层次分析法模型PPT文档格式.ppt

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最高层：

又称目标层。

这一层次的元素只有一个。

一般它是分析问题的预定目标或理想结果。

中间层：

又称准则层。

这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干层次组成，包括所需考虑的准则和子准则。

最低层：

又称方案层。

这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施，决策方案等。

上述层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素，而仅支配其中的部分元素，这种自上而下的支配关系所形成的层次结构称为递阶层次结构。

一个典型的层次结构如图71所示。

实现方法

（1）-递阶层次结构的建立,决策目标,准则1,准则2,准则m1,子准则1,子准则2,子准则m2,方案1,方案2,方案n,递阶层次结构示意图,目标层,准则层,方案层,实现方法

（1）-递阶层次结构的建立,在递阶层次结构中层次数与问题的复杂程度及需分析的详尽程度有关，一般层次不受限制，每一层次中各元素所支配的元素不要超过9个。

因为支配元素过多会给两两比较判断带来困难，如果超过9个，可以考虑合并一些因素或增加层次数。

无论哪种情况，都要在对问题进行深入研究的情况下进行，以便使之具有一定的合理性。

一个递阶层次结构应具有以下特点：

（1）从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示。

除目标层外，每个元素至少受上一层一个元素支配。

除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素，上下层元素的联系比同一层次强，以避免同一层次中不相邻元素存在支配关系；

（2）整个结构中，层次数不受限制；

（3）最高层只有一个元素，每一个元素所支配的元素一般不超过9个，元素过多时可进一步分组；

（4）对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成为递阶层次结构。

实现方法

（2）-构造两两比较判断矩阵,层次分析法的特点之一是定性分析与定量计算相结合，定性问题定量化，第二步就是要在已有层次结构的基础上构造两两比较的判断矩阵。

在这一步中，决策者要反复回答问题，针对准则C，两个C所支配的元素ui与uj哪个更重要，重要程度如何，并按19标度对重要程度赋值。

表7l给出了19标度的含义。

这样对于准则C，几个被比较元素通过两两比较构成一个判断矩阵A（aij）nxn，其中，aij就是元素ui与uj相对于C的重要度比值。

实现方法

（2）-构造两两比较判断矩阵,判断矩阵具有性质：

aijo，aij1/ajiaii=1，i,j=1,2,n具有这种性质的矩阵A称为正互反矩阵。

由判断矩阵所具有的性质知，一个n阶判断矩阵只需给出其上三角或下三角的n（n-1）/2个元素就可以了，即只需作n（n-1）/2次两两比较判断。

若判断矩阵A同时具有性质：

对任意i，j，k，aij=aik*akj，则称A为一致性矩阵。

并不是所有的判断矩阵都具有一致性。

事实上，AHP中多数判断矩阵（三阶以上）不满足一致性。

一致性及其检验是AHP的重要内容。

实现方法（3）单一准则下元素相对权重计算及一致性检验,这一步要在第二步的基础上，从给出的每一判断矩阵中求出被比较元素的排序权重向量，并通过一致性检验确定每一判断矩阵是否可以接受。

（1）权重计算方法,根法（几何平均法）：

将A的各个列向量采用几何平均然后归一化，得到的列向量近似作为加权向量。

和法：

取判断矩阵n个列向量（针对n阶判断矩阵）的归一化后算术平均值近似作为权重向量，即有,实现方法（3）单一准则下元素相对权重计算及一致性检验,特征根法（EM）：

求判断矩阵的最大特征根及其对应的右特征向量，分别称为主特征根与右主特征向量，然后将归一化后的右主特征向量作为排序权重向量。

特征根法的原理和算法特征根法是AHP中提出最早，也最为人们所推崇的方法。

除以上方法外还有对数最小二乘法，最小偏差法，梯度特征向量法等。

特征根法的原理和算法,设w0（w1,w2,wn）是n阶判断矩阵A的排序权重向量，当A为一致性矩阵时，显然有,可以验证：

Aw=nw且n为矩阵A的最大特征根，A的其余特征根为0，A的秩为1。

对一般的正互反矩阵，根据正矩阵的Perron定理可知，其最大特征根为正，且它对应的右特征向量为正向量，最大特征根max为A的单特征根，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。

特征根法是借用数值分析中计算正矩阵的最大特征根和特征向量的幂法实现的。

一致性检验,在判断矩阵的构造中，并不要求判断矩阵具有一致性，这是客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的，19标度也决定了三阶以上判断矩阵是很难满足一致性的。

但要求判断有大体上的一致性是应该的，出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常识的，一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误，而且上述各种计算排序权重的方法当判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠性程度也就值得怀疑了。

因此需要对判断矩阵的一致性进行检验，其步骤为：

（i）计算一致性指标C.I（ConsistentIndex）（ii）查找相应的平均随机一致性指标R.I.（RandomIndex），表给出了112阶正互反矩阵的平均随机一致性指标。

（iii）计算一致性比率C.R.（ConsistentRatio）当C.R.O.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。

为了讨论一致性需计算最大特征根max，除特征根方法外，可用分式求得。

实现方法（3）计算各层元素对目标层的总排序权重,上面得到的是一组元素对其上一层次中某元素的权重向量。

我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重，即所谓总排序权重，从而进行方案选择。

总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。

假定已经算出第k-1层上nk-1个元素相对于总目标的排序权重w（k-1）（w1（k-1）,w2（k-1）,w1（k-1）T，以及第k层nk个元素对于第k-1层上第j个元素为准则的单排序向量pj（k）（p1j（k）,p2j（k）,pnkj（k）T，其中不受j元素支配的元素权重取为0。

矩阵p（k）（p1（k）,p2（k）,pnk（k）T是nkxnk-1阶矩阵，表示了第k层上元素对第k-1是层上各元素的排序，那么第k层上元素对目标的总排序向量w（k）为:

w（k）（w1（k）,w2（k）,wnk（k）Tp（k）w（k-1）.且一般公式为:

w（k）p（k）p（k-1）p（3）w

（2）这里w

（2）是第二层上元素的总排序向量，也是单准则下排序向量。

例1合理利用企业留成问题中的递阶层次结构模型,层次分析法的有关问题,层次分析法自问世以来不仅在应用方面大显身手，在理论体系、计算方法及建立更复杂的层次结构方面都有很快发展。

在前面已介绍了的使用步骤，这里我们从应用角度出发补充AHP的几个有关问题。

1残缺判断的处理应用AHP进行决策时，人们对于每个准则都要填写一个判断矩阵。

每个判断矩阵需进行n（n-1）/2次两两比较。

当层次较多、因素复杂时，总的判断量很大，常出现某个参与决策的专家对某些判断缺少把握、不感兴趣或不想发表意见的情形，还有体育比赛排名时某些队之间未进行过比赛等，这些情况应当允许，否则免为其难或硬性比较可能掩盖事物本质，充分利用残缺判断中的剩余信息有利于提高排序的可靠性。

由此提出的方法称为不完全信息下的排序问题。

显然，一个判断矩阵的残缺程度对排序的正确性是有明显影响的。

信息越少，排序的随意性越大。

为了获得较可靠的排序，必须对矩阵元素的残缺程度及位置作一些限制，满足一定条件的残缺矩阵是“可接受的”。

（1）残缺判断可接受的条件一个残缺判断矩阵称为是可接受的，如果其任一残缺元素都可以通过已给出的元素间接获得。

否则称为不可接受的。

一个残缺判断矩阵可接受的必要条件是除对角线元素外，判断矩阵每行每列至少有一个给定的元素。

有关层次分析法理论的几个性质和定理,19标度与评分标度,层次分析法采用l9标度和两两比较的方法构造判断矩阵是定性问题定量化方面的重大突破，采用l9标度的依据主要是：

（1）在定性比较时，人们头脑中存在比较明显的五个等级，即相等、较强、明显强、很强、绝对强。

（2）心理学家认为7土2个因素是两两比较的心理极限。

（3）AHP的创立者Saaty通过对椅子光照度的心理测试，得出采用l9标度不仅在简单尺度中最好，而且不次于复杂尺度。

尽管如此，在AHP的具体应用中并不排除使用其它标度。

在某些实际问题中应用相对标度方法可能存在一定困难，主要表现为：

1）当被比较对象很多时（如学校新生录取）难以进行两两比较，2）当不断有新元素加入时，还会导致所谓“逆序”现象。

这里的“逆序”指的是由于新方案的引入引起原有方案总排序权重的改变而引起的序的逆转现象。

引起逆序的原因是多方面的，由于新方案的引入有可能增加新的准则或引起原判断的改变所引起的逆序是可以理解的，但有具体例子表明在保持原准则权重，保持原判断与新老判断一致性的前提下，当引入新元素时仍可能引起逆序。

逆序现象是否合理需根据问题具体分析，而归一化的处理方法与逆序有密切关系。

在这种情形下，采用一种不受元素增加影响的方法，即AHP的评分标度法或称绝对标度法是适当的。

评分标度法,所谓评分标度法，就是在某一准则下每个元素的重要程度直接与某种确定的标准比较，然后直接赋予绝对的“分”，由于此时元素的重要性是各自独立确定的，排序向量不必进行归一化，因而不会因新元素的导人而产生逆序。

两种标度方法可以在同一个AHP模型中应用，但要注意同一准则下应采用同一种标度法，或通过适当手段转化为同一种测度，否则排序权值将难以合成。

在大多数情况下评分标度应用于最下一层元素。

案例-应急电力系统的修复计划,为沿海地区服务的电力公司必须具备应急系统来处理风暴引起的电力中断。

这样的系统需要由估计修复的时间、费用和由客观准则判定的停电“价值”构成的数据输入。

过去HECO电力公司曾因缺乏优先方案而遭受传播媒介的批评。

假设你是HECO电力公司顾问，HECO具有一个实时处理，通常包含下述信息的服务电话的计算机数据库。

报修时间；

需求者类型；

估计受害人数；

地点（x，y）工程队调度所位于（0，0）和（40，40），其中（x，y）以英里为单位。

HECO的服务区域在一65x65和一50y50之内。

因为有极好的道路网络，该地区完全都市化了。

工程队只是在上班和下班时必须回调度所。

公司的政策是若停电的设施是铁路或医院，只要有工程队可派就立即处理，其它情形都要等暴风雨离开这一地区后才开始工作。

HECO雇你为表73所列的暴风雨修复请求和表后所列的维修能力建立客观准则和安排工作计划。

注意，第一个电话是4：

20（a.m.）接到的，暴风雨是6：

00（a.m.）离开该地区的，还要注意很多停电是当日很迟才报修的。

HECO出于自身的考虑需要一份技术报告和一份用外行术语写就的“执行摘要”，可提交新闻媒介。

他们希望有对将来的建议。

为决定你的优先计划安排系统，还要作一些附加的假设，详述这些假设。

将来你可能希望有附加的数据，如果是，详述这些需要的信息。

工程队的有关情况如下：

（1）工程队调度所位于（0，0）和（40，40）；

（2）工程队由三个熟练工人组成；

（3）工程队只是在上下班时间向调度所报告；

（4）工程队上班时全部时间用来做它的调度所指派的工作。

工程队通常按常规执行任务。

在风暴离开前，他们只能因紧急情况派出；

（5）工程队工作8小时后换班；

（6）每个调度所指挥6个工程队；

（7）工程队一天最多加班一班，加班领取一倍半工资。

本题是1992年美国大学生数学建模竞赛B题，这个问题可以通过对申请修复单位合理排序及对工人合理指派着手来探讨解答，因而可以用层次分析法求解。

递阶层次结构,根据问题，将所有单位合并为六类，于是可以建立如下递阶层次结构：

根据层次分析法原理，在目标O下，对单位重要性A1和影响人数A2的重要性建立正互反矩阵，经过比较，得判断矩阵如表74

（1）所示：

判断矩阵,在准则单位重要性A：

下，对六类单位进行两两比较，建立判断矩阵如表74所示。

用特征值法求出其权重向量为：

w1（0.024480，0.181737，0.140065，0.058956，0.042535，0.552226）T,在影响人数准则下，由于影响人数可以从表73中算出，故不需构造判断矩阵，直接以各部门人数占总人数的比重来作为部门的权重。

各部门的影响人数可以统计出来：

居民点政府部门工业商业社区紧急单位161559001035758203100395其中有重复计算，总共87865人次，于是可得各部门在影响人数下所占权重为：

居民点政府部门工业商业社区紧急单位0.018380.0671480.0117790.8629150.0352810.004497,