学年新教材人教A版数学必修第1册讲义131第1课时 并集与交集.docx

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学年新教材人教A版数学必修第1册讲义131第1课时并集与交集

1．3　集合的基本运算

第1课时　并集与交集

1．理解并集、交集的概念．

2．会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集．

3．会求简单集合的并集和交集．

1．并集的概念及表示

2.交集的概念及表示

温馨提示：

（1）两个集合的并集、交集还是一个集合．

（2）对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．

（3）A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．

3．并集、交集的运算性质

并集的运算性质

交集的运算性质

A∪B＝B∪A

A∩B＝B∩A

A∪A＝A

A∩A＝A

A∪∅＝A

A∩∅＝∅

1．已知下列集合：

A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x∈N|1≤x≤4}，C＝{－1,1,2,3,4}．

（1）集合A与集合B各有几个元素？

（2）若将集合A与集合B的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？

（3）集合C中的元素与集合A，B有什么关系？

[答案]　

（1）A有2个元素，B有4个元素

（2）{－1,1,2,3,4}

（3）集合A、B中的元素属于集合C

2．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成的集合．（　　）

（2）A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．（　　）

（3）并集定义中的“或”就是“和”．（　　）

（4）若A∩B＝C∩B，则A＝C.（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×

题型一并集的运算

【典例1】　

（1）若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于（　　）

A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}

C．{1,2}D．{0}

（2）已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于（　　）

A．{x|－1≤x<3}B．{x|－1≤x≤4}

C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}

[思路导引]　由并集的定义，结合数轴求解．

[详细分析]　

（1）A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.

（2）在数轴上表示两个集合，如图．

∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.

[答案]　

（1）A　

（2）C

　求集合并集的2种方法

（1）定义法：

若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．

（2）数形结合法：

若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．

[针对训练]

1．已知集合A＝{x|（x－1）（x＋2）＝0}，B＝{x|（x＋2）（x－3）＝0}，则集合A∪B是（　　）

A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}

C．{1，－2,3}D．{1，－2，－3}

[详细分析]　∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，

∴A∪B＝{1，－2,3}．

[答案]　C

2．若集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________.

[详细分析]　将－35在数轴上表示出来．

则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．

[答案]　{x|x<－5或x>－3}

题型二交集的运算

【典例2】　

（1）设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于（　　）

A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}

（2）设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{2}B．{3}

C．{－3,2}D．{－2,3}

[思路导引]　既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的集合，借助图示方法求解．

[详细分析]　

（1）在数轴上表示出集合A与B，如下图．

则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.

（2）A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，

∴A∩B＝{2}．选A.

[答案]　

（1）A　

（2）A

　求集合交集的2个注意点

（1）求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．

（2）在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．

[针对训练]

3．若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B＝（　　）

A．{1,2}B．{0,1}

C．{0,3}D．{3}

[详细分析]　∵A＝{0,1,2,3}，

B＝{x|x＝3a，a∈A}，∴B＝{0,3,6,9}，

∴A∩B＝{0,3}．

[答案]　C

4．设A＝{（x，y）|x＋y＝0}，B＝{（x，y）|x－y＝4}，则A∩B＝________.

[详细分析]　A∩B＝{（x，y）|x＋y＝0且x－y＝4}

＝

，

解方程组

得

∴A∩B＝{（2，－2）}．

[答案]　{（2，－2）}

题型三由集合的并集、交集求参数

【典例3】　

（1）设集合A＝{x|－1

（2）已知集合A＝{x|－3

[思路导引]　

（1）画出数轴求解．

（2）若A∪B＝A，则B⊆A；若A∩B＝A，则A⊆B.

[解]　

（1）如下图所示，

由A∪B＝{x|－1

（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A.

若B＝∅，则2－k>2k－1，得k<1；

若B≠∅，则

解得1≤k≤

.

综上所述，k≤

.

[变式]　本例

（2）若将“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，其他条件不变，求k的取值范围．

[解]　∵A∩B＝A，∴A⊆B.

∴

解得k≥5.

　由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点

（1）策略：

当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝B转化为A⊆B.

（2）方法：

借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式（组），求解即可，特别要注意端点值的取舍．

（3）注意点：

当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．

[针对训练]

5．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．

[解]　∵M∩N＝{3}，∴3∈M,3∈N.

∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4，

当a＝－1时，N＝{－1，－1,3}，与元素的互异性矛盾．所以a≠－1.

当a＝4时，N＝{－1,4,3}，适合题意．

综上，a＝4.

6．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a为常数}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

[解]　由已知得A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，

∴集合B有两种情况：

B＝∅或B≠∅.

①当B＝∅时，方程x2－4x＋a＝0无实根．∴Δ＝16－4a<0，∴a>4.

②当B≠∅时，若Δ＝0，则有a＝4，此时B＝{2}⊆A满足条件；若Δ>0，则1,2是方程x2－4x＋a＝0的两根，但由根与系数的关系知矛盾，∴Δ>0不成立，∴当B≠∅时，a＝4.

综上可知，a的取值范围是{a|a≥4}.

课堂归纳小结

1．对并集、交集概念的理解

（1）对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“可兼”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：

x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由两个集合A，B的所有元素组成的集合．

（2）A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有

公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.

2．集合的交、并运算中的注意事项

（1）对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．

（2）对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.

1．设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则（A∩C）∪B＝（　　）

A．{2}B．{2,3}

C．{－1,2,3}D．{1,2,3,4}

[详细分析]　因为A∩C＝{1,2}，所以（A∩C）∪B＝{1,2,3,4}，选D.

[答案]　D

2．集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于（　　）

A．{1,2}B．{0,1,2}

C．{x|0≤x≤3}D．{x|0≤x<3}

[详细分析]　由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，

故P∩M＝{0,1,2}．

[答案]　B

3．已知集合A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－

}，则（　　）

A．A∩B＝∅B．A∪B＝R

C．B⊆AD．A⊆B

[详细分析]　∵A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－

}，∴A∩B＝{x|－

}，A∪B＝R.故选B.

[答案]　B

4．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________．

[详细分析]　因为N＝{x|2x＋k≤0}＝

，

且M∩N≠∅，所以－

≥－3⇒k≤6.

[答案]　k≤6

5．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，

（1）当m＝2时，求M∩N，M∪N.

（2）当M∩N＝M时，求实数m的值．

[解]　

（1）由题意得M＝{2}．当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，

则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．

（2）∵M∩N＝M，∴M⊆N.∵M＝{2}，∴2∈N.

∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，

即4－6＋m＝0，解得m＝2.

由

（1）知，M∩N＝{2}＝M，

适合题意，故m＝2.

课后作业（四）

复习巩固

一、选择题

1．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝（　　）

A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}

C．{x|0

[详细分析]　借助数轴易得A∪B＝{x|x≥－1}．

[答案]　A

2．若集合A＝{x|－5

A．{x|－3

C．{x|－3

[详细分析]　由交集的定义知A∩B＝{x|－5

[答案]　A

3．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则右图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{2}B．{3}

C．{－3,2}D．{－2,3}

[详细分析]　注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.

[答案]　A

4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于（　　）

A．{1,2}B．{1,5}

C．{2,5}D．{1,2,5}

[详细分析]　∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，

∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}，

∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.

[答案]　D

5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A．a<2B．a>－2

C．a>－1D．－1

[详细分析]　∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

可知a>－1.

[答案]　C

二、填空题

6．满足{0,1}∪A＝{0,1,2}的所有集合A的个数为________．

[详细分析]　由{0,1}∪A＝{0,1,2}可知A＝{2}或A＝{0,2}或A＝{1,2}或A＝{0,1,2}，共4个．

[答案]　4

7．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为________．

[详细分析]　集合A的含义是被3除余2的正整数组成的集合，在集合B中，8,14被3除余2，故A∩B＝{8,14}，其中有2个元素．

[答案]　2

8．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

[详细分析]　由A∩B＝B得B⊆A.

①当B＝∅时，即m＋1≥2m－1，解得m≤2.

②当B≠∅时，

解得2

综上可知，m的取值范围是m≤4.

[答案]　m≤4

三、解答题

9．已知集合A＝{x|－2

（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；

（2）若A∩B＝A，求实数m的取值范围．

[解]　

（1）∵A＝{x|－2

又A∩B＝∅，∴m≤－2.

（2）∵A＝{x|－2

由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.

10．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值．

[解]　∵A∪B＝A，∴B⊆A.

∵A＝{－2}≠∅，∴B＝∅或B≠∅.

当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.

当B≠∅时，此时a≠0，则B＝

，

∴－

∈A，即有－

＝－2，得a＝

.

综上，a＝0或a＝

.

综合运用

11．设S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a

A．－3

C．a≤－3或a>－1D．a<－3或a>－1

[详细分析]　在数轴上表示集合S，T如图所示．因为S∪T＝R，由数轴可得

解得－3

[答案]　A

12．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是（　　）

A．t<－3B．t≤－3

C．t>3D．t≥3

[详细分析]　因为B＝{y|y≤t}，又因为A∩B＝∅，且A＝{x|－3≤x≤3}，所以t<－3.

[答案]　A

13．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1

[详细分析]　∵B∪C＝{x|－3

∴A∩（B∪C）＝A，

由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}．

∴a＝－1，b＝2.

[答案]　－1　2

14．高一某班60名同学参加跳远和铅球测试，及格人数分别为40人和31人，这两项均不及格的人数有4人，则两项都及格的人数为________．

[详细分析]　设所求人数为x，则由题意知（40＋31）－x＋4＝60，解得x＝15.

[答案]　15

15．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1或x>16}．

（1）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；

（2）若A⊆（A∩B），求实数a的取值范围．

[解]　

（1）若A＝∅，则A∩B＝∅成立．

此时2a＋1>3a－5，即a<6.

若A≠∅，如图：

则

解得6≤a≤7.

经检验a＝6，a＝7符合题意．

综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是a≤7.

（2）因为A⊆（A∩B），所以A∩B＝A，即A⊆B.

显然A＝∅满足条件，此时a<6.

若A≠∅，如图，

则

或

由

解得a无解；

由

解得a>

.

综上，满足条件A⊆（A∩B）的实数a的取值范围是a<6或a>

.