企业退休职工养老金制度的改革方案(大学生数学建模国家一等奖)Word格式.doc

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最后我们认为应该采取鼓励职工早缴养老保险费，延长退休年龄，适当提高银行利率，提高高收入人员的个人账户缴费比例，适当增加统筹基金缴费比例等建议。

关键字：

养老金logistic模型替代率收支平衡模型灵敏度分析matlab软件

一、问题重述

养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。

我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。

退休后就可以每月都能领到一部分养老金来保证自己的生活需求。

影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。

替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。

按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；

替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。

问题一：

对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。

问题二：

根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。

如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴纳老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。

问题三：

假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴纳老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。

计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

问题四：

如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。

请给出你的理由。

二、模型假设

1、假设未来25年内的经济发展速度与之前发展趋势基本一致，即保持较高速度增长，到2050年达到中等发达国家的水平，经济的增长速度逐渐放缓。

2、国家职工的工资增长形势与国家经济发展形势相同。

3、假设该企业职工缴纳保险期间连续不间断的缴纳

4、个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。

5、员工在最后一年没有领取养老金即死亡。

6、个人账户养老金领取完后，只发放基础养老金。

7、统筹基金不计利息，个人账户养老金退休后不计利息。

8、个人、企业的年平均工资的增长形势与省职工的年平均工资增长形势相同。

三、符号说明

2009年职工工资，分别表示各个工资段的平均工资，即1250,1750,2250,2750,3250,3750,4500,6500（单位：

元）

2009年该企业平均工资

工资为的企业人数

工资为的缴费指数

表示职工的各个年龄段

工资为、年龄段为的企业人数

表示年龄段的平均工资

表示年龄段的平均缴费指数

统筹基金

表示个人账户累计额

表示总养老金

基础养老金总额

个人账户存储额

统筹基金的缴纳比例

个人工资缴纳比例

年利率

计发月数

为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限

为职工实际领取基本养老保险费的年限

为参保人员退休前1年、2年、……、m年本人缴费工资额

为参保人员退休后第1年、2年、……、年领取的养老金

为参保人员退休前1年、2年、……、m年全国/省/地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”

为参保人员退休后第1年、2年、……、年全国/省/地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”

四、模型分析

题中已给出了山东省历年职工的平均工资发展情况和某个企业职工各年龄段的工资分布表，根据历年职工平均工资的发展情况来对未来经济发展和养老保险金做出合理的改革方案。

根据历年职工平均工资发展情况描点作图得到历年工资与时间的函数图像（见图1），由图可以看出工资曲线的变化趋势是先开始平缓增长，之后迅速爆炸增长；

又根据中国最近10年发展的速度可看出GDP的增长率在8%-12%之间，即使在2008年的经济危机，中国的经济发展速度也同样在8%左右，根据目前的发展形势我们预测未来几年的经济发展也会同样迅速；

但是根据国家战略规划，到21世纪中叶达到中等发达国家水平，而中等发达国家的经济发展和工资增长发展比较缓慢，因此中国未来GDP的增长速度也会放缓。

在这一时间段内，符合logistic模型，通过立logistic模型预测出2011年到2035年职工工资情况。

我们把2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比看作是该公司职工缴费指数的参考值，从2009年山东省某企业各年龄段工资分布表看出不同年龄段内又存在不同工资段的职工，由于题目未明确给出员工的具体工资，我们假设每个工资段内员工的工资水平是均匀分布，因此选取每个工资段内的中间值作为该年龄段对应的该工资段内的职工的平均工资，然后建立一个养老金替代率模型带入相关数据求解出各种情况下的养老金。

对于问题中假设的某职工从2000年起从30岁开始缴纳养老保险费，一直缴费到退休，缴费年限分别为25年，30年，35年，直到2025年，2030年，2035年缴费完毕，之后就领取养老金，直到75岁死亡，要满足缴存的养老金与领取的养老金之间达到收支平衡，即养老金的积累等于养老金的支出，根据题目中给出的公式可以求解。

在解决养老金的缺口问题中，养老金的积累小于养老金的支出即为养老金的缺口，然后分别计算了缴费年限在30-55岁，30-60岁，30-65岁三种情况下的养老金的缺口情况。

我们首先参考问题二和问题三建立替代率和养老金缺口的精算模型，然后根据题目所给数据得到2009年30岁开始缴费到60岁，领取养老金到75时的替代率和养老金缺口，然后对各因素对替代率和养老金缺口的影响进行灵敏度分析。

五、模型建立与求解

5.1模型准备：

Logistic模型的简介

Logistic模型又称为logistic回归，主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，在预测人口的数量发展变化规律可以得到很好的效果。

同样的经济预测领域也同样有广泛的应用。

很多新事物的发展都会呈现一些规律例如：

在发展的初期，开始平缓的增长，之后发展越来越快，到一定的时期，达到最大值之后，变化就会逐步缓慢，最终趋向到一个极限值。

5.1.1对于工资数据的分析

问题一要预测2011年到2035年山东省职工工资，而职工的工资又和经济发展相关，首先我们根据题目所给数据利用Matlab软件描点作图做出前30年的山东省职工工资曲线图如图1-1所示，然后根据《山东省统计年签2010》官方数据做出如图1-2所示的人均GDP增长曲线。

图1-1

图1-2

由图1可以看出，从1978年至1995年山东省职工的工资开始趋于平缓，从1976年至2010年山东省的职工工资呈现出一个飞速发展的状态，而对比图2我们看出人均GDP的发展趋势和我们图1基本相吻合，即职工工资与本国人均GDP的增长是一个正相关关系，而人均GDP又是衡量一个国家经济发展的唯一标准，因此一个国家的经济水平的高低关系到职工工资的高低。

我国的战略目标是，在21世纪中叶人均GDP达到中等国家水平；

而发达国家的经济和工资的增长率都较低，因此到21世纪中叶职工的工资会出现一个比较缓慢而稳定的增长速度，之后就趋于平缓，符合阻滞增长模型（logistic模型），通过建立logistic模型我们根据前三十年的职工工资预测出2011到2035年的职工平均工资的发放情况。

5.1.2建立logistic模型并求解

阻滞作用体现在对于经济增长率的影响，使得增长率r随着经济的增长而下降，这样可以写出其一般形式

，

（1）

式中为预测值，为的极限值，为经济增长率

其中，右端的因子体现经济增长趋势，因子则体现了各种环境因素对于经济发展的影响，进而对工资产生影响，越大，前一个因子影响越大，后一个因子影响越小，由此产生两个因子共同影响的结果

对于此微分方程进行求解：

（2）

求解步骤

Step1：

通过线性回归得到

Step2：

这里假设，然后对两边取对数得到：

这里是的线性函数，斜率为，截距为。

Step3：

运用matlab最小二乘法进行非线性拟合可以求得最后结果。

在对于L的估测中，我们采用世界银行公布的数据，对于2010年人均GDP是8613美元，而假定世界经济增长率为3.9%，美元兑人民币汇率按照6.389计算，这样可以求出40年以后的人均GDP为254220元人民币。

运用matlab软件求解（见附录1）可以得到：

由此我们得到logistic的方程为：

（3）

根据公式

（1）预测得到2011年到2035年山东山东省平均工资如下表1-1所示：

表1-12011年到2035年山东山东省平均工资

年份

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

工资/元

37000

41700

46870

52530

58670

65300

72400

2018

2019

2020

2021

2022

2023

2024

79950

87900

96210

104810

113620

122570

132560

2025

2026

2027

2028

2029

2030

2031

140510

149330

157930

166240

174200

181750

188860

2032

2033

2034

2035

195490

201640

207300

212470

5.1.3拟合度图像检验

根据求得的结果对题目中给出的1978年到2010年的数据做图像进行处理，并且加入得到线性回归的参数曲线与已知点的关系如下图1-3所示：

图1-3

从图像可以看出，logistic模型曲线和题目中的数据的发展趋势有很好吻合度，为了更直观的表示出实际值与预测值之间的差距，我们先根据函数预测出1978年到2010年的函数值，然后通过公式求得出两者之间的绝对误差和相对误差。

根据上述公式得出绝对误差与相对误差表如下表1-2

表1-2绝对误差与相对误差表

实际值

预测值

绝对误差

相对误差

1978

566

405

161

0.284452

1979

632

466

166

0.262658

1980

745

537

208

0.279195

1981

755

618

137

0.181457

1982

769

712

57

0.074122

1983

789

820

31

0.03929

1984

985

944

41

0.041624

1985

1110

1087

23

0.020721

1986

1313

1251

62

0.04722

1987

1428

1441

13

0.009104

1988

1782

1658

124

0.069585

1989

1920

1908

12

0.00625

1990

2150

2196

46

0.021395

1991

2292

2527

235

0.102531

1992

2601

2907

306

0.117647

1993

3149

3343

194

0.061607

1994

4338

3843

495

0.114108

1995

5145

4418

727

0.141302

1996

5809

5076

733

0.126184

1997

6241

5830

411

0.065855

1998

6854

6694

160

0.023344

1999

7656

7681

25

0.003265

2000

8772

8808

36

0.004104

2001

10007

10095

88

0.008794

2002

11374

11560

186

0.016353

2003

12567

13226

659

0.052439

2004

14332

15118

786

0.054842

2005

16614

17261

647

0.038943

2006

19228

19682

454

0.023611

2007

22844

22411

433

0.018955

2008

26404

25478

926

0.03507

2009

29688

28911

777

0.026172

2010

32074

32742

668

0.020827

通过Excel做出如图1-4的相对误差变化曲线图，对于相对误差进行分析

图1-4

（注：

图中1,2,3,……33分别表示1978,1979，……2010年）

通过图像显示的趋势线可以看出，实际值与预测值的相对误差变化逐渐减小，预测结果也就越精确，这样logistic回归模型更加合理，精确度更高。

5.2对于问题二的求解

5.2.1计算职工平均工资和缴费指数

我们把2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比看作是该公司职工缴费指数的参考值，从2009年山东省某企业各年龄段工资分布表看出不同年龄段内又存在不同工资段的职工，由于题目未明确给出员工的具体工资，我们假设每个工资段内员工的工资水平是均匀分布，因此选取每个工资段内的中间值作为该年龄段对应的该工资段内的职工的平均工资，我们选取每个工资段内的中间值作为该工资段内职工的平均工资，根据以上假设我们建立了一个养老金替代率模型，进而得出各种年龄段和各种工资段内的养老金替代率。

用表示2009年职工工资（单位：

元），表示2009年该企业平均工资（单位：

元），表示工资为的企业人数，（单位：

个），得出该企业的平均工资为：

（4）

表示职工的各个年龄段（j=1,2,3,4,5,6,7,8，分别表示20-24，25-29,30-34，35-39,40-44,45-49,50-54,55-59八个年龄段），用表示工资为年龄段为的缴费指数，，表示工资为年龄段处于的企业人数，表示年龄段的平均工资，表示年龄段的平均缴费指数，则根据题意得出：

（5）

（6）

（7）

把2009年山东省企业各年龄段工资分布表数据带入公式（4）、（5）、（6）、（7）中得到职工的各种缴费指数如下表2-1：

表2-1职工的各种缴费指数

各种缴费指数

平均缴费指数

年龄段

月收入（元）

1250

1750

2250

2750

3250

3750

4500

6500

20-24

岁职数

0.4845

0.6782

0.8720

1.0658

1.2596

1.4534

1.7440

2.5192

0.6693

25-29

0.8050

30-34

0.9825

35-39

1.0667

40-44

1.1728

45-49

1.2666

50-54

1.2086

55-59

1.1550

5.2.2养老金替代率的求解

用表示参保人员退休前1年、2年、……、m年本人缴费工资额为参保人员退休后第1年、2年、……、年领取的养老金，为参保人员退休前1年、2年、……、m年全国/省/地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”，为参