矩阵的初等行变换与矩阵的秩.docx
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矩阵的初等行变换与矩阵的秩
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
一、矩阵的初等行变换
矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换:
1.互换矩阵两行的位置(对换变换);
2.用非0常数遍乘矩阵的某一行(倍乘变换);
3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行(倍加变换)上。
二、阶梯形矩阵
满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵
1.各个非0行(元素不全为0的元素)的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大;
2.如果矩阵有0行,0行在矩阵的最下方。
例如
重要定理一
任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。
例题
注意:
一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一
例如:
三、矩阵的秩
矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩,记作秩(A)或r(A)
例如下列矩阵的秩分别为2、3、4
、
、
例题
求矩阵
秩及秩(
)
解
所以,秩(A)=3
所以,
可以证明:
对于任意矩阵A,
;矩阵的秩是唯一的。
问题:
矩阵:
的秩等于4?
对否,为什么?
满秩矩阵(非奇异矩阵、非退化矩阵)
设A是n阶矩阵,若秩(A)=n,则称A为满秩矩阵(非奇异矩阵、非退化矩阵)
重要定理二
定理9.2
任何满秩矩阵都能经过初等行变换化成单位矩阵。
例
3阶矩阵A的秩:
秩(A)=3,所以A是满秩矩阵。
练习P329,练习9.5
4.设
解:
对A进行初等行变换,化为阶梯形矩阵