基4-FFT算法编程Word格式.docx
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基4-FFT是混合基FFT的一个特例。
通过编写基4-FFT算法程序，加深对FFT思路、算法结构的理解。
二、实验内容和步骤
编写16点基4-FFT算法的MATLAB程序（studentname.m文件）。
产生16点输入序列x，出生年月日（8位）+自己学号后八位产生。
算出16点频谱序列X，用stem（X）显示频谱图形。
三、主要仪器设备
用MATLAB。
四、操作方法和实验步骤
（参见“二、实验内容和步骤”）
五、实验数据记录和处理
5.1基4-FFT算法思路、流图结构简述如下
5.1.1.算法思路：
在时域上按n的特点对序列x（n）进行不断的以4为基数的分组以及位序调整，进而通过逐级的蝶形复合处理，间接地完成高点数DFT的计算，由此达到降低运算量以及节省存储空间的目的。
令序列x（n）的N点DFT结果为X（k），且有N=4m，按（n）4的结果对序列x（n）分组如下：
x0n=x4nX0k=DFT4m-1{x0（n）}
x1n=x（4n+1） X1k=DFT4m-1{x1（n）}
x2n=x（4n+2） X2k=DFT4m-1{x2（n）}
x3n=x（4n+3） X3k=DFT4m-1{x3（n）}
0≤n≤N4-1 0≤k≤N-1=4m-1
则有：
Xk=X0k+WNkX1k+WN2kX2k+WN3kX3k
Xk+4m-1=X0k-jWNkX1k-WN2kX2k+jWN3kX3k
Xk+2×
4m-1=X0k-WNkX1k+WN2kX2k-WN3kX3k
Xk+3×
4m-1=X0k+jWNkX1k-WN2kX2k-jWN3kX3k
5.1.2蝶形图如下：
对于N/4个点继续进行分组和蝶形复合处理，由原序列x（n）出发，完成位序调整后，经过m级蝶形复合便可求得序列X（k）。
总体过程如下图：
5.216点基4-FFT算法的流图绘出如下（后面省略了系数-1，-j，j，具体系数对应项见上一蝶形图）
-j
-1
j
5.316点基4-FFT算法的MATLAB程序（studentname.m）列出如下
x=[1,9,9,5,0,3,2,5,3,0,1,0,4,7,2,3];
X=fft4_16（x）;
X1=fft（x）;
n=1:
1:
16;
figure
（1）
stem（n,x,'
filled'
）;
title（'
InputSequence'
axis（[017010]）;
figure
（2）
stem（n,X,'
OutputSequence'
axis（[017-2060]）;
figure（3）
stem（n,X1,'
OutputFFTSequence'
function[X]=fft4_16（x）
X=zeros（1,16）;
%初始化输出的频谱序列
N=16;
W=exp（-1j*2*pi/N）;
W4=dftmtx（4）;
%求出蝶形运算的系数矩阵
x0=[x
（1）;
x（5）;
x（9）;
x（13）];
%先对原序列进行位序调整
x1=[x
（2）;
x（6）;
x（10）;
x（14）];
x2=[x（3）;
x（7）;
x（11）;
x（15）];
x3=[x（4）;
x（8）;
x（12）;
x（16）];
X0=W4*x0;
%第一级蝶形运算
X1=W4*x1;
X2=W4*x2;
X3=W4*x3;
fork=0:
3%第二级蝶形运算
t=W4*[X0（k+1）;
（W^k）*X1（k+1）;
（W^（2*k））*X2（k+1）;
（W^（3*k））*X3（k+1）];
X（k+1）=t
（1）;
X（k+4+1）=t
（2）;
X（k+2*4+1）=t（3）;
X（k+3*4+1）=t（4）;
end
5.4用自己的学号构成的输入序列为（列出数值，插入图形）
x1=[1,9,9,5,0,3,2,5,3,0,1,0,4,7,2,3];
5.5对应的输出频谱序列为（列出数值，插入图形）
X={54.0000+0.0000i13.5682-6.7903i1.4142-3.1716i-13.2930-19.4368i
-6.0000-6.0000i-2.0207-0.1231i-1.4142+8.8284i-6.2545-3.4765i
-10.0000-0.0000i-6.2545+3.4765i-1.4142-8.8284i-2.0207+0.1231i
-6.0000+6.0000i-13.2930+19.4368i1.4142+3.1716i13.5682+6.7903i}
六、实验结果与分析
1.基4-FFT计算结果与matlab自带fft函数计算结果对比
以下是matlab自带fft函数的计算结果
由上述序列和图像比较可以看到，matlab自带的函数fft所得结果与我的基于4-FFT算法和代码所得结果是一直的，说明我的基于4-FFT算法和代码是正确的，此外可以看出，基于4与基于2（matlab）的FFT算法的运算结果是一致，即其本质是一致的。
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