相位匹配.doc
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§2.5相位匹配
在三波非线性耦合波方程中，相位失配因子起重要作用。
若非线性相互作用就会得到增强；若，三波相互作用则会减弱。
为获得强的非线性光学过程，通常希望，此称相位匹配条件。
如何满足相位匹配条件，是实用中需要解决的关键问题之一。
一般情况下，三波非线性相互作用发生在介质的透明区，即介质与光场无能量交换，此时三波应满足能量守恒定律和动量守恒定律。
（2.5.0-1）
这里动量守恒就是相位匹配条件，若三波共线传播，相位匹配条件为
（2.5.0-2）
本节主要讨论实现相位匹配的方法，包括利用晶体双折射的角度相位匹配，晶体折射率对温度较敏感的温度相位匹配，将铁电畴晶体极化方向进行周期性反转的准相位匹配方式。
2.5.1晶体的菲涅尔法线方程
设光波为单色平面波，电位移矢量、电场矢量和磁场强度表示为：
（2.5.1-1）
式中：
为波矢方向上的单位矢量，上式代入Maxwell方程组
（2.5.1-2）
相当于用置换，用置换算符，并利用
（2.5.1-3）
消去，并利用
（2.5.1-4）
上式是Maxwell方程组的直接推论，决定了电磁波在晶体中的传播性质，是描述晶体光学性质的基本方程。
（2.5.1-5）
是一个对称张量，因而晶体的相对介电张量也是一个对称张量，经过主轴变换后的介电常数张量是对角张量，
（2.5.1-6）
称为相对主介电常数。
由迈克斯韦关系式
写成分量形式
（2.5.1-7）
（2.5.1-8）
或写成
（2.5.1-9）
在主轴坐标系中，重新写成矢量形式
（2.5.1-10）
用点乘方程左右两边，利用，，得
（2.5.1-11）
波矢的单位矢量在各坐标轴上的投影为
（2.5.1-12）
为波矢与主轴（光轴）的夹角，为波矢在面上的投影与轴的夹角。
或写成
（2.5.1-13）
或写成
（2.5.1-14）
上式称为菲涅尔法线方程，它说明了波矢方向上的折射率随波矢方向的变化而不同。
或者说，沿不同方向上，光波有不同的传播速度。
这就是晶体的光学各项异性。
对单轴晶体，
（2.5.1-15）
或写成（2.5.1-16）
2.5.2角度相位匹配
一般情况下，参与相互作用的三个光波的频率是一定的。
实现相位匹配的方法，就是利用非线性光学晶体的双折射特性和色散特性，来改变三波折射率的相对大小，使之满足相位匹配。
对于单轴晶体，光波有光和光之分，其中光折射率随波矢与光轴间的夹角变化。
改变光波的角，使光折射率变化。
当角变化到某一角度时，光折射率正好使相位匹配关系成立。
这种改变晶体入射角度来实现相位匹配的方法称为角度相位匹配或称为临界相位匹配，使相位匹配条件成立时的角度称为角度相位匹配。
以KDP晶体为例，讨论相位匹配角的计算。
（1）选取相互作用方式：
KDP晶体为负单轴晶体，I类匹配，II类匹配。
（2）由能量守恒和共线条件下的动量守恒确定基频光和倍频光折射率关系
得到匹配条件：
（2.5.2-1）
（3）由单轴晶体菲涅尔波法线方程
（2.5.2-2）
将带入方程，得
（2.5.2-3）
（4）由色散方程（Sellmeier方程）求出基频光和倍频光的主轴折射率
KDP晶体的Sellmeier方程
（2.5.2-4）
表1KDP晶体的Sellmeier系数
A
B
C
D
no
ne
2.259276
2.132668
0.01008956
0.008637494
0.012942625
0.012281043
13.00522
3.227992
由KDP晶体的色散方程公式计算的基频波1064nm和倍频波532nm的主轴折射率为：
代入公式（2.5.2-3），计算KDP晶体1类相互作用（）的相位匹配角为。
计算在相位匹配条件下的KDP晶体1类相互作用（）的有效非线性光学系数为（式中）。
2、II类匹配条件下的相位匹配角
（1）相互作用方式（或偏振取向）
（2）由共线条件下动量守恒公式
（2.5.2-4）
（3）将单轴晶体波法线菲涅尔方程代入上式
（2.5.2-5）
计算的相位匹配角，根据II类的有效非线性系数公式：
（2.5.2-6）
显然II类相位匹配的有效非线性系数大。
因此KDP晶体一般采用II类相位匹配进行倍频。
2.5.3温度相位匹配
光在晶体中传播时，波矢和能流坡印亭传输方向不共线，二者存在一个夹角，离散角值为
图1离散角对基频和倍频光空间耦合的影响
（2.5.3-1）
倍频光为光与基频光光光束在空间中会产生分离，如图1所示。
离散长度（2.5.3-2）
为消除离散效应影响，通常相位匹配角。
利用晶体折射率对温度的敏感性来实现相位匹配，称为温度相位匹配。
例如负单轴晶体LiNbO3倍频时，采用I类相位匹配方式，相位匹配条件：
。
基频光，倍频光为。
LiNbO3晶体属于点群，有效非线性光学系数：
（2.5.3-3）
取时，有效非线性系数最大，为。
LiNbO3晶体的光和光折射率与晶体温度关系公式为
（2.5.3-4）
计算当时，，具体的匹配温度由实验确定。
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