自选模块高考数学不等式选讲Word文档格式.doc

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网]

设不等式的解集为M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．

本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。

（I）由

所以[来源:

学_科_网]

（II）由（I）和，

所以

故

1.（2011年高考辽宁卷理科23）（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系统与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）曲线C2的参数方程为（，为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：

θ=与C1，C2各有一个交点.当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合.

（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1,当=-时，l与C1，

C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积.

2.（2011年高考全国新课标卷理科23）（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）

M是曲线上的动点，点P满足，

（1）求点P的轨迹方程；

（2）在以D为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线，交于不同于原点的点A,B求

3.（2011年高考江苏卷21）选修4-4：

坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。

Z|xx|k.Com]

考察参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系，中档题。

椭圆的普通方程为右焦点为（4，0），直线（为参数）的普通方程为，斜率为：

；

所求直线方程为：

.

4.（2011年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

．[来源:

学科网ZXXK]

（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；

（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。

满分7分。

（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，

所以点P在直线上，

（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，

从而点Q到直线的距离为

，

由此得，当时，d取得最小值，且最小值为

已知曲线C：

（t为参数），C：

（为参数）。

（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线

（t为参数）距离的最小值。

（23）解：

（Ⅰ）

为圆心是（，半径是1的圆.

为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（Ⅱ）当时，

为直线

从而当时，

24、已知实数满足，且有

求证：

25、已知，求证：

26、已知，且

27、

（1）.、为非负数，+=1，，求证：

（2）.已知实数满足，试求的最值

28、已知正数满足.

（1）求证:

;

（2）求的最小值.

29、设a,b,g都是锐角，且sina+sinb+sing=1,证明

（1）sin2a+sin2b+sin2g³

（2）tan2a+tan2b+tan2g³

24、证明：

是方程的两个不等实根，

则，得

而

即，得

所以，即

25、证明：

26、证明：

显然

是方程的两个实根，

由得，同理可得，

27、

（∵+=1）

（2）解：

由柯西不等式得，有

由条件可得，；

解得，当且仅当时等号成立，代入时，

时

28、

（1）解：

根据柯西不等式，得

因为,所以.

（2）解：

根据均值不等式,得,

当且仅当时,等号成立.

根据柯西不等式,得,

即,当且仅当时,等号成立.

综上,.

29、证明：

（1）由柯西不等式得：

（sin2a+sin2b+sin2g）（1+1+1）³

（1·

sina+1·

sinb+1·

sing）2,

因为sina+sinb+sing=1,所以3（sin2a+sin2b+sin2g）³

1,得:

sin2a+sin2b+sin2g³

.

（2）由恒等式tan2x=和若a,b,c>

0，则³

得tan2a+tan2b+tan2g=++–3³

–3.

于是=³

=,

由此得tan2a+tan2b+tan2g³

–3=.

1.已知正数满足.

（1）求证:

（2）求的最小值.

（1）解:

根据柯西不等式，得

　　,

因为,

所以.…………（5分）

（2）解:

根据均值不等式,得

根据柯西不等式,得

即,

当且仅当,,时,等号成立,

所以的最小值为18.…………（10分

2.在极坐标系中,极点为O.曲线C:

过点A（3,0）作两条互相垂直的直线与C分别交于点P,Q和M,N.

（1）当时,求直线PQ的极坐标方程;

（2）求的最大值.

因为,

故|MN|=|PQ|.

所以直线PQ的倾斜角为45°

或135°

即直线PQ的极坐标方程是

或.…………（5分）

因为8≤|MN|≤10,8≤|PQ|≤10,

故.

又函数在（0,1]上单调递减,在[1,+∞）上单调递增,

所以,

当PQ为极轴所在的直线,MN为过点A且垂直于极轴的直线时,等号成立.

因此的最大值为.…………（10分）

3.设a，b，c为正实数，求证：

．

【解析】：

因为为正实数，由平均不等式可得

即

所以，

而

所以

4.已知均为正数，证明：

，并确定为何值时，等号成立。

证明：

（证法一）

因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得

①

所以②

故.

又③

所以原不等式成立.

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。

当且仅当时，③式等号成立。

即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。

（证法二）

因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

所以①

同理②

③

所以原不等式成立.

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。

5.已知曲线C：

6.已知y=f（x）满足f（n-1）=f（n）-lgan-1（n≥2,n∈N）且f

（1）=-lga,是否存在实数α、β使f（n）=（αn2+βn-1）lga对任何n∈N*都成立，证明你的结论.

∵f（n）=f（n-1）+lgan-1,令n=2,则f

（2）=f

（1）+lga=-lga+lga=0.

又f

（1）=-lga,∴

∴f（n）=（n2-n-1）lga.

（1）当n=1时，显然成立.

（2）假设n=k时成立，即f（k）=（k2-k-1）lga,则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga=（k2-k-1+k）lga=［（k+1）2-（k+1）-1］lga.

∴当n=k+1时，不等式成立.

综合

（1）、

（2），可知存在实数α、β且α=,β=-,使f（n）=（αn2+βn-1）lga对任意n∈N*都成立.

7.在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3，

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．

（1）设M（ρ，θ）为圆C上任一点，OM的中点为N，

∵O在圆C上，∴△OCM为等腰三角形，

由垂径定理可得|ON|＝|OC|cos，

∴|OM|＝2×

3cos，

即ρ＝6cos为所求圆C的极坐标方程．

（2）设点P的极坐标为（ρ，θ），因为P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，所

以点Q的坐标为，由于点Q在圆上，所以ρ＝6cos.故点P的轨迹方程为ρ＝10cos.

8.设函数，成立时的x的取值范围．

--------2分

①当时，

---------3分

②

当时，

---------------------------------------4分

③当时，

综上--------------------------5分

9.若，观察下列不等式：

请你猜测满足的不等式，并用数学归纳法加以证明.

满足的不等式为,证明如下：

（1）当n=2时，猜想成立；

（2）假设当n=k时，猜想成立，即，

那么n=k+1时高*考*资*源*网

则当n=k+1时猜想也成立，根据

（1）

（2）可得猜想对任意的n（n）都成立.高*

已知对于任意非零实数，不等式恒成立，求实数的取值范围。

即恒成立

（2分）

只需

（1）当时，原式，即　　　　（5分）

（2）当时，原式，即　（7分）

（3）当时，原式，即　　　　　（9分）

综上的取值范围为 （10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：

θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．

（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

（I）C1是圆，C2是椭圆.

当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.

当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.

（II）C1，C2的普通方程分别为

当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为

当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，

四边形A1A2B2B1为梯形.

故四边形A1A2B2B1的面积为…………10分

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．

（I）求的方程；

（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|.

（I）设P（x，y），则由条件知M（）.由于M点在C1上，所以

即

从而的参数方程为

（为参数）

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

射线与的交点的极径为，

射线与的交点的极径为．

所以.

数学选修1B题组

（一）

题号：

03

“数学史与不等式选讲”模块（10分）

04

“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）

在极坐标系中，极点为Ａ，已知“葫芦”型封闭曲线由圆弧ＡＣＢ和圆弧ＢＤＡ组成．已知

（１）求圆弧ＡＣＢ和圆弧ＢＤＡ的极坐标方程；

（２）求曲线围成的区域面积．

（二）

“数学史与不等式选讲”模块（10分）

已知实数满足，设

（1）求的最小值

（2）当时，求z的取值范围

“矩陈与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为，点M的极坐标为．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径.

（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程

（2）试判定直线l和圆C的位置关系

（三）

设正数x，y，z满足　　　　　　

（1）求证：

（2）求值．

矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）

已知P（1，）是椭圆等内一定点，椭圆上一点M到直线的距离为d．

（1）当点M在椭圆上移动时，求d的最小值；

（2）设直线MP与椭圆的另一个交点为N，求|PM|·

|PN|的最大值．

（四）

（1）求函数的最大值；

（2）若函数最大值为，求正数a的值．

坐标系与参数方程”模块（10分）

等腰直角，点A在

x轴的非负半轴上运动，点B在y轴的非负半轴上运动。

设，

（1）写出时，P点的坐标；

（2）写出P点轨迹的参数方程（为参数）；

（3）设P点的轨迹形成的曲线为C，求曲线C的长度．

（五）

用数学归纳法证明不等式：

已知，

“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）

已知直线求直线的斜率；

若是椭圆内一点，与椭圆相交于A、B两点，且成等比数列（其中O为坐标原点），求动点P的轨迹方程．

（六）

设x，y，z∈R，x2+y2+z2=1．　　（Ⅰ）求x+y+z的最大值；

　　（Ⅱ）求x+y的取值范围．

“矩阵变换和坐标系与参数方程”模块（10分）

在极坐标系中，极点为Ο．己知圆C的圆心坐标为的极坐标方程为（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）若圆C和直线l相交于A，B两点，求线段AB的长。

（七）

设x,y,z>

0,x+y+z=3,依次证明下列不等式,

（1）（2–）£

1；

（2）³

（3）++³

2.

已知双曲线的中心为Ｏ，实轴、虚轴的长分别为2a,2b（a<

b），若P，Q分别为双曲线上的两点，且OP⊥OQ.

（1）求证:

+为定值；

（2）求△OPQ面积的最小值.

（八）

题03

已知，

（1）求证：

（2）求的最小值.

题04

已知直线（t为参数）

（1）当时，求直线l的斜率；

（2）若是圆O：

内部一点，与圆O交于A、B两点，且成等比数列，求动点P的轨迹方程．