数学建模练习试题Word格式文档下载.doc
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试建立合理的数学模型解决以下问题:
1）求鱼雷在追踪攻击过程中的运动轨迹；
2）确定甲方潜艇能否安全的回到营地而不会被乙方鱼雷击中
3、贷款买房问题
某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，要求建立数学模型解决如下问题：
1）问该居民每月应定额偿还多少钱？
2）假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房?
4、养老保险问题
养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供选择，分析保险品种的实际投资价值。
某保险公司的一份材料指出：
在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；
若35岁起投保，月养老金1056元；
若45岁起投保，月养老金420元.试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率（也就是投保人的实际收益率）?
5、生物种群数量问题
种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。
要预测未来种群的数量，最重要的影响因素是当前的种群数量，今后一段时间内种群的增长状况和环境因素。
由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少，而且在有限的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设只能达到某一固定的数量值记为xm，称为最大种群容量。
又假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比记为：
r（x）=r-sx,r,s>
0，其中r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率，记当前（即t=0时）种群数量为x0，时刻种群数量为x（t）。
若利用统计数据可知xm，r，x0，则
1）设x（t）为连续、可微函数，请给出未来时间里种群数量满足的数学模型。
2）由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖，所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况。
请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型。
6、生产设备的最大经济效益
某工厂购买了一台新设备投入到生产中。
一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；
另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。
那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。
7、产品最佳价格调整问题
物价管理部门根据市场预测和经济协调发展的需要，决定将A产品的单位价格P（t）由现在的p0=70元调整到p1=70元，并要求各公司自行在一年内完成这一调价任务。
某公司经营A产品多年，深知每周A产品的销售量S与其价格P和价格变化率有着密切的联系，他想利用这种关系制定一个A产品的调价方案，使全年经营A产品的总利润最大。
在如下假设条件下：
（1）物价部门对A产品的调价决策是积极的、正确的，在一年内（调价期）不会发生对A产品的其它调价决策，A产品在市场上的供求矛盾不会出现大的变化；
（2）某公司经理多年经营A产品关于“每周销售量S与其价格的P和价格变化率p’的关系”的信息是可靠的，不妨假设S=（S,P’）；
（3）某公司生产A产品的能力足以满足市场需求。
设每周生产S件A产品的生产费用是C（S）；
（4）函数S=（S,P’）和C（S）由统计方法拟合成连续可微函数。
现查阅统计资料得到
S=（S,P’）=－P+100P’+100,
C（S）=0.5S2+2S+40
经过核实，这两个具体函数符合公司的实际情况；
（5）约定一年以52周计。
在调价期资金流动的时间价值忽略不计。
请建立合理的数学模型为该公司的A产品制定最佳调价方案，并计算在最佳调价方案下的全年最大利润值。
8、最佳投资企业的优选问题
某投资银行拟对某市3家企业（记为X1,X2,X3,X4）进行投资,抽取5项主要指标进行评估:
C1:
年产值（单位:
千万元）；
C2:
社会效益（单位:
C3：
生产能力；
C4：
管理能力；
C5：
技术能力。
评估专家组考察了3家企业2003年-2005年三个年度在5个指标下的具体情况，考察的指标值见表1,其中前2个指标信息是各企业的精确数据,后3个指标信息是评估专家组经考察后的定性结论。
各评价指标权重已知W=（0.3,0.2,0.2,0.1,0.2）。
试建立数学模型确定投资银行的最佳投资企业。
表1各企业分年度指标信息情况表
指标
2003
2004
2005
X1
X2
X3
X4
C1
5.6
6.1
5.8
6.5
5.7
6.2
6.3
5.9
6.9
C2
2.7
3.0
2.8
2.9
3.3
3.1
3.5
3.2
C3
高
很高
一般
C4
C5
9、棋子颜色变化问题
任取n枚黑白两色的棋子，任意摆成一个圈；
在两个颜色相同的棋子中间插入一枚黑色棋子，在两个颜色相异的棋子中间插入一枚白色棋子，然后去掉原来的棋子，新棋子仍构成一个圈；
继续如此做下去。
如果经n次这样的操作后，棋子全变为黑色的，那么，n应满足什么条件。
请给出证明过程。
10、人口预测问题
如果要推测中国15亿人口，有哪些方法？
你用的是什么方法，结果如何？
11、点菜问题
我们在餐馆中点菜，需要包含某些营养成份，但同时又希望总价格最低。
下表是这个餐馆的部分菜单，请你通过数学建模方法，提供合理的选菜方案。
序号
菜单
价格（元）
蛋白质
淀粉
维生素
矿物质
1
菜肉蛋卷
18
2
炒猪肝
21.5
3
色拉
12.5
4
红烧排骨
23
5
咖喱土豆
10.5
6
清汤全鸡
32
12、初等模型练习
1．以下是一个数学游戏：
（1）甲先说一个不超过6的正整数，乙往上加一个不超过6的正整数，甲再往上加一个正整数，...，如此继续下去。
规定谁先加到50谁就获胜，问甲、乙各应怎样做？
（2）如将6改为n，将50改为N，问题又当如何回答？
2．甲乙两人约定中午12：
00至1：
00之间在市中心某地见面，但两人讲好到达后只等待对方10分钟，求这两人能相遇的概率。
3．某人由A处到位于某河流同侧的B处去，途中需要去河边取些水，问此人应如何走才能使走的总路程最少？
4．地面是球面的一部分，（直径约为12.72×
10公里），显然，如果高层建筑的墙是完全垂直于地面的则它们之间必不会平行。
设一建筑物高为400米，地面面积为2500平方米，问顶面面积比地面面积大多少？
5．建一模型说明当你在雨中行走又想少淋雨时，应当如下做：
（1）若你行走的方向是顺风且雨的夹角至少为，你应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于你是垂直下落的
（2）在其他情况下，你都应以最快的速度行走。
6．消防队员救火时不应离失火的房屋太近，以免发生危险。
请建模分析并求出消防队员既安全又能发挥效应的最佳位置。
7．已知在气体中音速V与气压P、气体的密度ρ有关，试求它们之间的关系。
8．风车的功率P与风速v、叶面的顶风面积S及空气的密度ρ有关，试求它们之间的关系。
13、逻辑模型练习
1．证明在7阶两色完全图中必存在4个3阶单色完全图
2．9名学者参加一次国际会议，他们发现：
（1）任意3人中至少有两人可以用同一语言交谈
（2）每人会讲的语言至多为3种，（注意：
并非他们只会将三种语言）证明他们中至少有3人可用同一语言交谈。
3．将一个正九边形连接成完全图，用两种颜色对此完全图的顶点着色。
证明：
不论怎样着色，总可以从此完全图中找到两个全等三角形，他们的顶点是由同一种颜料着色的。
4．给九个定点的完全图用红蓝两种颜色对边着色，如果所含的任意三角形中至少含有一条红边，证明：
必可找到四个顶点，他们之间的连线均为红边，（即其中必含有一个用红边连成的4阶完全图）。
5．在一次9个人的聚会中，发现其中任意三人至少有两人相识，证明从这9人中必可找出4人，他们是两两相识的。
6．某教室中共有9排椅子，每排均有7把，学生恰好坐满教室。
现教师要求每一学生都必须与其前、后、左、右的同学之一交换座位。
请你给出一种交换方法或证明老师的要求是无法实现的。
7．某公司场地如交给甲经营预计年获利为10万元，交给乙经营预计年获利为50万元，交给丙经营预计获利为60万元，如交给甲乙丙共同经营预计获利为100万元。
试用Shapley公式计算，在甲乙丙共同经营时各方应分配到的利益。
8．设某议会的席位由三个党派所拥有，法律规定赞成票达到半数时提案即被通过。
试证明：
（1）只要有一个党派的席位达到总席位的一半，则其余两个党派在议会中事实上根本不起作用。
（2）若三个党派所拥有的席位数均未达到一半，则三个党派在议会中所起的作用完全相同，（不论它拥有多少席位）。
9．猜数是最古老的数学游戏之一，有各种各样的玩法。
下面的猜数游戏比较简单：
甲先想好一个不超过三位（0—999之一）的数字让乙猜。
在猜数时甲可以随便改变自己想好的数，但不能与此前已经回答过的问题相矛盾。
乙可提问题，但甲只回答是或者不是。
（1）试计算乙最少要提问几次，才能讲出甲的数字。
（2）设计一个使乙能通过最少次数提问而讲出甲想的数字的提问方法。
10．在例16伪币鉴定的实验中，第二次测试是最关键的一步，请考虑一下我们为什么要这样设计测试。
我们有这样的把握，如果用这种方法也无法保证在三次测试里一定鉴定出伪币，则不可能有方法保证在三次测试后一定找到伪币。
你知道原因吗？
14、标靶设计
掷飞镖是一种流行的游戏，一个圆形标靶被分成20个相等的扇形区域，在这些区域填有数字1~20表示飞镖落在相应区域的得分，游戏规则是各选手轮流掷镖，每轮的得分从他的总分301中减去，首先恰好减至0分者获胜，试建立模型说明如何安排扇形区域的数字能增加掷镖的难度。
15、铁路列车时刻表问题
全国性的铁路网由几条干线和许多支线组成，编排完整的列车运行时刻表的工作量非常巨大，通常需要先单独编排每条干线上的列车运行时刻表。
设已知某条干线上的站点分布、车速限制、车距限制、运行车次及每次车的停靠站点等数据，建立编排该干线上的列车运行时刻表的数学模型。
16、湖水污染问题
设一容积为V（m3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀地分布在湖中，没湖水更新的速率为r（m3/天），并假设湖水的体积没有变化，试建立湖水污染浓度的数学模型。
（1）美国安大略湖容积5941*109（m2），湖水的流量为4.45365*1010（m3/天）。
湖水现阶段的污染浓度为104，外面进入湖中的水的污染浓度为5%，并假设该值没有变化，求经过500天湖水污染浓度。
（2）美国密西根湖的容积为4871*109（m2）。
湖水的流量为3.6635132*1010（m3/天）.。
由于治理污染措施得力及某时刻起污染源被切断，求污染被中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需时间。
17、自行车外胎的使用寿命
目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。
它小巧、灵活、方便、易学，而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。
但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。
扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。
为了减少不必要的麻烦，如何估计自行车外胎的寿命，及时更换?
18、背包问题（Knapsackproblem）是一种组合优化的NP完全问题。
问题可以描述为：
给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。
问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。
也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？
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