1999全国高考数学文科试题Word文档格式.docx
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元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素
的个数是
（A）4 （B）5（C）6（D）7
（3）若函数y＝f（x）的反函数是y=g（x），f（a）=b，ab≠0，则g（b）等于
（A）a （B）a-1 （C）b（D）b-1
（4）函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>
0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M，
则函数g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上
（A）是增函数 （B）是减函数
（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M
（5）若f（x）sinx是周期为∏的奇函数，则f（x）可以是
（A）sinx （B）cosx（C）sin2x （D）cos2x
（6）曲线x2+y2+2
x-2
y=0关于
（A）直线x=轴对称 （B）直线y=-x轴对称
（C）点（-2，
）中心对称 （D）点（-
，0）中心对称
（7）若干毫升水倒人底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高为6cm，若将这些水倒
人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是
（A）6
cm （B）6cm（C）2
cm （D）3
cm
（8）若（2x＋
）3＝a0+a1x+a2x2+a3x3，则（a0+a2）2-（a1+a3）2的值为
（A）-1 （B）l （C）0（D）2
（9）直线
x＋y-2
=O截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，
EF∥AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为
（A）9/2（B）5（C）6（D）15/2
（11）若sina＞tga＞ctga（-
＜a＜
），则a∈
（A）（-
，-
）（B）（-
，0）（C）（0，
）（D）（
，
）
（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的
侧面积的比为1：
2，那么R=
（A）10 （B）15 （C）20 （D）25
（13）给出下列曲线：
①4x+2y-1=0②x2+y2=3③x2/2+y2=1④x2/2-y2=1
其中与直线r＝-2x-3有交点的所有曲线是
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装
磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒则不同的选购方式共有
（A）5种 （B）6种 （C）7种 （D）8种
第II卷（非选择题共90分）
1．第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二，填空题：
本大题共4小题；
每小题4分，共16分，把答案填在题中横线
（15）设椭圆（x2/a2）+（y2/b2）＝1（a>
b>
0）的右焦点为F1，右准线为l1若过F1且垂直于x轴的弦的长
等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是_______
（16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作
物生长。
要求A、B两种作物的问隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_____种（用数字作答）
（17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________
（18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
______________________________________________________________________
三.解答题：
本大题共6小题；
共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（19）（本小题满分10分）
解方程
-3lgx+4=0
（20）（本小题满分12分）
数列{an}的前n项和记为Sn，已知an=5Sn-3（n∈N）求
（al+a3+…+a2n-1）的值。
（21）（本小题满分12分）
设复数z＝3cosθ+isinθ．求函数y=tg（θ－argz）（0<
θ<
）的最大值以及对应的θ值
（22）（本小题满分12分〕
如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所
成的角为45°
，AB=a
（Ⅰ）求截画EAC的面积；
（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离；
（Ⅲ〕求三棱B1—EAC的体积。
（23）（本小题满分14分）
下图为一台冷轧机的示意图。
冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步
减薄后输出。
（1）输入带钢的厚度为a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷轧机至少需
要安装多少对轧辊？
（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm，若第k对轧辊有缺陷,
每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk，为了便于检
修，请计算L1、L2、L3并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）。
轧辊序号
1
2
3
4
疵点间距Lk（单位：
mm）
1600
（24）（本小题满分14分）
如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：
x＝-LB是直线l上的动点，∠BOA的
角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。
1999年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题参考答案及评分标准（文史类）
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解法供参考，如果考生的解法
与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半；
如果后继部分的解
答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
本题考查基本知识和基本运算。
第
（1）－第（10）题每小题4分，第（11）－（14）
题每小题5分，满分60分。
（1）C
（2）A（3）A（4）C（5）B
（6）B（7）B（8）A（9）C（10）D
（11）B（12）D（13）D（14）C
二．填空题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分
（15）1/2
（16）12
（17）[9,+∞]
（18）m⊥a,n⊥β,a⊥β==>
m⊥n或m⊥n,m⊥a,m⊥β==>
a⊥β
三．解答题
（19）本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力。
满分10分。
解：
设 （31gx-2）1/2=y, 原方程化为
y-y2+2=0.－－－－4分
解得y=-1,y=2.－－－－6分
因为（31gx-2）1/2≥0, 所以将y=-1舍去，
由（31gx-2）1/2=2
得lgx=2,
所以x=100.－－－－9分
经检验x=100为原方程的解．－－－－10分
（20）本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识，满分12分。
解：
由Sn=a1+a2+…+an知
an=Sn-Sn-1（n≥2）,
a1=S1,－－－－2分
由已知an=5Sn-3得
an-1=5Sn-1-3.－－－－4分
于是an-an-1=5（Sn-Sn-1）=5an,
所以an=-（an-1/4）.－－－－6分
由a1=5S1-3,
得a1=3/4.
所以，数列{an}是首项a1=3/4，公比q=-1/4的等比数列．－－－－8分
由此知数列a1,a3,a5,…,a2n-1,……是首项为a1=3/4,公比为（-1/4）2的等比数列。
所以limn→∞（a1+a3+a5+…+a2n-1）=（3/4）/[1-（-1/4）2]=4/5.12分
（21）本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基本知识，考查综合运用所学数学
知识解决问题的能力，满分12分。
由0<
π/2得tgθ>
0.
由z＝3cosθ+isinθ得tg（argz）=sinθ/3cosθ=1/3tgθ.－－－－3分
故y=tg（θ-argz）
=（tgθ－1/3tgθ）/（1＋1/3tg2θ）－－－－6分
=2/[（3/tgθ）+tgθ］.
∵（3/tgθ）+tgθ≥2（3）1/2,
∴2/[（3/tgθ）+tgθ］≤（3）1/2/3.－－－－9分
当且仅当3/tgθ=tgθ（0<
π/2）时，即tgθ＝（3）1/2时，上式取等号。
所以当θ＝π/3时，函数y取得最大值（3）1/2／3。
－－－－12分。
（22）本小题主要考查空间线面关系，二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算
能力，满分12分。
（1）解：
如图，连结DB交AC于O，连结EO。
∵底面ABCD是正方形
∴DO⊥AC。
又∵ED⊥底面AC，
∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，－－－－2分
∴∠EOD＝45°
。
DO＝
（2）1/2/2a,AC=
（2）1/2a,Eo=[
（2）1/2a·
sec45°
]/2=a.
故S△EAC=
（2）1/2×
a2/24分
（II）解：
由题设ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC。
又A1A⊥A1B1，
∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线。
－－－－6分
∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO，
∴D1B∥EO。
又O是DB的中点，
∴E是D1D的中点，D1B＝2ED＝2a。
异面直线A1B1与AC间的距离为
（2）1/2a。
－－－－8分
（III）解法一：
如图，连结D1B1。
∵D1D＝DB＝
（2）1/2a，
∴BDD1B1是正方形。
连结B1D交D1B于P，交EO于Q。
∵B1D⊥D1B。
EO∥D1B，
∴B1D⊥EO
又AC⊥EO，AC⊥ED，
∴AC⊥面BDD1B1
∴B1D⊥AC
∴B1D⊥面EAC。
∴B1Q是三棱锥B1－EAC的高。
－－－－10分
由DQ＝PQ，得B1Q＝3B1D/4＝3a/2。
∴VB1－EAC＝（1/3）·
[
（2）1/2a2/2]·
（3/20=
（2）1/2·
a3/4.
所以三棱锥了－EAC的体积是
（2）1/2·
a3/4.－－－－12分
解法二：
连结B1O，则VB1－EAC＝2VA－EOB1。
∵AO⊥面BDD1B1，
∴AO是三棱锥A－EOB1的高，AO＝
（2）1/2·
a/2
在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点（如右图），
则S△EOB1=3a2/4.
∴VB1-EAC=2×
（1/30×
（3a2/4）×
[
（2）1/2a/2}=
（2）1/2·
所以三棱锥B1－EAC的体积是
（2）1/2·
a3/4.－－－－12分。
（23）本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题
的能力，满分14分。
（I）解：
厚度为a的带钢经过减薄率均为ro的n对轧辊后厚度为a（1-ro）n.
为使出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足
a（1-ro）n≤β，
即（1-ro）n≤β/a －－－－4分
由于（1-ro）n>
O,β/a>
0,对上式两端取对数，得
nlg（l-ro）≤lg（β/a）.
由于lg（1-ro）<
0,
所以n≥（lgβ-lga）/[lg（1-ro）].
因此，至少需要安装不小于（lgβ-lga）/[lg（1-ro）]的整数对轧辊－－－－7分
（II）解法一：
第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为
1600a×
（1-r）k×
宽度（其中r＝20％），
而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为
Lk×
a（1-r）4×
宽度。
因宽度相等，且无损耗，由体积相等得
1600·
a（1-r）k=Lk·
a（1-k）4（r=20%）,
即Lk=1600·
0.8K-4.－－－－10分
由此得l3=2000（mm）,
l2=2500（mm）,
l1=3125mm）
填表如下：
轧辊序号K
1
2
3
4
疵点间距LK（mm）
3125
2500
2000
－－－－14分
第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点
间带钢体积相等，因宽度不变，有：
1600=L3·
（1-0.2）,
所以L3=1600/0.8=2000（mm）.－－－－10分
同理L2=L3/0.8=2500（mm）.
L1=L2/0.8=3125（mm）.
填表如下：
－－－－14分
（24）本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合
运用数学知识解决问题的能力。
满分14分。
解法一：
依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y＝0和y＝－bx，
设点C（x,y），则有0≤x<
a,由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等，根据点到直线
的距离公式得
|y|=|y+bx|/
①－－－－4分
依题设，点C在直线AB上，故有
y=[-b/（1+a）]（x-a）.－－－－6分
由x-a≠0，得b=-（1+a）y/（x-a）.②
将②式代入①式得
y2[1+（1+a）2y2/（x-a）2]=[y-（1+a）xy/x-a]2,
整理得
y2[（1-a）x2-2ax+（1+a）y2]=0.－－－－9分
若y≠0，则（1-a）x2-2as+（1+a）y2=0（0<
x<
a）;
若y=0,则b=0,∠AOB＝π，点C的坐标为（0，0），满足上式，
综上得点C的轨迹方程为
（1-a）a2-2ax+（1+A）y2=0（0≠x<
a）,－－－－10分
∵a≠1,
∴[x-a/（1-a）]2/[a/（1-a）]2+y2/[a2/（1-a2）]=1（0≤x<
a）.③－－－－12分
由此知，当〔」「工时，方程③表示椭圆孤段；
当a>
1时，方程③表示双曲线一支的弧段。
－－－－14分
解法二：
如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足。
（1）当|BD|≠0时，设点C（x,y），则0<
ay≠0.
由CE∥BD得|BD|=|CE|·
|DA|/|EA|=|y|/a-x（1+a）.－－－－3分
∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,
∴2∠COA=π-∠BOD，
∵tg（2COA）=2tg∠COA/（1-tg2∠COA）,tg（π-∠BOD）=-tg∠BOD,
tg∠COA=|y|/x,tg∠BOD=∠|BD|/|OD|=|y|/a-x（1+a）.
∴[2·
|y|/x]/[1-（y2/x2）]=[|y|/（a-x）]（1+a）,
整理得（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0<
a）.
（II）当|BD|=0时，∠BOA＝π，则点C的坐标为（0，0），满足上式。
综合（I）（II），得点C的轨迹方程为
（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0≤x<
a）－－－－10分
以下同解法一。
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