水资源短缺的综合分析和预测数模Word格式.docx
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政府采取了一系列措施积极解决水资源短缺问题,如南水北调工程建设，建立污水处理厂，产业结构调整等。
但是，气候变化和经济社会的不断发展，水资源短缺始终存在。
北京各年的《统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的相关信息（网上可获得）。
利用这些资料和你自己可获得的其他资料，建立数学模型讨论以下问题：
1、影响北京市水资源短缺的主要因素有哪些？
2、对北京市水资源短缺的影响因素进行综合分析。
3、对北京市未来几年的水资源短缺进行预测，并提出应对措施。
附表：
1979年至2000年北京市水资源短缺的状况
年
份
总用水量（亿立方米）
农业用水（亿立方米）
工业用水（亿立方米）
第三产业及生活等其它用水（亿立方米）
水资源总量（亿方）
1979
42.92
24.18
14.37
4.37
38.23
1980
50.54
31.83
13.77
4.94
26
1981
48.11
31.6
12.21
4.3
24
1982
47.22
28.81
13.89
4.52
36.6
1983
47.56
11.24
4.72
34.7
1984
40.05
21.84
14.376
4.017
39.31
1985
31.71
10.12
17.2
4.39
38
1986
36.55
19.46
9.91
7.18
27.03
1987
30.95
9.68
14.01
7.26
38.66
1988
42.43
21.99
14.04
6.4
39.18
1989
44.64
24.42
6.45
21.55
1990
41.12
21.74
12.34
7.04
35.86
1991
42.03
22.7
11.9
7.43
42.29
1992
46.43
19.94
15.51
10.98
22.44
1993
45.22
20.35
15.28
9.59
19.67
1994
45.87
20.93
14.57
10.37
45.42
1995
44.88
19.33
13.78
11.77
30.34
1996
40.01
18.95
11.76
9.3
1997
40.32
18.12
11.1
22.25
1998
40.43
17.39
10.84
12.2
37.7
1999
41.71
18.45
10.56
12.7
14.22
2000
40.4
16.49
10.52
13.39
16.86
注：
2000年以后的数据可以在《北京2010统计年鉴》上查到。
二、问题的分析
根据题目中提出的三个问题，我们分析针对不同的影响因素的不同的影响效果，将决策问题分为两个层次，我们把总用水量定位为目标层，第二层定为影响水资源的三类因素，即农业用水、工业用水、第三产业及生活等其他用水，找出各影响因素对水资源短缺情况影响大小的成对比较矩阵，最后利用特征根法得出各影响因素的权重值，从而找出主要因子。
由于要对北京市水资源短缺的影响因素进行综合分析，我们可以通过建立灰色系统GM（1,1）模型，利用离散随机数经过分别生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起微分方程式模型。
然后通过对各个影响因素进行独立预测，最终得到水资源的短缺值，同时还可以根据预测提出预防应对措施。
三、模型的假设
（1）题目所给的表格数据及网上所查2001年至2009年水资源短缺量数据真实可靠。
（2）假设在一段时间内，如果水利设施以及河流没有发生变化，不考虑南水北调等跨水域调水、自然灾害等带来的影响。
（3）假设北京未来几年的工厂结构和农业结构未发生变化。
（4）北京市人口的增长率稳定，不发生重大突变情况。
（5）假设北京市用水的各个影响因素最后都可以转化成农业用水、工业用水、第三产业用水、供水量影响。
（6）假设用水与供水之间没有直接联系，是相互独立的。
四、模型的建立
通过问题的初步分析，我们已经对一些相关因素间的联系有了一个明确的了解，对模型应该具备的特点也有了一个大致的轮廓。
对题目中给的数据进行处理，通过数据分析可以初步了解到一些基本信息。
缺水水量是一个比较直接表示缺水风险程度的数据（见附表1），通过对数据的分析，下面我们将对各个具体问题建立数学模型求解。
总用水量
O
目标层
水资源总量
B4
第三产业及生活等其它用水B3
工业用水
B2
农业用水B1
准则层
地下水总量C43
降水量C42
水库蓄水量C41
污水净化处理与循环利用C33
建立水价体系C32
限制地下水超采C31
水资源统一管理C22
工业污水资源化C21
人工修建水库C13
水循环利用C12
节约用水C11
五、模型的分析及求解
1问题
（1）的分析及求解
假设准则层的因素分别为B1（农业用水）、B2（工业用水）、B3（第三产业及其生活用水）、B4（水资源总量），目标层的因素总用水量为O，每次取两个因素Bi、Bj用aij表示Bi和Bj对O的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵
A=（aij）n×
n,aij>
0,aji=1aij
（1）
表示。
由于
（1）式给出的aij的特点，A称为正互反矩阵。
显然必有aii=1。
假设我们用成对比较法（做C42=6次对比）得到的成对比较阵（正互反阵）为
A=1231212121213121142241
（2）
（2）中a12=2表示农业用水B1与工业用水B2对总用水量O的影响之比为2:
1；
a13=3表示农业用水B1与第三产业及其生活用水B3对总水量O的影响之比为3:
a14=2表示农业用水B1与水资源总量B4对总用水量O的影响之比为2:
a23=2表示工业用水B2与第三产业及其生活用水B3对总水量O的影响之比为2:
我们可以从此看出水资源总量影响最重，农业用水次之，工业用水再次，第三产业及其生活用水影响最小。
接下来我们将对各个因素对总水量O的权重。
由a12=2表示农业用水B1与工业用水B2对总用水量O的影响之比为2:
我们可以得到工业用水B2与第三产业及其生活用水B3对总水量O的影响之比为3:
2；
a14=2表示农业用水B1与水资源总量B2对总用水量O的影响之比为2:
但是实际工业用水B2与第三产业及其生活用水B3对总水量O的影响之比为2:
1，水资源总量B4与工业用水B2对总水量的影响之比为2:
1，所以我们得到的成对比较矩阵不是一致阵。
我们假设对应于A的最大特征根为λ，特征向量（即权向量）为ω，我们可以得到
Aω=λω（3）
直观的看，因为矩阵A的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素aij,所以当aij离一致性的要求不远时，A的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。
（3）式表示的方法称为由成对比较矩阵求权向量的特征根法。
众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵的阶数比较高时。
另一方面，因为成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它做精确计算是不必要的，所以我们采取简便的近似方法计算其最大特征根和特征向量。
在这里我们采用和法，其步骤如下:
（1）将A的每一列向量归一化得wi=aiji=1naij。
（2）对wi按行进行求和得wi=j=1nwij。
（3）将wi归一化ωi=wii=1nwi*，W=（ω1,ω2,ω3）T即为近似特征向量。
（4）计算λ=1ni=1n（AW）iωi,作为最大特征根的近似值。
计算出最大特征根后，我们可以做一致性检验。
我们已知n阶一致阵的特征根是n，n阶正互反阵A的最大特征根λ≥n，而当ë
λ=n时A是一致阵。
根据这个定理和λ连续地依赖于aij的事实可知，λ比n大得越多，n的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。
因而可以用λ-n数值的大小来衡量n的不一致程度。
Saaty将
CI=λ-nn-1（4）
定义为一致性指标，CI=0时A为一致阵；
CI越大A的不一致程度就越严重。
注意到A的n个特征根之和恰好等于n，所以CI相当于除λ外其余n-1个特征根的平均值（取绝对值）。
为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的一致性指标CI的标准。
Saaty又引入所谓随机一致性指标RI，计算RI的过程是:
对于固定的n，随机地构造正反矩阵Aˊ（它的元素aˊij（i<
n）从1～9，1～19中随机取值），然后计算Aˊ的一致性指标CI。
可以想到，Aˊ是非常不一致，它的CI相当大。
如此构造相当多的Aˊ，用它们的CI的平均值作为随机一致性指标。
Saaty对于不同的n，用100～500个样本Aˊ算出的随机一致性指标RI的数值如下。
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
RI
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.51
表中n=1，2时RI=0，是因为1、2阶的正互反阵总是一致阵。
对于n≥3的成对比较阵A，将它的一致性指标CI与同阶（指n相同）的随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR，当
CR=CIRI<
0.1（5）
时认为A的不一致程度在容许范围内，可用其特征向量作为权向量。
（5）式中0.1的选取是带有一定主观信度的。
对于A利用（4）、（5）式和表格中的数据进行检验称为一致性检验。
当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已有的A进行修正。
对于
（2）式给出的A可以算出*，λ=4.0454，归一化的特征向量ω=（0.2867，0.1836，0.0973，0.4324）T，由（4）式CI=（4.0454-4）/（4-1）=0.0151，在表1中查出RI=0.90，按（5）式计算得CR=0.0151/0.90=0.0168〈0.1，一致性检验通过，上述W可以作为最终决策的依据。
影响水资源短缺的因素很多，例如：
气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度、人口规模等，各种因素参杂在一起不利于分析。
而且在研究多变量问题时，变量太多会增大计算量和增加分析问题的复杂性，人们自然希望在进行定量分析的过程中涉及的变量较少，而得到的信息量又较多。
所以我们将所有的影响因子全部转化为农业用水、工业用水、第三产业及生活等其他用水和总供水量，并分别用表示。
通过附表1种我们可以得到的数据，经过数据的简单分析，利用Excel我们可以绘出影响因子与总用水量的关系图1如下：
图1
利用层次分析法分析农业用水、工业用水、第三产业及生活等其他用水和总供水量对总用水量的影响，建立了水资源短缺的影响因子模型。
依照此模型得出主要的影响因子是总供水量和农业用水。
2,问题2的分析及求解
水资源短缺，泛指在特定的时空环境条件下，由于供水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。
对于一个供水系统来说，所谓失事主要是供水量小于需水量，从而使水系统处于失事状态。
因此此处我们所要考虑的仅仅是缺水的程度，而上一问中我们的出主要影响因子有总供水量，则供水必将导致缺水，所以我们对缺水量不采用上一问中分为多个指标分析，而仅仅考虑缺水量。
工程上，对一个系统的评价可以用其缺乏量与需求量的比值表征其系统的不平衡程度。
鉴于此，我们认为水资源短缺风险也可以用类似的方法表示。
本文认为水资源短缺风险是指在特定的环境条件下，缺水量相当于当年的用水需求的比例。
为了便于说明，本文将百分比按照最大比例进行归一化处理。
通过分析数据，现在我们定义每年的风险值的计算式为
上述风险定义将水资源存在量化为供水量与用水量之间的差，当用水量大于供水量就认为存在缺水风险，的大小即代表缺水风险程度。
由上述定义所计算的风险值如表1所示：
表1每年的风险值列表
年份
风险
0.109273
0.48555
0.501143
0.22490
0.270395
0.018477
0.260465
0.07659
0.517249
0.12791
0.516692
0.565015
0.00981
0.323975
0.448165
0.06752
0.582673
图2北京市1979-2000年缺水风险
由表1和图2可以看出，1985、1987、1991、1996年均没有发生水资源短缺风险，在这些年中相应的供水量也很大；
在1984、1994年中，由于当年的水资源供应很充足，因此缺水风险也很接近0；
而1999、2000年，相应的供水量是22年中最少的，风险值基本上都到了0.6，因此风险等级达到最高。
由以上分析，可以看出模型得出的结果与实际相符合，实际中可以应用此模型。
3,问题3的分析及求解
（1）灰色预测
部分信息已知，部分信息未知的系统称为灰色系统。
基于灰色系统理论的GM（1,1）模型的预测，称为灰色预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据系列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数据值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
（2）GM（1,1）模型的建立
设原始序列为，1-AGO产生的数列为，则按累加生成数列建立的微分方程模型为：
其解的离散描述形式为
确定了参数和后，按此模型递推，即可得到预测的累加数列，通过检验后，再累减即得到预测值。
建模的步骤如下：
（1）由原始数列，按式计算累加生成数列；
（2）对，采用最小二乘法按下式确定模型参数；
式中
（3）建立预测模型，求出累加序列；
（4）对预测模型进行残差检验；
（5）根据系统未来变化，确定预测值上下界，即按下式确定灰平面；
上界：
下界：
式中—在点以后，增长的上界
—在点以后，增长的下界
（6）用模型进行预测。
利用上述模型进行预测是利用累加生成数列的预测值，利用累减生成将其还原，即可以得到原始数列的预测值，如满足灰因子条件则完成预测。
对模型进行求解：
利用Matlab软件进行计算,可得到如下方程
总用水量
水资源总量
工业用水量
农业用水量
第三产业及生活等其它用水
六、模型的预测
根据建立的水资源短缺风险预测GM（1,1）模型，以及我们能够得到的数据，利用Matlab软件进行计算，我们可以得出结果如表2：
表22000年和2001年水资源短缺风险预测
供水量（开根号后）
用水量（开根号后）
风险值
风险等级
2001
5.4007
6.3953
0.155520
可接受风险
2002
5.3836
6.3865
0.157034
通过预测可以得知，2001、2002年的风险等级均为可接受风险，从供水量和用水量的预测来看：
（1）用水量：
波动不大，与前几年基本持平。
（2）供水量：
逐年递减。
为了降低风险等级，我们可以采取下列两个措施：
（1）从增加供水量：
从外界扩大引用河流水，南水北调，开采地下水等。
但是综合考虑，只有南水北调的实行才是最可行的。
（2）从降低用水量：
因为主要的用水是农业用水，所以可以从降低农业用水方面来实行，提高灌溉率，更新灌溉设备，可以降低农业用水。
七、模型的检验
GM（1,1）模型通常采用残差检验。
所谓残差检验是指按所建模型计算出累加数列后，再按累减生成还原，还原后将其与原始数列相比较，求出两序列的差值即为残差，通过计算相对精度以确定模型精度的一种方法。
如果相对精度均满足要求均度，则模型通过检验；
如果不满足要求精度，可通过上述残差数列建立残差GM（1,1）模型对原模型进行修正。
残差模型GM（1,1）可提高精度，可按下述方式建立：
当用累加生成数列的残差建立GM（1,1）残差模型时，其残差数列为
其累加生成GM（1,1）模型为
其导数为
以修正模型，得到的修正模型为
式中
将以上GM（1,1）模型所得数据带入检验模型中可以判定该模型建立合理
八、模型的应用
我国缺水问题一直存在，而且越来越突出，水资源紧缺已成为我国未来水环境安全的一个无法回避的问题，必须强化对水资源短缺的认识和节水意识。
大力推进节水型社会建设，建立以水权水市场理论为基础的水资源管理体制和节水运行机制。
研究生态性水利和资源性水利，并使我国水利发展真正转入可持续水利发展的轨道。
节水型社会建设的主要任务是建立三大体系：
一是建立以用水权管理为核心的水资源管理制度体系；
建立政府调控、市场引导、公众参与的节水型社会管理制度。
建立和完善包括用水总量控制和定额管理、水权分配和转让、水价等在内的一系列用水管理制度。
二是建立与区域水资源承载能力相协调的经济结构体系，实现从“以需水能力定供水能力”到“以供水能力定经济结构”的转变。
三是建立与水资源优化配置相适应的节水工程和技术体系。
政府要发挥主导作用，要把建设节水型社会作为各级政府的任期目标，建立健全水资源节约责任制，做到层层有责任，逐级抓落实。
要编制好节水型社会建设规则，抓好试点，初步建成一批国家级节水型社会试点和示范区。
要加大政策支持力度，健全法规体系，制定完善严格的产业准入标准和节水标准；
实行阶梯制水价制度和超计划、超定额用水收费制度，推进农业用水价格改革；
积极推行有利于水资源节约和保护的财税政策。
为了水资源的可持续发展，具体的节水步骤：
一是在工业节水技术改造上取得突破；
二是在增加循环冷却水的浓缩倍数、降低漏损率、提高用水重复利用率上取得突破；
三是在工艺技术研究和应用上取得突破；
四是在污水处理回用技术和海水淡化技术的研究上取得突破；
五是在强化企业水管理技术上取得突破
九、模型的评价及改进
（1）模型的优点
1、此模型考虑到了水资源系统的随机不确定性，对水资源短缺风险发生的概率和影响程度给予了综合评价。
2、合理忽略相关数据以简化模型，综合分析，并得以验证，具有可行性。
3、判别分析能够从诸多表明观测对象特征的自变量中筛选出提供较多信息的变量，并且这些变量之间的相关程度较低。
4、有大量的数据说明，清晰、直观。
（2）模型的缺点
1、参考数据有一定的误差。
2、无法从根本上解决水资源短缺的风险，只能降低。
3、由于自身能力的缺陷，在数据处理中过程较为复杂且存在误差。
（3）模型的改进及推广
水资源问题目前已经成为了我国经济增长所面对的重大挑战之一。
水短缺导致的水资源过度利用，引
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