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国内也有类似的研究，如徐传胜（2004）阐述了概率论简史，徐洪香（2001）对概率论的缘起、发展及其应用进行了研究[4]。

根据已有的有关概率论发展的研究结果可知，研究者们对概率论的发展达成了共识，认为概率论的发展经历了三个阶段：

经典概率论时期（1811年之前）、分析概率论时期（1812~1932年）和公理化概率论时期（1933年至今）。

但这些对概率论发展史的研究中对概率概念的演变阐述得并不是特别清楚，而仅是概率概念定义的简单描述。

已有文献中关于概率概念的研究主要分为两类：

一类是对某一种概率概念的研究，如梁旭（2010）专门阐述了古典概率的发展历史[5]，徐传胜（2006）对拉普拉斯的分析概率论进行了研究[6]，张鑫（2012）概率论对概率论公理化进程的历史进行了研究[7]，李文林在其著作《数学史概论》中第11章中专门阐述了公理化概率论[8]；

二是对概率论发展的三个阶段中的三种概率概念进行整体论述，如张尧庭（1988）认为概率概念争论的焦点是概率这一概念的客观基础，并且概率有客观与主观之分，但二者并不是相互独立的，而是在一定条件下相互转化的[9]，汤彬如在2009年第三届数学史与数学教育国际研讨会上提交的论文中对概率的古典定义、统计定义和公理化定义分别进行了阐述[10]。

但这些文献仅是对三种定义进行孤立的阐述，并没有进行系统论述，对三种概率概念的阐述也并不全面。

克莱因在《现代世界中的数学》一书中收集了艾也尔的“机会”、韦弗尔的“概率论”和卡茨的“概率论”三篇文章，这三篇文章虽然对概率概念的一些误区进行了解释，但并不能构成对概率概念的演变的完整阐述[11]。

鉴于此，本文从概率论发展的历史的角度对概率概念的演变进行系统论述，并对三种概率概念进行深度解读。

2概率概念的演变

概率概念的演变是人们对研究的问题不断拓展、深入的结果。

对概率概念的演变进行研究既可促进对概率发展过程的理解、对概率的深刻认识，也可促进对概率未来发展的展望。

概率概念的演变经历了三个阶段：

频率概率阶段，古典概率阶段和公理化概率阶段。

2.1频率概率阶段（1811年之前）

这一阶段中，研究者主要用代数及组合方法为研究手段，以研究离散型随机变量为主。

标志性的著作是惠更斯的《论赌博中的计算》，该书是历史上最早的概率论著作，它的出版被看作是概率论诞生的标志。

概率的研究源于赌博。

在400多年前，一些赌徒问意大利科学家伽利略（Galileo），为什么一次扔三个骰子时，正上面的数的和为10的次数比和为9的次数要多。

在1654年，另一位赌徒德米尔骑士（ChevalierdeMere）问帕斯卡（Pascal）为什么把钱下注在扔两个骰子24次至少又一次出现双六点是没有好处的。

这些问题激起了帕斯卡的兴趣，帕斯卡开始与费马通信，两人开始研究赌博中的不确定性问题。

帕斯卡和费马之间的通信成为概率论基本原理的最早的记录证据。

在1655年，荷兰科学家惠更斯在他去巴黎的途中了解到帕斯卡和费马之间有关概率的通信。

在1657年，惠更斯回到荷兰，写了《论赌博中的计算》一书，这是关于概率的计算的第一部印刷作品，这是有关赌博问题的专著。

由于游戏中的机会的具有内在吸引力，概率理论很快流行开来，概率论在18世纪迅传播开来。

在这一阶段，概率论的主要贡献者有雅可比•伯努利（JacobBernoulli）和亚伯拉罕•隶莫弗（AbrahamdeMoivre）。

雅可比去世8年后，其著作ArsConjectandi在1713年出版，这是概率论发展史上具有重大意义的一部著作。

一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人是伯努利，它在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：

若在一系列独立试验中，事件A发生的概率为常数且等于

，那么对

以及充分大的试验次数

，有

其中

为

次试验中时间A出现的次数。

伯努利定理刻画了大量经验观测中呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式在概率概念的演变中占有重要地位。

隶莫弗在1718年出版了《机会原则：

一种游戏中事件可能性的计算方法》（TheDoctrineofChance:

AmethodofcalculatingtheprobabilitiesofEventsinPlay）,由此，隶莫弗成为是概率论现代方法的研究的先行者。

统计独立性的定义在此书中第一次出现，《机会原则》（TheDoctrineofChance）新的扩展版本分别在1718,1738和1756年出现。

生日问题在1738年的版本中出现，赌徒破产问题在1756年的版本中出现。

1756年的版本是隶莫弗在概率论发展史上最大的贡献，在此版本中，隶莫弗阐述了大量试验中的二项分布近似值，即“第一中心极限定理（TheFirstCentralLimitProblem）”,他接受了标准偏差的概念，同时也是第一个写出正态积分的科学家。

在他的著作MiscellaneaAnalytica（1730）中，隶莫弗在证明中心极限定理时运用了斯特灵公式（其实是错误的归功于了斯特灵），在1738年的版本中，隶莫弗将公式的改进归功于斯特灵。

隶莫弗也对死亡进行了统计研究，并对养老金的理论基础进行了调查。

隶莫弗在概率论的发展中做出了重要贡献，以至于Todhunter在Ahistoryofthemathematicaltheoryofprobability（伦敦，1865）说“除拉普拉斯之外，概率论的发展更多的应该归功于隶莫弗。

”

于是数学家们开始寻找解决这一问题的办法，概率概念演变到了分析概率阶段。

2.2古典概率论阶段（1812~1932年）

在拉普拉斯之前，概率论仅仅是关于概率中的赌博问题的。

拉普拉斯在1812年出版了《分析概率论》一书，概述是这一时期的标志性著作，这也是概率论发展史上出版的第一本具有奠基意义的著作。

在该书中，拉普拉斯对之前的古典概率论进行了系统完整的总结，并在概率推理中引进了当时已经发展起来的数学分析方法，使概率论进入了分析概率论阶段。

这一时期的概率研究的主要特点是用微分方程、特征函数等分析方法为研究手段，以研究连续型随机变量为主。

拉普拉斯的著作包含了两本书和2年后的一个第二版，第二版内容增加了30%。

著作包含了对生成函数的研究、拉普拉斯对概率的定义、贝叶斯法则数学期望的概念、概率的近似值、对最小二乘法的讨论、布封的抛针实验和拉普拉斯变换的逆变换。

拉普拉斯对概率的定义也被称为频率定义，即在相同条件下将实验重复无穷多次，则事件出现的频率就会趋于一个稳定值，这个稳定值就是事件出现的概率。

但可惜的是，拉普拉斯也仅考虑了古典概率的情况，而没有将其应用到一般的问题中。

拉普拉斯给出的古典概率的定义是“事件A的概率P（A）等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该试验中所有可能的结果数之比，即假设一个游戏有

种等可能的结果，出现赢的结果有

种，那么赢的概率就是

。

这样将任一事件的概率定义为由事件的满意情形数除以同等可能的情形的总数，那么一个不可能事件的概率显然是0，因为没有满意的情形；

而一个必然事件的概率是1，因为所有的情形均满意，随机事件的概率则是0到1之间的某个数。

这种定义看似合乎逻辑，但更谨慎一点，则可注意到古典概率计算方法中存在一定缺陷：

一是它需要将游戏分解为等可能的结果，做到这一点并不总是可能的，这可以说是用概率的术语定义概率。

二是可能性相等的情形也并不总是清楚的；

三是这种方法只能处理结果总数是有限的情况。

19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫做出了贡献，他在1866年建立了关于独立随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定律成为其特例，他还将隶莫弗-拉普拉斯定理推广为更一般的中心极限定理。

切比雪夫的成果由来又被他的学生马尔科夫发展。

但概率概念甚至是整个概率理论由于其自身的矛盾等问题，在1899年受到了挑战，其中最著名的是挑战是贝特朗提出的悖论，即“贝特朗悖论”：

在半径为r的圆内随机选择弦，计算弦长超过圆内正三角形边长的概率，根据“随机选择”的不同意义，可以的恶道不同的答案。

（1）考虑与某确定方向平行的弦，所求概率为

（2）考虑从圆上某固定点P引出的弦，则所求概率为

（3）随机的意义理解为：

弦的中点落在圆的某个部分的概率与该部分的面积成正比，则所求概率为

这类悖论说明了概率的概念是以某种确定的实验为前提的。

贝特朗悖论直接对概率概念本身构成了挑战。

拉普拉斯的古典概率也收到了猛烈批评。

数学家们不得不对概率概念进行重新定义。

2.3公理化概率阶段（1933年至今）

将概率概念进行数学化定义的困难之一是用简洁的数学语言对概率进行定义，同时这种定义又能被广泛地应用到多种现象当中。

寻求一个可以被广泛接受的概率定义花费了3个多世纪的时间，同时带来了更多的疑问。

这个问题最终于20世纪在公理化的基础上被解决了。

从此，概率概念演变到了公理化概念阶段。

这一时期，概率的研究是以集合论、测度论的思想方法为主要理论基础的，同时研究方向呈现多元化。

这一阶段的标志性著作是柯尔莫哥洛夫的《概率论基础》。

该书在历史上首次建立了概率论公理化体系，为概率论奠定了坚实的理论基础。

在20世纪20年代中期以后，俄国数学家柯尔莫哥洛夫开始从测度论途径探讨概率论理论的严格表述，他出身于函数论学派，在他发表的《概率论基础》中，建立起了集合测度与事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数正交性与随机变量独立性的类比等。

正是这种类比提供了概率论的演绎数学基础。

柯尔莫哥洛夫提出了6条公理，整个概率论大厦可以从这6条公理出发建立起来。

概率论公理化使得概率论成为一门严格的演绎科学。

柯尔莫哥洛夫公理化概率论中第一个基本概念是“基本事件集合”。

假设进行某种试验，这种试验在理论上应该允许在任意次重复进行，每次试验都有一定的、依赖于机会的结果，所有可能的结果总体形成了一个集合空间E，称为基本事件集合。

就逻辑展开而言，集合E的元素是抽象的。

E的任何子集，即由可能的结果事件组成的任意集合，被称为随机事件，只考虑一定的事件域，并不考虑所有的随机事件。

在柯尔莫哥洛夫的公理化概率论中，对于域中的每一个事件，都有一个确定的非负实数与之对应，这个数就叫做该事件的概率。

在概率的公理化体系中，概率的定义是抽象的，不涉及频率或其他任何具有具体背景的概念。

概率的公理化定义为：

设E是随机试验，S是它的样本空间，对于S中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率。

如果集合函数P（.）满足下面三条公理：

公理1

（1）

公理2

（2）

公理3若事件

……两两互不相容，则

这里事件个数可以是有限的，也可以是无限的。

公理1说明任一事件的概率介于0与1之间；

公理2说明必然事件的概率为1；

公理3说明对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自发生的概率之和。

由这3条公理可以推出概率的一些简单性质，如：

对任一事件A有

在公理化概率的基础上，概率论取得了新的进展和一系列突破，促进了人们对随机过程、布朗运动、流体力学等的研究，以至于概率渗透到每一个领域之中。

概率公理化的完成，使得人们可以对概率由各种具体的解释，概率的公理化使得概率从频率解释和古典解释中抽象出来，同时也使得概率从形式回到现实世界的解释中去，概率新的应用范围被极大地拓广了。

3结论

概率概念的演变过程反映了人们对概率问题认识的逐步深化和范围的扩大化，同时在概率概念的演变过程中，也产生了概率的研究分支，使得概率研究体系逐渐扩大。

对概率概念的演变过程进行研究，有助于更深刻的了解概率研究的发展，同时增进对概率概念本质的理解。

参考文献

1.DavidF.N.（1962）.Games,Gods,andGambling:

aHistoryofProbabilityandStatisticalIdeas,Griffin,London

2.IonutFlorescu.Probability.A（very）briefhistory,

3.徐传胜.概率论简史[J].数学通报，2004（10）：

36-39.

4.徐洪香.概率论的缘起、发展及其应用[J].辽宁工学院学报，2001（3）：

62-63.

5.梁旭.古典概率的历史研究——走出赌博[D].天津：

天津财经大学应用经济学系，2010.

6.徐传胜.拉普拉斯的《分析概率论》研究[J].自然科学史研究，2006（3）：

227-238.

7.张鑫.概率论公理化进程的历史研究[D].山东：

山东大学数学学学院基础数学系，2012.

8.李文林.数学史概论[M].北京：

高等教育出版社，2002年.

9.张尧庭.概率概念的发展和争论[J].曲阜师范大学学报，1988

（2）：

1-6.

10.汤彬如.第三届数学史与数学教育国际研讨会论文集[C].国际会议数据库，2009.

11.（美）M.克莱因.《现代世界中的数学》（MathematicsintheModernWorld）。

齐民友等译.上海：

上海世纪出版集团，2007年.

TheEvolutionoftheConceptofProbability

TianXingjiao,SchoolofMathematicsandScience,CurriculumandInstructionalTheory,AcademicGraduateStudentof2012

[Abstract]Theevolutionoftheconceptofprobabilityhasgonethroughthreestages,namelyfrequencyprobability,classicalprobabilityandaxiomatizationprobability.Theprocessreflectspeople’sgraduallydeepenedknowledgeofproblemsofprobability.Atthesametime,theevolutionisalsotheresultoftheenlargedscopeoftheprobabilityfield.Throughthestudyoftheevolutionoftheconceptofprobabilityanditshistory,cognitionofprobabilitycanbeadvanced,thusprovidingusanopportunitytolookintoitfuture.

[Keywords]frequencyprobability,classicalprobability,axiomatizationprobability