泊松公式计算下述定解问题的解.⊿，初始速度为零.初始位移在某个单位球内为1，在球外为零。

取单位球的球心为坐标原点，则定解问题为：

由泊松公式

（i）当点（以为矢径的点简称为点，下同）在单位球内时：

a.若，球面完全在单位球内，从而

b.若，单位球将在球面内，这时，从而.

c.若，则与单位球相交，设它在球内的部分为，因在球外而在上，.

∴.

∵

，

∴

.

（ii）当点在单位球外时

a.若，与单位球分离，在上，∴.

b.若将单位球包含于内，在上，∴.

c.若与单位球相交，设它在球内的部分为，与（i）之c相同的计算，得

综上述，在球内

在球外

7．应用泊松公式计算下述定解问题的解.⊿，初始速度为零，初始位移在球以内为，在球外为零。

该定解问题的数学模型为：

由泊松公式，

（i）当点在球内时，

a.若在球内，.

为计算上式右端积分，如右图所示，以为原点，的方向为Z轴方向建立球坐标系，设上的点在球坐标系内的坐标为.

则∠，

注意到，

有

∵

又

∴

从而

b.若，球将在内部，这时，从而.

c.若，则与球相交.

与情形i）一样建立坐标系，一样讨论，只不过应在在球内的部分积分（∵在球外），即为右图所示，应从积到π，而所对应之点，从而

（ii）当点在球外时

a.若与球分离，，

b.若将球包含于内，仍有，

c.若球面与球相交。

完全类似于（i）之c的讨论得到

综上所述，本问题的解为

在球内

8．二维波动，初始速度为零，初始位移在圆以内为1，在圆外为零，试求.

应用二维泊松公式

（i）当，

.

（ii）当，

7．求解三维无界空间的输送问题：

⊿，.

将u展开为三重傅里叶积分，

代入泛定方程，得

得关于T的方程为，即。

，代入初始条件.

即是的三重傅里叶变换式：

把工入的式子得：

其中

∴.

8．求解三维无界空间中的波动问题

⊿3，

从初始状况反推以前（t<

0）的状况.

⊿，，

代入泛定方程，分离出关于T的方程.

，代入初始条件得到

解之得

，

.

对，舍去，所以

，

积分只需在球面上进行，这个球面使，为球面上点的矢端，球心在以为矢径的点（即要求解的点，半径为）或写作，这个球面记为，因而所求的解

习题2.4（P168）

1．求解下面的问题

（1）

因为，所以原方程的解为；

（2）

（3）

（4）

2．设是初值问题

的解，证明

是非齐次方程零值初值问题

证明：

根据求导公式

由初始条件有

故有

，

根据初始条件有

所以

所以满足二维非齐次方程。

所以是二维非齐次方程定解问题的解。

3．试推导二维非齐次波动方程初值问题

的解的表达式为

+

根据线性方程的叠加原理，该方程可分解下面两个方程的叠加

（1）

（2）

而

（1）的解为

根据2题解先可化为下面方程的解

令，则上面的方程又变为

有方程

（1）的结果得

所以方程

（2）的解变为

所以原方程的解为

+