西工大数学建模论文Word文档格式.doc
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正如前面所说，房价变化涉及的系统包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势。
因此这部分我们采用了灰色预测模型，避免了考虑单个量对经济走势的影响情况，关注在这些因素共同作用下的经济走势，并对房价的未来变化进行了预测。
三、后期房价应对模型
要求我们根据前面的分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响。
提出控制房价使之合理的措施，涉及到影响房价的具体因素。
所以，我们必须建立适当的模型对各因素与房价的相关性进行检验；
三、数学模型的建立及求解
3-1城市房价合理性模型与符号说明
模型假设：
1、本模型主要考虑到应届毕业生等初次购房者的购买情况，不考虑投资购房群体，理由是投资者生活有所保证，投机行为可以由市场进行调节，合理性应该反映房屋真正需求者购房难度。
2、本模型假定城市居民收入与收入对应的人口数成正态分布。
符号说明：
:
单位面积商品房售价
当地人均住房居住面积
预期使用当年全年收入归还房贷所需年数
购买商品房支付的总价
房产税率、贷款利息等附加费用
当地人均年收入
模型建立
若以当地人均年收入作为人口收入正态分布模型的x=0，人均年收入的倍定为x=n，则x~N（0,1），函数图象如图3-1（a）所示。
图3-1（a）
令Te年内可用全年工资购买人均住房面积住房的下限倍率为Br。
根据假设一，本模型考虑对象为应届毕业生等初次购房者，国家对于这些群体的税费及银行贷款的政策都有相应的优惠，故这些因素暂予以忽略，对Br进行了简化：
一．以上海市区居民购房为例（数据见表3-1-1）
年份
住房面积（）
商品房销售均价（元每平方米）
人均年收入（元）
2002
13.1
5539
13250
2003
13.8
6032
14867
2004
14.8
6640
17175
2005
15.5
6952
18645
2006
16
8102
20668
2007
16.5
10293
23623
2008
16.9
13659
26675
2009
17.2
15467
28838
2010
17.8
19168
31838
表3-1-1
令能够使用Te年全年收入购买人均住房面积住房的人口比例为P，假设5年为合理还贷期，通过查阅标准正态分布表，得到的年份、Br值及P值如表3-1（a）所示。
从表中可以看出，从2002年以来，在不计算贷款利率及房产税率的情况下，能够用5个整年工资来购买人均住房面积住房的上海市区居民的比例一直低于50%，并且每年都呈下降趋势，特别是在2006年炒房潮爆发以后，比例加速下降，直到2010年竟然下降到13.6%。
作者查询了相关的资料，发现加拿大等欧美国家的房屋均价折合成人民币和上海现在的房价相差无几，但收入水平却远高于上海市民的收入水平，于是造成了加拿大居民和上海居民的生活水平的巨大差距。
同时，资料显示，加拿大中产阶级房屋贷款限额是年收入的3倍，这个比例对于上海中产阶级来说，可能都难以支付房屋购买的首付。
随着上海的发展及其成为了亚洲第一大港，房屋价值的增长也是正常的现象，但房屋价格的高速增长不符合上海本地居民的人均收入水平，因此我们认为2006年以来上海高速增长的房价是不合理的。
Br
P
0.131
0.448
0.163
0.435
0.195
0.423
0.208
0.417
0.327
0.372
0.523
0.298
0.791
0.214
0.884
0.189
1.1
0.136
表3-1-1（a）
二．以西安市区居民购房为例（数据如表3-1-2所示）
住房面积
单位面积住宅销售价格
西安市人均年收入
17.0
4397
15207
17.6
4913
18963
18.2
5398
21807
表3-1-2
西安市区居民购房情况表采用了2008至2009年度的数据。
同样以五年作为合理还贷期，计算得到表3-1-2（a）。
-0.02
0.508
-0.133
0.553
-0.15
0.56
表
3-1-2（a）
从表中我们可以看到，西安的房价从2008年到2010年有上涨，但是城市居民收入水平也有了比较大的提高，使得能够使用5年全年工资还清购房债务的人口比例保持稳定并有所上升。
这说明西安的房价比较稳定合理。
三．使用世界银行房价收入比进行判断
：
每户住房总价
人均住房面积
每户家庭平均人口数
单位面积住宅平均销售价格
每户家庭年总收入
家庭人均全部年收入
收入房价比
以上海为例，可计算出其2002-2010年的房价收入比，见表3-1-1-3（a）。
房价收入比
5.47
5.6
5.72
5.52
6.27
7.19
8.65
9.23
10.72
表3-1-1-3（a）
从表中我们也可以发现房价收入比从2006年开始超出了正常标准3到6，出现了畸形的房市过热现象。
和项目所建合理性模型显示的2006年后城市居民住房购买力下降的现象吻合。
而西安市2002年至2010年的房价收入比，如表3-1-1-3（b）所示，相对较为稳定，在3到6倍的正常范围内。
4.91
4.56
4.51
表3-1-1-3（b）
三．结果分析
对房价合理性的分析应该从当地居民能够用合理的资金购买到合理面积、合理地段住房的角度入手，而不像房价预测一样需要考虑市场等因素，因此我们选取了人均收入和人均住房居住面积来刻画某地房价的合理性。
这点我们的模型和世界银行的房价收入比模型有着相似之处。
经过我们对各类型城市通过建立的模型进行分析，如果某地区能够用5年当年全年工资购买当地人均住房居住面积住房的居民的比例小于1/3，则说明该城市的房市已经出现过热（房价收入比已经大于6），房价不合理。
3-2未来房价变化的灰色预测模型
模型假设
1.本模型不考虑未来突发事件，如经济低迷或举办大型活动，如奥运会、世博会等因素对房价产生的影响。
2.城市年平均房价的预测为基于历史情况的变化。
3.不考虑政府政策调控引起房价的大起伏变化。
符号说明
----为原始房价数据；
----为累加生成房价数据；
----为九个代表性城市的房价（=1,2,…,9）；
----为时间变量；
----为与时间有关的常量；
模型建立
我们搜集到2001~2010年10年间，各代表性城市的房价变化数据如表3-1-2所示：
2001
北京
4210
4598
4962
5161
5276
5849
6232
13222
15051
22310
上海
5531
6003
6954
7938
8411
8547
8627
14099
15404
深圳
4321
4526
4875
5170
5619
5549
6037
11143
14758
16978
西安
2000
3009
3120
3491
3000
3255
3599
4357
东莞
3025
3288
3336
3710
4188
5148
5683
6608
7023
青岛
896
2144
4200
5167
5000
5142
4639
6527
8301
8962
潍坊
1201
1690
1630
1866
2600
2654
2981
3099
3486
3689
西宁
1369
1463
1643
1722
1877
2020
2421
2673
3211
3440
开封
612
1500
1645
1836
1834
1963
2638
2760
3737
表3-2-1
各城市平均房价变化曲线如下：
图3-2-1
由图3-2-1可明显看出，各城市的房价单调递增，并具有较强指数规律，所以，我们考虑运用GM（1,1）模型预测未来几年平均房价的变化趋势。
模型计算
作1-AGO生成
依据上式得
={4210,8808,13770,18931,24207,30056,36288,49510,64561,86871}
={5531,11534,18488,26426,34837,43384,52011,66110,81514,100682}
={4321,8847,13722,18892,24511,30060,36097,47240,61998,78976}
={2000,5009,8129,11620,14620,17875,21474,25831,30744,36142}
={2000,5025,8313,11649,15359,19547,24695,30378,36986,44009}
={896,3040,7240,12407,17407,22549,27188,33715,42016,50978}
={1201,2891,4521,6387,8987，11641,14622,17721,21207,24896}
=,1369,2832,4475,6197,8074,10094,12515,15188,18399,21839}
={612,2112,3757,5593,7427,9390,12028,14788,17788,21525}
设满足一阶微分方程
，
其中a为常数，称为发展灰数；
u为常数，称为内生控制灰数。
此方程满足初始条件
当时，，（易知2001年为小样本的第一年，=1）的解为
。
对等间隔取样的离散值为
将分别入（*）式，利用GM（1,1）灰色模型，得出矩阵表达式：
下面，利用已经建立的模型对代表性城市房价进行预测，我们以北京市房价为例，
令y=,B=,U=,
则矩阵形式为y=BU,此方程的最小二乘估计
对各参量分别计算得
，
参数列的最小二乘估计为
即常数,代入（*）式，进一步求得白化微分方程：
时间响应：
则，依次确定k=1,2,…,n的值得还原数列
上面，我们求得时间响应的表达式，进而得出了t=k,（k=1,2,…,n）时的还原数据及误差，同时，平均相对误差可求。
此时，我们可以进行精度检验，依次求出，、、C、P：
，，，
结果分析
为了便于快捷求解，我们编写了Matlab程序（附1），依次输入原始数据，求得各市还原数据、实际值和误差，我们以北京为例，如表：
房价原始数据
还原数据
误差（%）
后验差比值C
小误差概率P
1993
0.566
0.1093
0.9000
2595
0.477
3379
0.345
4400
0.166
5729
0.021
7459
-0.197
9713
-0.265
12646
0.160
16466
0.262
利用M程序求得各市的后验差比值C和小误差概率P后，与检验指标等级标准表（下表3-2-3）对比得到表3-2-4：
表3-2-3
预测精度
评价
2级
较好
0.0677
1.0000
1级
好
0.0840
0.1017
0.0145
0.0911
0.0389
0.0149
0.0271
表3-2-4
通过模型的验证结果可以看出，对于大部分城市，模型预测精确度很高，所以可以证明本模型建立较为成功，可以反映出西安房价的未来变化规律。
下面我们通过Matlab将预测5年内房价结果作图3-1-2如下：
图3-2-2
通过上面的图表分析可知：
未来5年内，我们选择的代表性城市的平均房价均会持续上涨。
北京、上海、深圳等竞争里强、经济活跃的大城市的涨幅会高于相对落后一些二线、发展中、偏远城市。
未来一段时间，各城市房价会持续一个比较低幅度的上涨，但是不会下跌。
总体分析，未来5年的时间内，楼价不会下跌，只会持续一个比较低幅度的上涨，但是不会下跌。
3-3后期房价应对模型
假设条件
1、只考虑房价的主要影响因素。
2、假设由突发性因素使房价收到的影响很小。
3、贷款利率反应政策对房价的调控。
S：
方差
m:
用于计算的标志性常量
1、由于房价与建安成本、当地的地价、生产总值、人均可支配收入呈线性关系，而它们的线性的组合仍为线性，故我们选用多元线性方程来建立此模型，用最小二乘法对房价和影响房价的各个因素进行线性拟合：
设，，，为x的已知函数。
因变量y与自变量，，有线性关系：
设是自变量与因变量的m次观测值（m>
>
n），令
上式的第一式表示第i观测值与计算值误差，第二式表示所有观测误差的平方和。
最小二乘法的思想是寻找一组参数，使得最小。
记
，
最小二乘法的原理就是找一组数，使为最小。
由高等数学中介绍的多元函数求极值方法知道，S的极值点满足如下必要条件，
分别记，则
考虑式（5.3）的第j各方程得到
即
因此。
在实际的问题中，上式往往只有唯一解，因此也就是问题的所要找的一组值。
为了选择多项式的最优拟合元数并更方便地求出拟合系数和相关性系数，我们编写了Matlab程序见（附2）。
用建立的模型对代表性房价与其影响因素进行拟合
下面是西安市自2001-2010年的房价及其影响因素的统计数据：
西安市房价与各因素数据
房价
GDP
AVGDP
建安成本
地价
可支配收入
734.86
10628
1021
986
6236
826.68
11831
1325
1715
7021
946.66
13341
1378
1769
7872
1102.39
15294
1452
1842
8544
1270.14
15859
1493
1796
9628
1473.35
18085
1567
1863
10905
1763.73
21339
1669
2057
12662
2318.4
27794
1816
2614
2724.08
32411
2081
3095
3241.49
32446
2243
3508
21354
表3-3-1
利用Matlab编写程序对影响房价的各个主要因素进行拟合，我们将各自的拟合曲线的拟合系数和相关性系数。
房价与地价的相关性拟合。
图3-3-1
拟合的函数关系式为：
y=a+bx+c
其中a=-0.0001,b=1.7482,c=326.9253
方差和
相关性系数Cov（x，y）=0.9932
通过拟合出的关系图，我们可以看到房价与地价之间有明显的线性关系，说明地价的升高影响着房价的升高，故可确定为主要因素。
房价与居民人均可支配收入的拟合
图3-3-2
y=ax+b
其中a=0.0002,b=1.3204
相关性系数Cov（x，y）=0.9536
通过拟合出的关系图，我们可以看到房价与人均可支配收入之间有明显的线性关系，说明居民人均年收入的升高影响着房价的升高，故可确定为主要因素。
房价与建安成本的拟合
图3-3-3
其中a=-0.0002,b=2.0364,c=-206.0071
相关性系数Cov（x，y）=0.9805
通过拟合出的关系图，我们可以看到房价与建安成本之间有明显的线性关系，说明建安成本升高影响着房价的升高，故可确定为主要因素。
房价与地区GDP的拟合
图3-3-4
拟合的函数关系式
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