立体几何空间角求法题型线线角线面角二面角Word文档下载推荐.docx
《立体几何空间角求法题型线线角线面角二面角Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何空间角求法题型线线角线面角二面角Word文档下载推荐.docx（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
思路二：
平移线段CiE让Ci与Di重合。
转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。
（图I）
uuuujuumr
解法一：
以A为原点，ABAD'
AA分别为x轴、y轴、z轴的
•••直线ECi与FDi所成的角的余弦值为
I4
解法二：
延长BA至点Ei,使AEi=I，连结EiF、DEi、DiEi、DF,
有DiCi//EiE,DiCi=EiE,则四边形DiEiECi是平行四边形。
则EiDi//ECi
于是/EiDiF为直线ECi与FDi所成的角。
在Rt△BEiF中，EiF-JeiF2BF2「52i2「‘莎。
D1E1-DE：
DD：
、AE：
AD2DD：
在Rt△D1DE1中，
.123222,14
在Rt△DiDF中,FDj、、―DD12
、.CF2—CD2—DDj一224222,24
在厶EiFDi中，由余弦定理得:
222
D1E1FDiEiF
2D1E1FD1
、直线和平面所成的角
斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线
段在平面内的射影。
因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三
角形求解；
向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设B为直线I与平面a所成的角，为直线I平面ABD上的射影是ABD的重心G。
求A1B与平面ABD所成角的大小。
解以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立直角坐
标系，
设CACBa，贝U
A（a,0,0,B（O,a,0,Ai（a,0,2）,D（0,0,1
e（at1，
aa2—
GE（齐弓，BD（0,a-.
点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G,
GE（-,-,2）,BA'
（2,2,2,
评析①因规定直线与平面所成角[0,—],两向量所成角[0,],所以用此法向量求出的线面
2
角应满足|一|。
②一般地，设n是平面M的法向量，AB是平面M的一条斜线，A为斜足，则AB
与平面M所成的角为：
ujurABn
arccos
tun-
T
AB
n
arcsin
nunAB
rn
nun
r
o
333
GE平面ABD,•••GE为平面ABD的一个法向量。
1几何法：
二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法:
①直接利用定义，图4
（1）。
②利用三垂线定理及其逆定理，图4
（2）最常用。
③作棱的垂面，图4（3）。
图4
另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角；
2,，D是CB延长线上一点,
ULUULLT
AB,CD。
例3如图6,正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3,侧棱AA1
且BDBC。
求二面角B1ADB的大小。
解取BC的中点0,连AO。
由题意平面ABC平面BCC1B1,AOBC,
•••AO平面BCCiBi,
以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系,
33933_
则a（o,0,2、3）,b（-,0,0），D（2,0,O），B1（?
q3,0，
评析在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取
n2
时，会算得cosBB1,n2
-，从而所求二面角为120，但依题意只为60。
因为二面角的大小有时
为锐角、直角，有时也为钝角。
所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。
小结：
1空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须深刻理解。
平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况。
几何法在书写上体现：
“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。
严阿£
z昉
二®
蹩
L皓玮情彬屏直,
御e书一
点斑江出上干辰巾
「定恥一二辜毀理去
『怎垂苣圧
*—E&
fHfe
便信範（斜足•量足■期覽.煎編.
间苒梳tt?
民土:
向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化。
主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算。
练习：
1、如图，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,其中Ox//BC,
Oy//AB•E为VC中点，正正四棱锥底面边长为
2a,高为ho
（i）求cosBE,DE;
（n）记面BCV为a,面DCV为B,若/
BED是
面角a—VC—B的平面角，求/BED•
解：
（I）由题意知B
（a,a,0）,C
（—a,
—-3a
由此得BE（兀
BEDE（遁a）
22
0）,E程黑）
a,0）,D（—a,—a,
a3ah
（2,7,2）,
（a3a）h
22）22
3ah
24
——-3a2a2h2
厲侶屮戸辽）
（2）
由向量的数量积公式有
BEDE
cosBE,DE
IBE||DE|
210a2
3a2h2
h2
6ah
22.
10ah
（II）若/BED是二面角a—
VC—B的平面角,
BECV,即有
BE
CV=0•
又由C（—a,a,0）,V
（o,
0,h）,有CV
（a,
a,h）且BE
3a
BECV
0,即h2a,这时有
6a2
10a2h2
6a2（2a）2
10a2（、2a）2
BED
BE,DEarccos（
3）
1
arccos一.
3
2•如图，直三棱柱
ABC—AiBiCi中,
/ACB=90°
AC=1,CB=2,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B
A
C'
的两条对
角线交点为D,BiCi的中点为M。
求证:
（1）CD丄平面BDM;
（2）求面BiBD与面CBD所成二面角的大小。
分析：
要证CD丄平面BDM，只需证明直线CD与平面BDM内的两条相交直线垂直即可；
要求二面角，需找出二面角的平面角或转化为两直线的夹角。
考虑几何法或向量法求解。
（1）如图连结CA仆ACi、CM，贝yCA1-..2。
QCBCA2,CBA,为等腰三角形。
又知D为其底边的中点，•••CD丄AiB。
•/AiCi=1,CiBi=\2。
二AiBi='
、3。
又BBi=1,•A1B=2。
：
AQB为直角三角形，D为AiB的中点,
CD陆
i,CDCCi.又DM
丄AG
2dm
CiM
"
CDM也
CCiM,CDM
CCiM
90，即CD
DM
TAiB、DM为平面BDM内的两条相交直线，•CD丄平面BDM。
（2）F、G分别为BC、BD的中点，连结BiG、FG、BiF,
则FG//CD,FG=—CD,
•FG=—,FG丄BD,
由侧面矩形BBiAiA的对角线的交点为D知BDBiDABi,
于是BiG
BD,BiG
BiGF是所求二面角的平面角。
又
•••"
BBiD是边长为i的正三角形。
BiF2
BiBBFi
BiG2FG2BiF2
cosB-|GF
—3,即所求二面角
2BGFG
的大小为
arccos—
解法二:
以C为原点建立坐标系。
⑴B.2,0,0,B、、2,i,0,Ai0,i,i,D
2'
2'
适i0
2,i0
0,2,
uuu211uuur_uuuu
CD，丄，，AB,,2,1,1,DM
uuuunr则CDAB
iuuuuuu
0,CDDM0,CD
AB,CD
DM,
TA1B、DM为平面BDM内两条相交直线,
CD丄平面BDM。
3.211
G，一，一
444
uur,BD
（2）设BD的中点为G,连结B1G，则
.211眾231
,,B1G,,
222442
iuuuuur
BDBG0,BDBG又CDBD，
uuruuu
CD与B1G的夹角等于所求二面角的平面角。
cos
uurCDuu
CDB1G
uuur
B1G
uuuu
臥所求二面角的大小为
73
arccos——。
升级会员 