当n≠m时，根轨迹的∣n-m∣支渐近线与实轴的夹角为
k=0,1,2,…,∣n-m∣-1（2.4）
所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为
（2.5）
由式（2.4）可推知。
∣n-m∣支渐近线平分圆周角，即它们在根平面上均匀分布。
渐近线与实轴的尖角为
（2.6）
第一项为第一条渐近线与正实轴的夹角（k=0）,第二项为每增加一条渐近线所增加的角度，这个角度为360°/∣n-m∣，即每两条渐近线的夹角都为360°/∣n-m∣。
k=∣n-m∣时，正好增加了360°，与第一条渐近线重合。
所以，∣n-m∣支渐近线平分圆周角。
另外，由于根轨迹对称于实轴，因此，它们的渐近线也对称于实轴。
由于渐近线平分于圆周角，又对称与实轴，因此，知道了根轨迹有几条渐近线只需求出它们交于实轴上一点的坐标，就知道了它们在根平面上的分布。
（6）根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴的交点是临界稳定点，该点的坐标s=jw0和增益K0是很重要的。
将s=jw0代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于0，可以解出w0和k0.用劳斯判据也可以求得w0和k0.
（7）根轨迹的出射角和入射角
根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴的夹角称为出射角根轨迹进入某个开环零点时的切线与实轴的夹角称为入射角，用向量条件不难证明，根轨迹从开环极点Pi出发时的出射角为
（2.7）
根轨迹进入某个开环零点z1时的入射角为
（2.8）
证明略。
注意：
由第三条规律已经可以绘出实轴上的根轨迹，因此，实轴上的出射角和入射角是不用求得的，式（2.7）和式（2.8）求得的是复数极点和复数零点的出射角和入射角。
掌握根轨迹的基本规律后，就可以将这些规律作为根轨迹的基本规律绘出根轨迹的图只有规则能绘出或计算出的部分是精确地，其它部分都不精确，因此，这种根轨迹只能是概略图。
需要指出。
MATLAB的出现使绘制精确地根轨迹成为一件非常容易的事，手工方法绘制根轨迹只是急用是临时作为定性分析，但是，传统方法开发出来的根轨迹的基本规律对分析系统和设计系统来说都是很有用的。
二根轨迹绘图示例
例2设开环传递函数如下，按基本规律绘制根轨迹图。
解：
（1）系统有3个开环极点：
P1=0,P2=-2,P3=-5，将它们表在复平面上，开环极点的位置用“×”表示，根据规则1和2，根轨迹有3支，分别起始于3个开环极点，由于开环系统没有开环零点，这3支根轨迹都终止于无穷远。
（2）实轴上的根轨迹，根据规则3，实轴上的[-2,0]段是根轨迹的一部分，实轴上的[-无穷，-5]段也是根轨迹的一部分。
（3）实轴上的分离点根据规则4根轨迹在实轴上的[-2,0]段一定有而一个分离点
整理得
解得R1=-0.88，R2=-3.79，显然只有-0.88在根轨迹上，所以分离点为-0.88.
（4）渐近线，根据规则5根轨迹有3根渐近线，它们和正实轴的夹角为
k=0,1,2,…
L0=60°,L1=180°,L2=300°
其实渐近线的角度一目了然不用计算，由于渐近线平分圆周角，并且有一支就是[-无穷大，-5]的负实轴，因此，另外两支与实轴的夹角就是60°和300°.所有渐近线交与实轴的一点，其坐标为
（5）与虚轴的交点。
根据规则6可以确定根轨迹与虚轴的交点。
先用劳斯判据，系数特征方程为
根据特征方程系数列出劳斯表为
110
7K
K
令第一列中的
项等于0（临界稳定），即
=0，可以求得K=70通过求解由
行得出的辅助方程7
+K=0，可以求得根轨迹与虚轴的交点为s=±j√10.
另一种根据确定根轨迹与虚轴交点的方法是令特征方程中的s=jw0得
令上式中的实数和虚部分别等于0，可得w=0,K=0和w=√10,K=70.因此根轨迹在w=±√10处与虚轴相交，并且在交点处K=70。
（6）出射角。
由于3个开环极点都在实轴上，出射角不用计算。
以上根据基本规律画出的根轨迹是概略图，它在实轴上的根轨迹、渐近线、与虚轴的交点是准确地，其它部分就不准确了。
用MATLAB绘制出的根轨迹如图5所示，它证实了上述的计算结果
图5例2的根轨迹图
例3系统开环传递函数如下，按基本规律绘制根轨迹图。
解：
（1）系统有2个开环极点：
P1=0,P2=-1,P3=-5，一个开环零点：
z1=-2将它们表在复平面上，开环极点的位置用“×”表示.
根据规则1和2，根轨迹有2支，分别起始于这2个开环极点，由于n-m=1因此，一支根轨迹终止于开环零点z1=-2，另一支终止于无穷远。
（2）实轴上的根轨迹，根据规则3，实轴上的[-1,0]段是根轨迹的一部分，实轴上的[-无穷，-2]段也是根轨迹的一部分。
（3）实轴上的分离点根据规则4根轨迹在实轴上的[-1,0]段一定有一个分离点在实轴上的[-无穷，-2]段也有一个分离点，因此-无穷处有一个开环零点。
由方程
整理得
解得R1=-3.41，R2=-0.586，两个分离点分别位于[-无穷，-2]段和[-1,0]段。
（4）渐近线，根据规则5根轨迹有1根渐近线，这条渐近线就是负实轴。
（5）与虚轴的交点。
由前四步已将知道，根轨迹不会穿越虚轴跑到右半平面，因此，不需要求根轨迹与虚轴的交点根据规则6可以确定根轨迹与虚轴的交点。
（6）出射角。
由于开环零、极点都在实轴上，出射角不用计算。
以上根据基本规律画出的根轨迹是概略图，它在实轴上的根轨迹、渐近线、与虚轴的交点是准确地，其它部分就不准确了。
用MATLAB绘制出的根轨迹如图6所示，它证实了上述的计算结果
图6例3的根轨迹图
考虑到两个相似的系统
（a）
（b）
用MATLAB绘制出的根轨迹如图7、图8所示如下
图7（a）的根轨迹图
图8（b）的根轨迹图
如果按基本规则，很难判断两种系统根轨迹的区别，即很难判断离开环极点后的运行路径，这反映了手工绘图的弱点，就是说基本规律所包含的根轨迹信息是不全面的，再看一个例子。
如下：
例4系统的开环传递函数为
按基本规律绘制，与MATTLAB绘制的图是不一样的下边是MATLAB绘制的
图我们绘制的图有3个开环极点分别为p1=0.5,p2=
p3=
根据根轨迹图，在开环极点出现了两个分离点
这说明，满足规律4一定有分离点，不满足规律4的不一定没有分离点，没有零点它们在复平面上。
实轴上相邻的开环极点和开环零点之间的根轨迹上有可能有两个分离点，这进一步说明，基本规则所包含的根轨迹信息是不全面的。
第三章特殊根轨迹
前面讨论的是典型根轨迹，他是以增益K为参量的根轨迹，如果以其他参量为参变量，这些根轨迹不同于典型根轨迹称之为特殊根轨迹。
一以时间常数为参变量的根轨迹
有时候需要调整的不是开环增益K，而是其他参数，比如惯性环节或比例微分环节的时间常数，在这种情况下，可变参量不是开环传递函数的独立因子，无论用手工绘制还是用MATLAB绘制都无法进行，然而我们可以将闭环传递函数变形，得到一个有效地系统，等效系统的开环传递函数与典型根轨迹的开环传递函数具有相同的形式，即可变参量是开环传递函数的独立因子，这样就可以套用典型根轨迹的方法（或MATLAB）来绘制根轨迹的根轨迹图了。
以时间常数为参变量的根轨迹有
以比例微分环节的时间常数为参变量
以惯性环节的时间常数为参变量这里具体以惯性环节的时间常数为参变量进行探讨并举例说明举例如下
例5系统如下图所示，为了确定惯性环节的时间常数，绘出以时间常数T为参变量的根轨迹。
R（s）C（s）
图11例5图
解：
系统的开环传递函数为
它不具有典型开环传递函数的形式，因此，不能用典型开环传递函数的规则绘制根轨迹路径，系统的闭环传递函数为如下
分子分母同乘以s（s+1）+5,得
可以看出，这是一个与原系统具有相同闭环传递函数的系统，如图12所示，等效系统的开环传递函数为
R（s）C（s）
图12图11的等效系统
它具有典型根轨迹开环传递函数的形式，可以用典型根轨迹的绘制方法绘制根轨迹如图13
图13例5题的根轨迹
需要注意的是，等效系统的开环传递函数分母的阶数小于分子的阶数，即n此时，可以绘制开环传递函数为1/G（s）H（s）的根轨迹。
这样处理并不该并根轨迹的形状，因为系统的特征多项式F（s）=num（s）+den（s）,num（s）和den（s）分别是G（s）H（s）得分子多项式的和分母多项式，因此开环传递函数为G（s）H（s）或1/G（s）H（s）时，系统特征多项式是一样的，做出的根轨迹是同一个特征方程的根随同一个参数变化的轨迹，因此根轨迹的形状是一样的，不同的是，开环传递函数为1/G（s）H（s）的根轨迹是参数1/T从0到无穷远变化时的根轨迹，（即T从无穷远处到0变化时的根轨迹），由根轨迹图读取参数时一定要注意，图13就是开环传递函数
1/
的根轨迹，临界增益为4即1/T=4，则时间常数T的临界值为T=0.25，（图上为T=0.249）.1/T>4时系统稳定，则T应小于0.25.
可用劳斯判据验证此结论。
系统的特征方程为
F（s）=Ts
+（T+1）s
+s+5
劳斯表如下：
T1
T+15
5当0二零度根轨迹
如果负反馈系统开环传递函数的分子、分母中s最高次幂不同号，或者，正反馈系统开环传递函数的分子、分母中s最高次幂同号，则闭环传递函数变成
这时特征方程变成：
可知，根轨迹幅值条件不变，而相角条件变成：
，k=0,1,2,…
由于相角条件变为k×360°,故称之为零度根轨迹，这一改变导致基本规则3、5和7必须修改为一下
、
和
的情况
对于实轴上的某一段，如果其右边实轴上的开环零点，极点点总数是偶数，那么该段就一定是根轨迹的一部分，
渐近线与实轴的夹角为
，k=0,1,2,…,∣n-m∣-1
根轨迹的出射角和入射角公式中（2k+1）
均改为2k
。
例6系统开环传递函数为
绘出系统的根轨迹。
解：
用MATLAB绘制的根轨迹如图14，它验证了上述3点改动
图14例6的根轨迹
第四章根轨迹的系统稳定性和系统的动态特性
一对系统稳定性的分析
根轨迹是系统的某一参数（比如增益K）变化时系统特征根的变化轨迹，而特征根决定系统的稳定性，因此,从根轨迹上可以看出系统参数变化对稳定性的影响。
（1）根轨迹全部位于虚轴的左边，就意味着不管K取何值，闭环系统都是稳定的，称为结构稳定系统。
（2）根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着不管K取何值，闭环系统都不可能稳定，称为结构不稳定系统。
（3）如果系统没有一支根轨迹全部位于右半平面，那么，根轨迹只要有一支穿越虚轴，就说明闭环系统的稳定性是有条件的，称为条件稳定系统。
知道了根轨迹与虚轴交点的K值，就可以确定稳定条件，进而确定合适的K值。
对于条件稳定系统，只要选择适当的K值，就可以使闭环系统稳定，而对于结构不稳定系统，不可能靠改变K值使系统稳定，这种情况下，如果系统的其它参数是不可改变的，那么要使系统稳定就必须人为增加开环零、极点。
这称之为改变系统结构。
二根轨迹与系统的动态特性的分析
根轨迹与系统稳定性的关系是很直观的，而与系统动态特性的关系就不那么直观，这时由于系统的动态特性不仅与系统的闭环有关，还与系统的闭环零点有关，而根轨迹显然不出闭环零点。
另一方面，高阶系统的动态特性本来就很复杂，只有当主导极点满足二阶近似条件时，才能进行二阶分析。
因此，通过根轨迹分析系统的动态性能，也就体现在：
1根据开环增益或系统动态指标要求，在根轨迹上确定闭环主导极点，并确定主导极点对应的典型二二阶系统的动态性能指标，2在根轨迹上找到其它非主导极点，并考虑闭环零点，来判断主导极点是否满足二阶近似条件。
三对系统稳定性的影响
有以下几种情况
（1）实轴上零点、极点对根轨迹的影响
（2）小惯性环节对根轨迹的影响
（3）偶极子效。
（4）开环零、极点抵消对系统稳定性的影响
着重对小惯性环节对根轨迹的影响。
负实轴上距虚轴比较远的极点相当于小惯性环节，在根轨迹上，它的影响表现为使原系统的根轨迹向右偏转，因此，原来稳定的系统可能变得不稳定，下面看一个例子。
例6系统的开环传递函数为
，讨论忽略小惯性环节的影响。
解：
这是一个稳定的二阶系统，如果系统建模时忽略了一个小惯性环节
，则系统实际的传递函数应该是
。
两个系统的根轨迹如图15，图16
图15例6建模系统的根轨迹
图16例6实际系统的根轨迹
可见，由于小惯性环节的存在，实际系统与建模系统的根轨迹很不一样，K=128时，建模系统的闭环极点在左半平面，而实际的闭环极点在右半平面，因此，实际系统是不稳定的，同时我们注意到，K值小的工作点（比如K=1.8）变化不大，这个现象提示我们：
1在系统建模时，不要轻易忽略那些看上去无关紧要的小惯性环节。
2有时系统的参数不可能全部考虑到，这就要求系统设计时一定要留足够的稳定裕量。
四根轨迹与系统的动态特性的两种情况
（1）等阻尼线和等角频率线
（2）利用根轨迹估计系统的动态特性。
下面说明根轨迹在系统动态分析和设计时的作用：
（1）由根轨迹可判断改变某系统参数，能否得到满足要求的闭环主导极点以及参数变化时闭环主导极点的变化趋势。
（2）由根轨迹与满足要求的等阻尼线的交点可确定系统的闭环主导极点。
（3）MATLAB绘图给出了所选主导极点对应典型二阶系统的动态指标，如果其它闭环零极点满足二阶近似的条件，这些指标可用来近似估计高阶系统的指标。
（4）由MATLAB绘制的根轨迹图很容易得到非主导极点的位置，根据他们与主导极点的距离以及闭环零点与主导极点的距离来判断二阶近似指标的准确性。
（5）如果改变系统参数不能得到希望的闭环极点，可给系统增加零点，极点（改变系统的结构），来改变根轨迹的走向。
从而得到希望的闭环极点。
第五章用MATLAB绘制根轨迹图
用MATLAB绘制根轨迹准确，快捷，并提供了许多有用的功能。
一绘制根轨迹图
Rlocus（num.den）num和den分别是系统的开环传递函数的分子多项式和分母多项式。
（该函数不适用于有延时的连续函数系统）
例7系统开环传递函数为
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