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常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式

武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理

我们知道，如果∠C=90°，a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b2=c2；反之，若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边．与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2，则称a、b、c为勾股数，记为（a，b，c）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：

一、三数为连续整数的勾股数

（3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？

设三数为连续整数的勾股数组为（x－１，x，x＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x2=（x+1）2，解得x＝４或x＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n（n是正整数）都是勾股数。

二、后两数为连续整数的勾股数

易知：

（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？

a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.

分别取n＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…

三、前两数为连续整数的勾股数

你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。

其公式为：

（x，x＋１，

）（x为正整数）。

设前两数为连续整数的勾股数组为（x，x＋１，y），y=

则

（＊）

整理，得

＝

，化为

，即

＝－１，

又

＝－１，∴

＝－１（ｎ

Ｎ），

故取

＝

，

＝

，

解之，得x＝

〔

＋

－２〕，y＝

〔

－

〕，

故前两数为连续整数的勾股数组是（

〔

＋

－２〕，

〔

＋

－２〕＋１，

〔

－

〕）．

4、后两数为连续奇数的勾股数

如（8，15，17）,（12，35，37）…其公式为：

4（n+1）,4（n+1）2-1,4（n+1）2+1（n是正整数）.

五、其它的勾股数组公式：

1.a=2m,b=m2－1,c=m2+1（m大于1的整数）.2.a=

（m2－n2）,b=mn,c=

（m2+n2）（其中m>n且是互质的奇数）.

3.a=2m,b=m2－n2,c=m2+n2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.

下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：

345；51213；6810；72425；81517；91215；94041；102426；116061；121620；

123537；138485；144850；152025；153639；15112113；163034；166365

17144145；182430；188082；19180181；202129；204852；2099101；212835

217275；21220221；22120122；23264265；243240；244551；247074；24143145

256065；25312313；26168170；273645；27120123；27364365；284553；2896100

28195197；29420421；304050；307278；30224226；31480481；326068；32126130

32255257；334455；335665；33180183；33544545；34288290；358491；35120125

35612613；364860；367785；36105111；36160164；36323325；37684685；38360362

395265；398089；39252255；39760761；404258；407585；4096104；40198202

40399401；41840841；425670；42144150；42440442；43924925；44117125；44240244

44483485；456075；45108117；45200205；45336339；46528530；485573；486480

4890102；48140148；48189195；48286290；48575577；49168175；50120130；50624626

516885；51140149；51432435；52165173；52336340；52675677；547290；54240246

54728730；55132143；55300305；5690106；56105119；56192200；56390394；56783785

577695；57176185；57540543；58840842；606387；6080100；6091109；60144156

60175185；60221229；60297303；60448452；60899901；62960962；6384105；63216225

63280287；63660663；64120136；64252260；64510514；657297；65156169；65420425

6688110；66112130；66360366；68285293；68576580；6992115；69260269；69792795

70168182；70240250；7296120；72135153；72154170；72210222；72320328；72429435

72646650；75100125；75180195；75308317；75560565；75936939；76357365；76720724

77264275；77420427；78104130；78160178；78504510；8084116；80150170；80192208

80315325；80396404；80798802；81108135；81360369；84112140；84135159；84187205

84245259；84288300；84437445；84585591；84880884；85132157；85204221；85720725

87116145；87416425；88105137；88165187；88234250；88480488；88966970；90120150

90216234；90400410；90672678；91312325；91588595；92525533；93124155；93476485

95168193；95228247；95900905；96110146；96128160；96180204；96247265；96280296

96378390；96572580；96765771；98336350；99132165；99168195；99440451；99540549

100105145；100240260；100495505；100621629.

以下是大于100的勾股数：

第223组：

102136170

第224组：

102280298

第225组：

102864870

第226组：

104153185

第227组：

104195221

第228组：

104330346

第229组：

104672680

第230组：

105140175

第231组：

105208233

第232组：

105252273

第233组：

105360375

第234组：

105608617

第235组：

105784791

第236组：

108144180

第237组：

108231255

第238组：

108315333

第239组：

108480492

第240组：

108725733

第241组：

108969975

第242组：

110264286

第243组：

110600610

第244组：

111148185

第245组：

111680689

第246组：

112180212

第247组：

112210238

第248组：

112384400

第249组：

112441455

第250组：

112780788

第251组：

114152190

第252组：

114352370

第253组：

115252277

第254组：

115276299

第255组：

116837845

第256组：

117156195

第257组：

117240267

第258组：

117520533

第259组：

117756765

第260组：

119120169

第261组：

119408425

第262组：

120126174

第263组：

120160200

第264组：

120182218

第265组：

120209241

第266组：

120225255

第267组：

120288312

第268组：

120350370

第269组：

120391409

第270组：

120442458

第271组：

120594606

第272组：

120715725

第273组：

120896904

第274组：

121660671

第275组：

123164205

第276组：

123836845

第277组：

124957965

第278组：

125300325

第279组：

126168210

第280组：

126432450

第281组：

126560574

第282组：

128240272

第283组：

128504520

第284组：

129172215

第285组：

129920929

第286组：

130144194

第287组：

130312338

第288组：

130840850

第289组：

132176220

第290组：

132224260

第291组：

132351375

第292组：

132385407

第293组：

132475493

第294组：

132720732

第295组：

133156205

第296组：

133456475

第297组：

135180225

第298组：

135324351

第299组：

135352377

第300组：

135600615

第301组：

136255289

第302组：

136273305

第303组：

136570586

第304组：

138184230

第305组：

138520538

第306组：

140147203

第307组：

140171221

第308组：

140225265

第309组：

140336364

第310组：

140480500

第311组：

140693707

第312组：

140975985

第313组：

141188235

第314组：

143780793

第315组：

143924935

第316组：

144165219

第317组：

144192240

第318组：

144270306

第319组：

144308340

第320组：

144420444

第321组：

144567585

第322组：

144640656

第323组：

144858870

第324组：

145348377

第325组：

145408433

第326组：

147196245

第327组：

147504525

第328组：

150200250

第329组：

150360390

第330组：

150616634

第331组：

152285323

第332组：

152345377

第333组：

152714730

第334组：

153204255

第335组：

153420447

第336组：

153680697

第337组：

154528550

第338组：

154840854

第339组：

155372403

第340组：

155468493

第341组：

156208260

第342组：

156320356

第343组：

156455481

第344组：

156495519

第345组：

156667685

第346组：

159212265

第347组：

160168232

第348组：

160231281

第349组：

160300340

第350组：

160384416

第351组：

160630650

第352组：

160792808

第353组：

161240289

第354组：

161552575

第355组：

162216270

第356组：

162720738

第357组：

165220275

第358组：

165280325

第359组：

165396429

第360组：

165532557

第361组：

165900915

第362组：

168224280

第363组：

168270318

第364组：

168315357

第365组：

168374410

第366组：

168425457

第367组：

168490518

第368组：

168576600

第369组：

168775793

第370组：

168874890

第371组：

170264314

第372组：

170408442

第373组：

171228285

第374组：

171528555

第375组：

171760779

第376组：

174232290

第377组：

174832850

第378组：

175288337

第379组：

175420455

第380组：

175600625

第381组：

176210274

第382组：

176330374

第383组：

176468500

第384组：

176693715

第385组：

176960976

第386组：

177236295

第387组：

180189261

第388组：

180240300

第389组：

180273327

第390组：

180299349

第391组：

180385425

第392组：

180432468

第393组：

180525555

第394组：

180663687

第395组：

180800820

第396组：

180891909

第397组：

182624650

第398组：

183244305

第399组：

184345391

第400组：

184513545

第401组：

185444481

第402组：

185672697

第403组：

186248310

第404组：

186952970

第405组：

189252315

第406组：

189340389

第407组：

189648675

第408组：

189840861

第409组：

190336386

第410组：

190456494

第411组：

192220292

第412组：

192256320

第413组：

192360408

第414组：

192494530

第415组：

192560592

第416组：

192756780

第417组：

195216291

第418组：

195260325

第419组：

195400445

第420组：

195468507

第421组：

195748773

第422组：

196315371

第423组：

196672700

第424组：

198264330

第425组：

198336390

第426组：

198880902

第427组：

200210290

第428组：

200375425

第429组：

200480520

第430组：

200609641

第431组：

201268335

第432组：

203396445

第433组：

203696725

第434组：

204253325

第435组：

204272340

第436组：

204560596

第437组：

204595629

第438组：

204855879

第439组：

205492533

第440组：

205828853

第441组：

207224305

第442组：

207276345

第443组：

207780807

第444组：

207920943

第445组：

208306370

第446组：

208390442

第447组：

208660692

第448组：

208819845

第449组：

210280350

第450组：

210416466

第451组：

210504546

第452组：

210720750

第453组：

213284355

第454组：

215516559

第455组：

215912937

第456组：

216288360

第457组：

216405459

第458组：

216462510

第459组：

216630666

第460组：

216713745

第461组：

216960984

第462组：

217456505

第463组：

217744775

第464组：

219292365

第465组：

220231319

第466组：

220459509

第467组：

220528572

第468组：

220585625

第469组：

222296370

第470组：

224360424

第471组：

224420476

第472组：

224768800

第473组：

224882910

第474组：

225272353

第475组：

225300375

第476组：

225540585

第477组：

225924951

第478组：

228304380

第479组：

228325397

第480组：

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第5