高二上学期第一次月考数学试题 含答案.docx
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高二上学期第一次月考数学试题含答案
衡阳八中2018年上期高二年级第一次月考试卷
数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第一次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（ ）
A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0
B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0
C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0
D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0
2.已知命题
命题
若命题“
”是真命题,则实数
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.如图，若下列程序执行的结果是2，则输入的x值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
4.执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足
（A）y=2x （B）y=3x
（C）y=4x （D）y=5x
5.已知Ω={（x，y）|
}，直线y=mx+2m和曲线y=
有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[
，1]，则实数m的取值范围（ ）
A．[
，1] B．[0，
] C．[
，1] D．[0，1]
6.已知双曲线
的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于
，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣
，则m等于（ ）
A．
B．2 C．
D．3
8.两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为
和
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
A．
B．
C．
D.
9.已知实数x、y满足约束条件
，则z=2x+4y的最大值为（ ）
A．24 B．20 C．16 D．12
10.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知
=
，且a2﹣c2=2b，则b=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11.已知函数
，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
12.数列{an}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有am+n=am+an+mn，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
第II卷非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.若命题“∃x∈R，x2+2mx+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是 ．
14.双曲线
的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若
，则双曲线的离心率为 ．
15.平面内两定点M（0，一2）和N（0,2），动点P（x，y）满足
，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：
①
m，使曲线E过坐标原点；
②对
m，曲线E与x轴有三个交点；
③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；
④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2
＋4;
⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m。
其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）
16.已知过双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是 ．
三.解答题（共6题，共70分）
17.（本题满分10分）已知p：
2x2﹣3x+1≤0，q：
x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0
（1）若a=
，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.（本题满分12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．
（1）求n的值；
（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．
（3）抽奖活动的规则是：
代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．
19.（本题满分12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：
第一组
，第二组
，…，第五组
．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图
（Ⅰ）若成绩大于或等60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在
内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“
”概率。
20.（本题满分12分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；
（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：
直线AB是否过定点，并说明理由．
21.（本题满分12分） 已知Q为椭圆
的上顶点，
是C上的一点，以PQ为直径的圆经过椭圆C的右焦点F。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线
与椭圆
相较于
两点，
为椭圆C上任意一点，且线段OM的中点与线段AB的中点重合，求
的取值范围。
22.（本题满分12分）已知椭圆
过点
，其焦距为
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：
若椭圆的方程为
，则椭圆在其上一点
处的切线方程为
，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图
（1），点
为
在第一象限中的任意一点，过
作
的切线
，
分别与
轴和
轴的正半轴交于
两点，求
面积的最小值；
（ii）如图
（2），过椭圆
上任意一点
作
的两条切线
和
，切点分别为
.当点
在椭圆
上运动时，是否存在定圆恒与直线
相切？
若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
衡阳八中2018年下期高二年级理科实验班第一次月考数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
C
C
D
A
B
B
B
C
A
13.（0，1）
14.
15.①④⑤
16.（1，
）
17.p：
，q：
a≤x≤a+1；
∴
（1）若a=
，则q：
；
∵p∧q为真，∴p，q都为真；
∴
，∴
；
∴实数x的取值范围为
；
（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；
∴
，∴
；
∴实数a的取值范围为
．
18.
（1）由题意可得
，∴n=160；
（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，
∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为
=
；
（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，
由条件
得到的区域为图中的阴影部分
由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=
，令y=1可得x=1
∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为
=
∴该代表中奖的概率为
=
．
19.（I）由直方图知，成绩在
内的人数为：
50×10×（0.18+0.040）=29.
所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人。
………………3分
（II）由直方图知，成绩在
内的人数为：
50×10×0.004=2，
设成绩为x、y ……………………5分
成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，………………6分
若
一种情况， ………………7分
若
三种情况， ………………8分
若
内时，有
共有6种情况，所以基本事件总数为10种， ………………9分
事件“
”所包含的基本事件个数有6种 ………………10分
………………12分
20.
（1）由已知可得b=2，
，
∴所求椭圆方程为
． …2分
（2）设点P（x1，y1），PM的中点坐标为Q（x，y），则
由
，
得x1=2x，y1=2y﹣2代入上式得
…6分
（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．
设A（x3，y3），B（x2，y2），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．
则
，
．
∵k1+k2=8，∴
+
=8，
∴2k+（m﹣2）×
=8． …8分
∴k﹣
=4，整理得m=
．
故直线AB的方程为y=kx+
，即y=k（x+
）﹣2．
所以直线AB过定点（
，﹣2）． …10分
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，
设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），
由已知
+
=8，得x0=﹣
．
此时AB方程为x=﹣
，显然过点（
，﹣2）．
综上，直线AB过定点（
，﹣2）． …12分
21.
（1）因为
，
，
，
，
，
由题设可知
，则
①……………………2分
又点
在椭圆
上，∴
，解得
，所以
②
①②联立解得，
，
，
故所求椭圆的方程为
．……………………5分
（2）设
三点的坐标分别为
，
，
，
由
两点在椭圆
上，则
，则
由
（1）－
（2），得
（3）．
由线段
的中点与线段
的中点重合，则
．
又
，即
（6）……………………8分
把（4）（5）（6）代入（3）整理，得
，
于是由
，得
，
，
所以
．……………………10分
因为
，所以
，有
，
所以
，即
的取值范围为
．……………………12分
22.（I）解：
依题意得：
椭圆的焦点为
，由椭圆定义知：
，所以椭圆
的方程为
.
（II）（ⅰ）设
，则椭圆
在点B处的切线方程为
令
，
，令
，所以
又点B在椭圆的第一象限上，所以
，
，当且仅当
所以当
时，三角形OCD的面积的最小值为
（Ⅲ）设
，则椭圆
在点
处的切线为：
又
过点
，所以
，同理点
也满足
，
所以
都在直线
上，即：
直线MN的方程为
所以原点O到直线MN的距离
，
所以直线MN始终与圆
相切.
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