最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案Word格式文档下载.doc
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可得，
（1）
由c=,
（2）
将
（2）代入
（1）式，得：
得证。
2-13设系统状态方程
性能指标如下：
要求达到，试求
（1）时的最优控制。
（2）自由时的最优控制。
由题可知
构造H：
正则方程：
可求得
控制方程：
由上式可得
由状态方程，可得
（1）时
由边界条件，，，可得
得
故有
有最优控制
（2）若自由
由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件
得
即，从而，代入可得
因为时间总为正值，所以此题无解。
3-2设二阶系统的状态方程边界条件试求下列性
能指标的极小值：
构造H：
由协态方程和极值条件：
得代入状态方程得：
即，代入初始条件解得：
故，
此时
3-4给定一阶系统方程
控制约束为，试求使下列性能指标：
为极小值的最优控制及相应的最优轨线。
哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求极小。
且取其约束条件的边界值，即时，使哈密顿函数H达到最小值。
所以，最优控制应取
由协态方程可得
由横截条件求得，于是有
显然，当时，产生切换，其中为切换时间。
不难求得，故最优控制为
将代入状态方程，得
解得
代入初始条件，可得，因而
在上式中，令，可求出时的初始条件
从而求得。
因而
于是，最优轨线为
将求得的和代入式J，得最优性能指标
最优解曲线如下：
3-5控制系统，试求最优控制,以及最优轨线和,使性能指标为极小值。
哈密尔顿函数为
由协态方程：
，解得，
由极值条件：
，解得，由状态方程有，解得，
代入初始值解得：
，故
…………………………………………………………………………………………………..
3－6已知二阶系统方程式中自由。
试求使性能指标为极小的最优控制，最优轨线以及最优指标。
本例为线性定常系统，积分型性能指标，自由，末端固定的最优化问题。
构造哈密顿函数为：
由极小值条件应取：
由哈密顿函数沿最优轨线的变化律：
，可得：
即：
，可知：
，（其中矛盾），
由协态方程有：
，由初始条件解得：
，由所给状态方程及初始条件解得：
………………………………………………………………………………………………………
3-7已知二阶系统方程
，
式中控制约束为
试确定最优控制。
将系统在时刻由转移到空间原点，并使性能指标
取最小值，其中自由。
构造哈密顿函数：
按照最小值原理，最优控制应取
由哈密顿函数沿最优轨线的变化规律可得
以及
因为，可以求出
由协态方程
解得，
当时（试取）
代入初始条件，，可得
代入末端条件，可得
又，联立解得
于是有
在时，正好满足要求
故最优控制为，
相应的最优性能指标为
最优轨线为
3-17已知系统方程，，性能指标，末端。
试用连续极小值原理求最优控制与最优轨迹。
，由协态方程：
，解得：
，由极值条件：
，解得，代入状态方程有：
，解得，代入初始值解得：
，故最优轨线为：
，又，所以最优控制律为：
，
3-28已知系统的状态方程，控制约束为|u（t）|1。
试求最优控制u*（t），使系统由任意初态最快地转移到，的末态。
写出开关曲线方程，并绘出开关曲线的图形。
本例为二次积分模型的最小时间控制问题。
容易判定系统可控，因而必为Bang-Bang控制。
构造哈密顿函数:
由协态方程得：
解得：
。
，知最优控制u（t）最多切换一次，具有四种可能：
【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。
①若时，代入状态方程考虑到初始状态，解得：
，消t得：
②同理，若时，解得：
，由末态配置到，取开关曲线为过（2,1）的那条曲线，即开关曲线方程为：
开关曲线图如下：
开关曲线
3-31设二阶系统：
，控制约束|u（t）|1。
试求使系统由已知初态最快地转移到坐标原点的时间最优控制u*（t）和开关曲线。
（注：
本题书上的是错的，因为按书上的得不到相平面轨迹方程）
知最优控制：
，即开关曲线方程为：
本题初始点A（1，1）,最优控制曲线如上图，最优控制律为u={-1，+1}。
3-33已知受控系统，目标集为，试求由目标集外的任意初态转移到目标集的时间最优控制律。
哈密尔顿函数为，协态方程，边界条件：
目标集约束：
由极小值条件知，最优控制律：
①若时，代入状态方程，解得：
消t得相轨迹方程：
；
由相轨迹方程与目标集相切且满足末态要求的相轨迹曲线：
，，所以系统的开关曲线开关曲线图如下所示：
相轨迹如上图所示：
ⅰ、当初态在区域或上时，知最优控制为终于上半圆；
ⅱ、当初态在区域或上时，知最优控制为终于下半圆；
ⅲ、当初态在区域中，知最优控制为；
ⅳ、当初态在区域中，知最优控制为；
3-42已知系统方程
，控制约束|u（t）|1。
试求以切换时间表示的时间-燃料最优控制u*（t），使性能指标取极小值，并求最优控制J*。
哈密顿函数为：
由，解得：
由极小值条件知：
，因为初态=知
时间—燃料最优控制为：
，设的切换时间为和，则有
①当时，有u=-1，初态=，由状态方程得：
②当时，u=0，初态为：
，由状态方程解得：
。
③当时，u=+1，初态为：
末态值求得，，于是时间—燃料最优控制为：
从而有。
4-4设二阶离散系统
试求使性能指标：
为极小的最优控制和最优轨线。
本题为二级最优决策问题，其中、不受约束。
①令N=2，k=1时：
=0，所以
由于不受约束：
，求得：
将结果代入得：
②令N=1，k=0时：
，=0，所以=
，代入初始值，
求得：
，，，
，，，
于是本题的最优控制，最优轨线及最优代价分别为：
，，，，
4-13已知二阶系统，，性能指标：
试用连续动态规划求最优控制和最优轨线。
（1）由题意可得：
，，，，
令,得，显然{A，b}可控，{A，D}可观，故存在且唯一。
令，代入黎卡提方程：
代入A,b，Q，r可得:
于是最优控制：
最优控制指标:
将代入状态方程，得闭环系统方程：
将、代入状态反馈的最优控制，求得：
4-14已知系统方程：
，性能指标：
，试确定该系统的哈密顿-雅可比方程。
令哈密顿函数为：
由于不受约束，则，
由最优解的充分条件知：
代入，得：
因为系统是时不变的，并且性能指标的被积函数不是时间的显函数，故，
则有。
在性能指标中，令，得边界条件：
所以本题的哈密顿—雅可比方程为：
5-8给下列二阶系统：
，试确定最优控制，使下列性能指标极小：
该题为有限时间状态调节器问题。
由题意得：
代入A,b，Q，r，边界条件：
,即：
最优性能指标:
5-10已知系统的状态方程：
，性能指标极小：
该题为无限时间状态调节器问题。
，令,得，，，故{A，b}可控，{A，D}可观，故存在且唯一。
代入A,B，Q，R解得：
5-20已知为具有性质的李亚普诺夫函数。
其中，满足式。
试用李亚普诺夫稳定性定理证明最优闭环系统是渐近稳定的。
证明：
取二次型函数：
，对于由于>
0必有。
所以李亚普诺夫函数。
，将代入，整理得：
=，
又由，知，代入整理得：
，即：
所以知，为负定。
又显然。
根据李亚普诺夫稳定性定理，最优闭环系统大范围渐近稳定。
6-2设有二次积分模型：
，，性能指标：
试求使性能指标极小的最优控制，并求最优性能指标。
解:
由题意可知：
，，，Q=1，
，，R=4。
因为rank[BAB]=rank=2，rank=rank=2
rank=rank=2,
所以，{A,B}可控，{A,C}可观，{A,D}可观，故可以构造渐近稳定的最优输出调节器。
设，解黎卡提代数方程：
得：
得>
0，
此时：
最优性能指标：
6-3已知系统的动态方程：
试求使性能指标极小并使闭环系统渐近稳定的最优控制。
，，，Q=100，
，，R=1。
=，将代入状态方程得：
解得闭环系统特征值为：
所以闭环系统是渐近稳定的。
………………………………………………………………………………………………………..
6-10设用控制系统可以自动地保持潜艇的深度，潜艇从艇尾水平角到实际深度的传递函数，可以近似为：
，试设计控制律，使性能指标
最小。
其中希望深度=100。
假定，实际深度可用压力传感器测量，并可用于反馈。
8-2设二阶系统方程：
，控制约束。
性能指标式中自由。
试验证系统能否出现奇异弧。
本例为线性定常系统，积分型性能指标、自由的最优控制问题。
根据极小值原理可知，相应于正常弧段的最优控制为如下邦-邦控制：
邦-邦弧段满足下列正则方程：
函数H线性依赖于，所以可能存在奇异弧。
在奇异弧上必有：
解方程组知：
得异最优解：
，即系统有奇异解。
8-6已知系统方程，
控制约束。
性能指标试用奇异调节器方法求奇异最优控制.
首先对原系统状态方程进行线性变换。
令
得修正奇异调节器系统状态方程：
，式中
设，解黎卡提代数方程：
：
此时，式中,
即，
则原奇异调节器的最优控制
9-3设随机系统状态方程为：
其状态转移矩阵为，且满足下列方程：
试证明：
x（t）的均值和方差阵分别为：
x（t）的均值满足以下矩阵微分方程：
其解为：
证得一式。
应满足
又
可得
证毕。
9-5设随机系统方程为，式中与为互不相关的零均值高斯白噪声，其方差为和。
试求最优控制，使下列性能指标极小：
式中。
依据定理9-7（线性连续随机系统分离定理），可知
F＝1，G＝1，H＝1，Q＝0，R＝
……………
（1）
（1）式中状态反馈增益矩阵…………
（2）
而满足下列Riccati矩阵微分方程及其边界条件：
…………（3）
解出（3）式微分方程：
…………（4）
将（4）式代入
（2）式得到：
…………（5）
由以下Kalman滤波方程给出：
………（6）
（6）式中Kalman增益矩阵………（7）
而满足以下Riccati矩阵微分方程及初始条件：
………（8）
解出（8）式微分方程：
……（9）
将（9）式代入（7）式得到：
………（10）
现在，只要由（10）式代入（6）式即可解出：
………（11）
将（5）式和（11）代入
（1）式，即可算出最优控制
……
图9.5随机输出反馈调节器结构图
9-6设离散系统状态方程和量测方程为：
，式中是零均值高斯白噪声序列，其方差为5。
已知与随机初始状态不相关，且性能指标为：
试求最优控制序列，k=0,1,2,3。
本题为4级决策过程。
由题意，,
则由估计误差协方差方程（9-206）：
=
可得：
由卡尔曼增益阵方程（9-205），得：
根据题意，，由黎卡提方程（9-202）得：
，由状态反馈增益阵表达式（9-201），得：
计算结果表
k
P（k|k-1）
K’（k）
P（k）
K（k）
4
70
1
3
65
0.200
0.400
2
60
0.111
0.222
55
0.077
0.154
50
0.0428
0.107
因为，所以各级最优控制为：
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