线性代数公式手册Word下载.doc

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但不一定成立

（4）

但

（6）范德蒙行列式

设A是n阶方阵，是A的n个特征值，则

（二）矩阵

矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，

矩阵：

称为矩阵，简记为则称是阶矩阵或阶方阵.

矩阵的线性运算

1矩阵的加法设是两个矩阵，则

矩阵称为矩阵与的和，记为

2矩阵的数乘设是矩阵，是一个常数，则矩阵称为数与矩阵的数乘，记为.

3矩阵的乘法设是矩阵，是矩阵，那么矩阵，其中

称为的乘

积，记为

方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，

1三者之间的关系

不一定成立，

，

2有关A*的结论

3）若可逆，则

4）若为阶方阵，则

3有关的结论

矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵等价，分块矩阵及其运算

1有关矩阵秩的结论

1）秩r（A）=行秩=列秩；

2）

3）；

4）

5）初等变换不改变矩阵的秩

6）特别若

则

7）若存在若存在

若

若

8）只有零解

2分块求逆公式

；

这里A，B均为可逆方阵

（三）向量

向量的概念，向量的线性组合和线性表示，向量的线性相关与线性无关

1有关向量组的线性表示

（1）线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示.

（2）线性无关，，线性相关可以由惟一线性表示.

（3）可以由线性表示

）

2有关向量组的线性相关性

（1）部分相关，整体相关；

整体无关，部分无关.

（2）①n个n维向量

n个n维向量线性相关

②n+1个n维向量线性相关.

③若线性无关，则添加分量后仍线性无关；

或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关

向量组的极大线性无关组，等价向量组，向量组的秩

（2）线性无关，，线性相关

可以由惟一线性表示.

向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及相关概念

1设，则的秩与的行列向量组的线性相关性关系为：

（1）若，则的行向量组线性无关.

（2）若，则的行向量组线性相关.

（3）若，则的列向量组线性无关.

（4）若，则的列向量组线性相关

n维向量空间的基变换和坐标变换，过渡矩阵

1基变换公式及过渡矩阵

若与是向量空间的两组基，则基变换公式为

其中是可逆矩阵，称为由基到基的过渡矩阵

2坐标变换公式

若向量在基与基的坐标分别是

，即

，则向量坐标

变换公式为

其中是从基到基的过渡矩阵

向量的内积，线性无关向量组的正交规范化方法

内积：

Schmidt正交化

若线性无关，则可构造使其两两正

交，且仅是的线性组合，再把

单位化，记，则是规范正交向量组.其中

，

…………………………………

规范正交基，正交矩阵及其性质

1正交基及规范正交基

向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；

若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基

（四）线性方程组

线性方程组的克莱姆法则，奇次线性方程组有非零解的充分必要条件

1克莱姆法则

线性方程组，如果系数行列式，则方程组有唯一解

，其中是把中第列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式.

2n阶矩阵可逆只有零解.总有唯一解，一般地，

只有零解.

非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构

1设A为矩阵，若，则对而言必有从而有解.

2设为的解，则当时仍为的解；

但当时，则为的解.特别为的解；

为的解.

3非齐次线性方程组无解不能由的列向量线性表示.

奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解.

1齐次方程组恒有解（必有零解）.当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.

2是的基础解系，即

（1）是的解；

（2）线性无关；

（3）的任一解都可以由线性表出.

是的通解，其中是任意常数.

（五）矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，

1设是的一个特征值，则

有一个特征值分别为

且对应特征向量相同（

例外）.

2若为的n个特征值，则

从而没有特征值.

3设为的s个特征值，对应特征向量为

，若

相似变换、相似矩阵的概念及性质，

1若，则

（2）

（3）对成立

矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵，

1设为n阶方阵，则可对角化对每个重根特征值，有

2设可对角化，则由有，从而

3重要结论

（1）若，则.

（2）若，则，其中为关于阶方阵的多项式.

（3）若为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数（重根重复计算）＝秩（）

实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵

1相似矩阵：

设为两个阶方阵，如果存在一个可逆矩阵，使得成立，则称矩阵相似，记为.

2相似矩阵的性质

如果则有

（3）

（5）

（6）

（六）二次型

二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的秩

1个变量的二次齐次函数

，其中，称为元二次型，简称二次型.若令

这二次型可改写成矩阵

向量形式.其中称为二次型矩阵，因为，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵的秩称为二次型的秩.

惯性定

理，二次

型的标准

形和规范形

1惯性定理

对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理.

2标准形

二次型经过合同变换化为称为

的标准形.在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由唯一确定.

3规范形

任一实二次型都可经过合同变换化为规范形，其中的秩，为正惯性指数，为负惯性指数，且规范型唯一.

用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定

性

1设正定正定；

A可逆；

，且

2，B正定A+B正定，但AB，BA不一定正定

3A正定

A的各阶顺序主子式全大于零

A的所有特征值大于零

A的正惯性指数为n

可逆阵P使

存在正交矩阵Q，使

其中正定正定；

可逆；

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