定积分及其应用练习带详细答案Word格式.docx
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2+*o2cosxdx=2+2sin
变式训练二
由直线y=2x及曲线y=3—x2围成的封闭图形的面积为（）
A.23
B.9—23
肿5
C.亍
f32
D2
详解:
注意到直线y=2x与曲线y=3-x2的交点A,B的坐标分别是（-3,-
6）,（1,2）,因此结合图形可知，由直线y=2x与曲线y=3-x2围成的封闭图
=3X1-3>
<
13-12
形的面积为1（3—x2—2x）dx=3x-3x3-x2
-3
为图象与y轴的交点，A,C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.
若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC
内的概率为
n
4.
nn6
设A（xo,o）,则3x+片g23—3
2冗
又y=3cos（3汁6）的周期为一,
3
依题意曲线段ABC与x轴围成的面积为
6
jcos（3x+©
dx=2.
nn
T|AC|=,|yB|=3,.°
.SxABC^；
.
32
•••满足条件的概率为n
变式训练二题面：
（2012?
福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自
阴影部分的概率为（）
A.1B.1C.1D
46
C.
根据题意，正方形OABC的面积为1X1=1,
则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影部分的概率为—'
丄;
间［6
故选C.
金题精讲题一题面:
（识图求积分，二星）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面
积为（）.
1
如图求由两条曲线y=—x,y=—4X2及直线y=—1所围成的图形的面
积.
得交点
A（-1,-1）,B（1,—1）.
y=-4x2,
得交点C（-2,-1）,D（2,-1）.
y=-1,
•••所求面积
s=2/0-¥
+x2dx+2-JiX2+1dx=-
13
例1求在［0,2］上，由x轴及正弦曲线ysinx围成的图形的面积
题二题面:
求曲线yx,yx及y
2x所围成的平面图形的面积
作出y
2
x，
y
x及y
2x的图如右
2x
x
解方程组
得
4
所求面积s0（2xx）dx"
2xx2）dx
10xdx2（2xx2）dx
2|0
（x2
x）|i
答：
此平面图形的面积为7
求由抛物线y2
8x（y0）与直线xy6及y
0所围成图形的面积
答案:
40
作出y2
8x（y
0）及x
6的图形如右
2y
8x
j
J
题三
所求图形的面积s0、-8xdx6（6x）dx
21內2（6xix2）|2
题面:
（1）由曲线yJX，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为
（2）由曲线y2x与直线yx2所围成的封闭图形的面积为.
169
（1）16；
（2）9.
设f（x）=八'
匸L5丄」，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）
2_Xi（L2]
A•二
B•亠
C•
D•'
■
7
故选C
已知函数
的图象与
x轴所围成图形的面积为（
D.3/2
A.1/2答案：
由题意图象与x轴所围成图形的面积为
10
（x1）dxcosxdx
2.
故选D.
题四
f（x）2x1，则
（导数与积分结合，二星）设函数f（x）xmax的导函数为
f（x）dx的值等于.
5.
2f（-x）dx的值等于
设函数f（x）=xm+ax的导函数f'
（x）=2x+1,则
A・6
A.
由于f（x）=xm+ax的导函数f'
x（=2x+1,所以f（x）=x2+x,于是弃（一x）dx
x）=2x+1，贝U2f（—x）dx的值等于（）
B.2
i
D.6
a・6
C.3
由于f（x）=xm+ax的导函数为f'
x）=2x+1,所以f（x）=x2+x,于是2f（—
5-6
-
21
1_x
x）dx=（x—x）dx=
题五
（化简后求积分，四星）
（1）求2‘彳1sin2xdx
原式2sinxcosxdx
）
B.2f0nsin2dx
D.以上结论都不对
与定积分/0n1—cosxdx相等的是（
A.2/3nsinxdx
C.2f0”sin2dx
B.
11—cosx=2sin2,
•-fn1—cosxdx=fn2sin|dx
=2沪sin|dx.
4cosxdx
T.
题六
（定积分的运用，三星）函数f（x）=sin（3汁妨的导函数y=f'
（x）的部分图象如图所示,
其中，P为图象与y轴的交点，A,C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.
（1）若片n点P的坐标为0,晋，则⑴；
⑵若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为
\盘
\7c
B
［解析］⑴函数f（x）=sin（3X+0）求导得，f'
（x）=3COS（3x+0）,把片£
和点0,电3代
6'
2n3\［3
入得cocos0+=解得3=3.
62
（2）取特殊情况，在
（1）的条件下，导函数f'
（x）=3cos3x+6，求得A9,0,
Bin，-3,C¥
0，故△ABC的面积为Swc=1x3nx3=才，曲线段与x轴所
44nn3nn
围成的区域的面积S=-fx"
99=-sin寸+n+Sin于n=2,所以该点在△
S^abcn
ABC内的概率为P=—尹=才
同类题一题面：
设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f'
x（=2x-2.
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.答案：
（1）f（x）=x2—2x+1.
⑵1.
（1）设f（x）=ax2+bx+c（aM0）
则f'
x）=2ax+b.又f'
x）=2x—2,所以a=1,b=—2,即卩f（x）=x2—2x+c.
又方程f（x）=0有两个相等实根，所以△=4—4c=0,即卩c=1.
故f（x）=x2—2x+1.
（2）依题意，所求面积为
S=1（x2—2x+1）dx=（fx3-x2+x）|0=1
同类题二
设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且
f'
（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
（2）若直线x=-1（Ovtv1=把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.
（1）
（2）
f（x）=x2+2x+1.
3.
6t2+6t—仁0,
思维拓展
题一
（几何法求积分，四星）
同类题一
求定积分1（•.1~X2）dx的值.
•
X2）dx表示圆x2+y2=1在第一、二象限的上半
圆的面积.
因为S半圆-，又在x轴上方.
所以\（..1x2）dx=-.
同类题二题面：
：
（』（x1）2x2）dx的值是（）
D.—1
A.—-
B.—-
C.—-
43
23
积分所表示的几何意义是以（1,0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2
在第一象限的部分坐标轴围成的面积，
故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的
图形的面积之差.
即；
（.、1（x1）2x2）dx
12
x2dx
_1
43.
故答案选A
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