整式的运算法则.docx
《整式的运算法则.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《整式的运算法则.docx（28页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
整式的运算法则
整式的运算法则
整式的加减法:
（1）去括号；
（2）合并同类项。
整式的乘法:
am?
anamn（m,n都是正整数）
（am）namn（m,n都是正整数）
整式的除法:
【注意】
（1）
（ab）a
（a
（a
（a
b）（a
b）2
b）2
bn（n都是正整数）
b）
a2
b2
a2
2ab
2ab
b2
b2
n（m,n都是正整数
单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
a
0）
单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数
相同。
同时还要
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号,
注意单项式的符号。
（4）
多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
a01（a0）;a卩丄但0,p为正整数）
aP
（7）
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式,
再把所得
的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
A.2x2•3x3=6x3
B.2x2+3x3=5x5
C.（-3x2）•（-3x2）=9x5
521
D.5xn•2xm=1xm+n
452
2.
一个多项式加上3y2-2y-5得到多项式5y3-4y-6，则原来的多项式为（）.
A.5y3+3y2+2y-1
B.5y3—3y2-2y-6
C.5y3+3y2-2y-1
D.5y3-3y2-2y-1
3.
下列运算正确的是（
）.
4.
A.a2•a3=a5B.
（a2）
3=a5
C.a6十a2=a3
D.a6-a2=a4
下列运算中正确的是
）.
111
A.—a+—a=-a
235
B.3a2+2a3=5a5C.3x2y+4yx2=7D.-mn+mn=0
二、填空（每题2分,
共28分）
6.
-xy2的系数是
次数是
=xn+1；（m+n）（
9.
10.a2+b2+
=（a+b）2a2+b2+
=（a-b）2
（a-b）2+.
=（a+b）
11.若x2-3x+a是完全平方式，
a=
12.多项式5x2-7x-3是
项式.
13.
（2x2y—3xy2）-（6x2y—3xy2）
3
14.（—rx4y3
-5s8a2y
17.
（x—2）（x+2）—（x+1）（x—3）
18.（1—3y）（1+3y）（1+9y2）
19.
（ab+1）2—（ab—1）2
四、运用乘法公式简便计算（每题2分，共4分）
20.
（998）2
21.197X203
22.
（x+4）（x—2）（x—4）,其中x=—1.
1
23.[（xy+2）（xy—2）—2x2y2+4]，其中x=10,y=.
25
六、解答题（每题4分，共12分）24.已知2x+5y=3，求4*•32y的值.
25.已知a2+2a+b2—4b+5=0，求a,b的值.
幂的运算
、同底数幂的乘法（重点）
1.运算法则：
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。
用式子表示为：
aman
a（m、n是正整数）
2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即
amanapammp（m>n、p为正整数）
注意点：
（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.
（2）在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.
典型例题】
2．
A．22015
B．22007
C．－2
D.－22008
3.
4.
A.正数
一题多解题）
一题多变题）
1）
2）
B.负数
C.非正数D.非负数
（a-b）2m-1（b-a）2m•（a-b）2m+1
已知xm=3，xn=5，
求xm+n
其中m为正整数．
一变：
已知xm=3，
n2m+n
x=5，求x；
二变：
已知xm=3，
xn=15,求xn.
当a<0,n为正整数时，（一a）5•（-a）2n的值为（）
二、同底数幕的除法（重点）
1、同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
mnmn
公式表示为：
aaa
a0,mn是正整数，且
a01a0.
2、零指数幂的意义
任何不等于0的数的0次幂都等于1.用公式表示为：
3、负整数指数幂的意义
任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幕，等于这个数的n次幕的倒数，用公式表
示为an丄a0,n是正整数
a
4、绝对值小于1的数的科学计数法
对于一个小于1且大于0的正数，也可以表示成a10n的形式，其中
1a10,n是负整数.
注意点:
底数a不能为0,若a为0,则除数为0,除法就没有意义了;
a0,mn是正整数，且mn是法则的一部分，不要漏掉.
只要底数不为0,则任何数的零次方都等于1.
【典型例题】
、选择1.在下列运算中，正确的是（
B.
A.a2-a=a
（—a）6-a=（—a）=—a3
C.a2+a=a22=0
D.（-a）3-2=—a
A.a2m-m-3=am3
B.am+n-b=am
C.（—a2）3-（—a3）2=—1
D.am+2-3=am—1
二、填空题
（y）n]3十[y3）n]2=
4.（—3.14）0
三、解答
2．
巧题妙解题）计算：
2—1+2—2+2—3+...+22008
3、
已知am=6,an=2,求
a2m-3n的值.
4．
（科外交叉题）某种植物的花粉的直径约为3.5X10米，用小数把它表示出来.
三、幂的乘方（重点）
幂的乘方，底数不变，
指数相乘.
公式表示为：
am
amn（m、n都是正整数）.
注意点：
1）幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数
（2）指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开.
典型例题】
1.计算（-a2）5+（-a5）2的结果是（）
A．0
B．2a10
C．-2a10
D．2a7
2．下列各式成立的是（）
3.如果（9n）2=312，则n的值是（）
A.4
B.3
C.2
D.1
4.已知x2+3x+5的值为
7,那么
3x2+9x-2的值是
A.0
B.
C.4
D.6
6.计算:
（1）a2a4
/\2
（a）
24
（2）2（a）
422
a（a）
补充:
同底数幕的乘法与幕的乘方性质比较:
幕的运算
指数运算种类
同底数幕乘法
乘法
加法
幂的乘方
乘方
乘法
四、积的乘方
运算法则：
两底数积的乘方等于各自的乘方之积。
用式子表示为:
bn（n是正整数）
扩展
m.np
ab
np
mpI・r.__,亠，
ab（mn、p是正整
注意点:
（1）运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算
出结果；
（2）运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其
中任何一个因式.
【典型例题】
1.化简（a2m•n+1）2•-2a2）3所得的结果为
）5=（8X8X8X8Xa）（aa-a-a）
q=
3.如果aMb且（aP）3-p+q=a9b5成立，则p=
A苦m1n22n12m
4.右abab
a3b5，贝Um+n的值为（
5.
A.
B.
C.
3D.-3
A.
2x3y22
2003?
323
2xy
2
的结果等于（
3x10y10
3x10y10
C9x10y10
D.9x10y10
7.如果单项式
3x4a
b2.13a
y与-xy
b是同类项，那么这两个单项式的积进（
A-x6y4
x3y2
C|x3y2D
x6y4
&（科内交叉题）
已知
（X—y）
•（x—y）3•（x—y）m=（x—y）12,求（4m2+2m+1）—2（2m2
课后作业
•选择题（共13小题）
却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组
1纳米=0.000000001米，贝U0.5纳米用科学记数法表
1•碳纳米管的硬度与金刚石相当，已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管,示为（）
A.0.5X米
B.5X108米
C.5X109米D.5X1010米
-2.040X1表示的原数为（
A.-204000B.-0.000204
C-204.000D.-20400
（2007?
十堰）下列运算正确的是（
A.a6?
a3=a18B.（a3）2a2=a5
C.a6-3=a2
D.a3+a3=2a3
（2007?
眉山）下列计算错误的是（
A.（-2x）3=-2x3
B.-a2?
a=-a3
C.（-x）9-（-x）3=x6
D.（-2a3）2=4a6
5.下列计算中，正确的是（
A.x3?
x4=x12
B.a6亠
-a=a3
C.（a2）3=a5D.（-ab）3=-a3b3
6.（2004?
三明）下列运算正确的是（
A.x2?
x3=x6
B.
（-X2）3=x6
C.（x-1）0=1
54
D.6x5十2x=3x
7.若（2x+1）0=1
B.
D.
&在①（-1）
0=1；
（-1）3=-1;③3a-;④（-x）5-（-x）3=-x2中，正
3a
确的式子有（
A.①②
B.②③
C.①②③
D.①②③④
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.c>b>a
10.通讯卫星的高度是
3.6X1（米，电磁波在空中的传播速度是3X10米/秒，从地面发射的
电磁波被通讯卫星接受并同时反射给地面需要（
A.3.6X
10秒
B.1.2X101秒
C.2.4X
D.2.4X101秒
11.下列计算,
结果正确的个数（
（1）（寺-1
-3;
（2）2*3=-8;（3）（-
-2季；（4）（n-3.14）0=1
y
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12.下列算式,
计算正确的有
①10「3=0.0001;②（0.0001）0=1;③3a「2
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
13.计算:
20C8X
（屯）20C5
的结果是（
B.
D.
4017
二.填空题14.（2005?
常州）（也）
15•已知（a-3）a+2=1,则整数a=
16•如果（x-1）x+4=1成立，那么满足它的所有整数x的值是
17•下雨时，常常是先见闪电，后听雷鸣”，这是由于光速比声速快的缘故•已知光在空气中的传播速度约为3X10米/秒，而声音在空气中的传播速度约为3.4X10米/秒，则光速是
声速的倍.（结果保留两个有效数字）
18.（2011?
连云港）在日本核电站事故期间，碘-131，其浓度为0.0000963贝克/立方米.
我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素数据“0.0000963用科学记数法可表示为
19.若3x+2=36，则专=
20.已知a3n=4,则a6n
21.多项式-5（ab）
2+ab+1是
.项式.
三.解答填空题22.计算:
（1）（1-2）
（2）（4ab2）2X（-寺2b）3
23.已知：
2x=4y+1,27y=3x-1，则x-y=
24.（2010?
西宁）计算:
申"1-（3.14-TT〕5.2畀汇屮
25.计算:
（1）（-2.5x3）2（-4x3）=
（2）（-104）（5X10）（3X10）=
26.计算下列各题：
（用简便方法计算）
（1）-102nx100X-10）2n-1
；
（2）[（-a）（-b）2?
a2b3c]2=.
（3）（x3）2*2十x+X（-x）2?
（-x2
；4）（-9）3X（-2）（±）3
33
27.
29.已知：
an=2,am=3,ak=4,贝Ua
2n+mr2k
的值为
把下式化成）a-b）P的形式：
15）a-b）3[-6）a-b）p+5]）b-a）2十45（b-a）5
30.比较2100与375的大小2100
因式分解
教学目标:
1.知识与技能：
掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问
2.过程与方法：
经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法
3.情感态度与价值观：
通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想
教学重、难点：
用提公因式法和公式法分解因式
知识详解
知识点1因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【说明】
（1）因式分解与整式乘法是相反方向的变形
例如:
2V因式分®f八
X一1、整式釉女+1）（K-1）
（2）因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验
怎样把一个多项式分解因式?
知识点2提公因式法
多项式ma+mb+mC中的各项都有一个公共的因式m我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=ma+b+c）就是把na+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m另一个因式（a+b+c）是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫
做提公因式法.例如：
x-x=x（x-1）,8ab-4ab+2a=2a（4ab-2b+1）.
探究父流
下列变形是否是因式分解？
为什么?
22
（1）3xy-xy+y=y（3x-x）;
22
（2）x-2x+3=（x-1）+2;
22
⑶Xy+2xy-1=（xy+1）（xy-1）
/八nZ2.、n+2n+1n
;（4）x（X-x+1）=x-x+x.
典例剖析
例1用提公因式法将下列各式因式分解
34
（1）-xz+xy；
（2）3x（a-b）+2y（b-a）;
分析：
（1）题直接提取公因式分解即可，
（2）题首先要适当的变形，再把b-a化成-（a-b）,
然后再提取公因式.
小结运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题:
（1）因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解
（2）如果出现像
（2）小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少。
这时注意到（a-b）n=（b-a）n（n为偶数）.
（3）因式分解最后如果有同底数幕，要写成幕的形式
学生做一做把下列各式分解因式.
32
（1）（2a+b）（2a-3b）+（2a+5b）（2a+b）;
（2）4p（1-q）+2（q-1）
知识点3公式法
（1）平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）.即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的
差的积.例如：
4x-9=（2x）-3=（2x+3）（2x-3）.
⑵完全平方公式：
a2±2ab+b2=（a±b）2.其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.即两个数的
平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.例如:
22222
4x-12xy+9y=（2x）-2-2x•3y+（3y）=（2x-3y）.
探究父流
下列变形是否正确？
为什么?
（1）x2-3y2=（x+3y）（x-3y）;
（2）4x2-6xy+9y2=（2x-3y）2;（3）x2-2x-1=（x-1）
例2把下列各式分解因式.
2222
（1）（a+b）-4a;
（2）1-10x+25x;（3）（m+n）-6（m+n）+9.
分析：
本题旨在考查用完全平方公式分解因式
学生做一做把下列各式分解因式.
综合运用
例3分解因式.
（1）x3-2x2+x;
⑵x2（x-y）+y2（y-x）;
分析：
本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式
小结解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式;
如果没有公因
式是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式.是三项式考虑用完全平方式,
最后，直到每
一个因式都不能再分解为止
探索与创新题
例4若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=
分析：
完全平方式是形如：
a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的
2倍的和（或
差）•
学生做一做若x2+（k+3）x+9是完全平方式，则k=
课堂小结
用提公因式法和公式法分解因式，会运用因式分解解决计算问题
各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，某项提出莫漏“1”,括号里面分到“底”。
自我评价知识巩固
1.若x2+2（m-3）x+16是完全平方式，则m的值等于（）
A.3
B.-5
C.7.
D.7或-1
2.若（2x）n-81=（4x2+9）（2x+3）（2x-3），贝Un的值是（）
A.2
B.4
C.6
D.8
3.分解因式：
4x2-9y2=
3223r■
4.已知x-y=1,xy=2，求xy-2xy+xy的值.
5.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式
思考题分解因式（x4+x2-4）（x4+x2+3）+10.
考点
课标要求
知识与技能目标
了解
理解
掌握
灵活
应用
代数
式
定义
V
会列代数式
V
V
会求代数式的值
V
V
会归纳公式、应用公式
整式
整式、单项式、多项式、同类项概念
V
概念
单项式的系数、次数，多项式的项数、次数
V
整式
合并同类项
V
V
加减
去括号与添括号法则
V
V
整式的乘法
幕的运算性质
V
V
单项式乘以单项式；多项式乘以单项式；多项式乘以多项式的法则
V
V
乘法公式
V
V
【知识考点】
1.代数式：
用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把的式子叫做代数式.
，连接而成表示
2.代数式的值：
用代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所
得的叫做代数式的值.
3.整式
（1）单项式：
由数与字母的也是单项式）.单项式中的叫做这个单项式的次数.
组成的代数式叫做单项式（单独一个数或叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的
（2）多项式：
几个单项式的叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫
做多项式的，其中次数最高的项的叫做这个多项式的次数.不含字母的
项叫做
（3）整式:
统称整式.
4.同类项：
在一个多项式中，所含
做同类项.合并同类项的法则是
.相同并且相同字母的也分别相等的项叫
_相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和
字母的指数
5.幕的运算性质：
am•an=
am-an=
（ab）n=
6.乘法公式:
（1）（ab）（cd）
（2）（a+b）（a-b）=
7.整式的除法
⑴单项式除以单项式的法则：
把
分别相除后，作为商的因式；对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
，再把所
⑵多项式除以单项式的法则：
先把这个多项式的每一项分别除以得的商.
1.因式分解：
就是把一个多项式化为几个整式的
的形式.分解因式要进行到每一个
因式分
解
因式分解的意义
V
与整式乘法的区别与联系
V
因式分
解方法
提公因式法
V
V
运用公式法
V
V
【知识考点】
因式都不能再分解为止.
2.因式分解的方法：
⑴
，⑵
3.提公因式法:
mambme
4.公式法：
⑴
2.2
ab
22
⑵a2abb
⑶a2
2ab
b2
PqXpq
6.因式分解的一般步骤
一“提”（取公因式），二“套”（公式）
.三“十字”四“查”
7.易错知识辨析
注意因式分解与整式乘法的关系;
一、选择题（第小题4分，共24分）
1.下列计算中正确的是
A2.35
A.ab2a
r>44
B・aaa
C24
C・aa
23
D・a2
2.
xax2axa2的计算结果是
A.x32ax2a3
B.x3a3C.x32a2xa3D.x32ax22a2a3
下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有
①3x3
2x26x5;
②4a3b
2
2ab
2a;
③a32
A.1个
B.2个
C.3个
D.
4.若x2是
个正整数的
的整数的平方是
2
A.x1
B.x1
C.
2x
D.
2
x2x1
5.
下列分解因式错误
的是
6.
A.x3xxx2
C.a4a4
B.
m2
2
a216
D.
如图，矩形花园ABCD中，AB=a,
AD=b,
花园中建有一条矩形道路LMQP
及一条平行四边形道路RSTK若LM=RS=c，
则花园中可绿化部分的面积为
A.
bc
ab
ac
b2
B.
2a
ab
bc
ac
C.
ab
bc
ac
2c
D.
b2
bc
2a
ab
）
L
Q
F
RE
ETK
二、填空题（每小题4分，共28分）
7.
（1）当x
时，x40等于
2002
（2）31.52003
2004
1
&分解因
升级会员 