华师大八年级数学(上)复习提纲资料.docx
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八年级华师大版数学（上）复习提纲
（2011—2012学年）
第11章 数的开方
§11.1平方根与立方根
一、平方根
1、平方根的定义：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
（也叫做二次方根）即：
若x2=a，则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质：
（1）一个正数有两个平方根。
它们互为相反数；
（2）零的平方根是零；
（3）负数没有平方根。
二、算术平方根
1、算术平方根的定义：
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质：
（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；
（2）零的算术平方根是零；
（3）负数没有算术平方根；
a
（4）算术平方根的非负性：
≥0。
三、平方根和算术平方根是记号：
a
a
a
a
平方根± （读作：
正负根号a）；算术平方根 （读作根号a）即：
“± ”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；
“ ”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。
其中a叫做被开方数。
∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：
a≥0。
四、开平方：
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
其实质就是：
已知指数和二次幂求底数的
11
五、立方根
运算。
1、立方根的定义：
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
（也叫做三次方根）
即：
若x3=a，则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质：
（1）一个正数的立方根为正；
（2）一个负数的立方根为负；
（3）零的立方根是零。
3、立方根的记号：
3a（读作：
三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。
3a中的被开方数a的取值范围是：
a为全体实数。
六、开立方：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
其实质就是：
已知指数和三次幂求底数的运算。
七、注意事项：
a
a
a
1、“± ”、“ ”、“3a”的实质意义：
“± ”→问：
哪个数的平方是a；
a
“ ”→问：
哪个非负数的平方是a；
“3a”→问：
哪个数的立方是a。
a
2、注意 和3a中的a的取值范围的应用。
x-3
如：
若 有意义，则x取值范围是 。
（∵x-3≥0，∴x≥3）（填：
x≥3）
若3-x2009
有意义，则x取值范围是 。
（填：
全体实数）
327
3、3-a=-3a。
如：
∵3-27=-3，- =-3，∴3-27=-327
7
6
5
4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。
10
如：
>
> > >
2
3
2
等。
2 和3 怎么比较大小？
（你知道吗？
不知道就问！
！
！
！
！
！
！
）
7
5、算数平方根取值范围的确定方法：
关键：
找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。
7
4
7
2
3
5
6
如：
确定 的取值范围。
∵ ＜ ＜
9，∴2＜ ＜3。
6、几个常见的算数平方根的值：
7
»2.646。
八、补充的二次根式的部分内容
»1.414，
»1.732，
»2.236，
»2.449，
a
1、二次根式的定义：
形如 （a≥0）的式子，叫做二次根式。
2、二次根式的性质：
（1）
= · （a≥0，b≥0）；
ab
a
b
a
b
a
（2）
（3）（
（4）
= （a≥0，b＞0）；
b
a）2=a（a≥0）；
a2
=|a|
a
b
ab
3、二次根式的乘除法：
（1）乘法：
· =
a
b
a
（a≥0，b≥0）；
（2）除法：
=
b
（a≥0，b＞0）。
§11.2实数与数轴
一、无理数
1、无理数定义：
无限不循环小数叫做无理数。
2、常见的无理数：
10，7，6，5，2
（1）开方开不尽的数。
如：
，2
10，-
7
2
+1，6+2，35- 等。
（2）“p”类的数。
如：
p，-p，p，1，2p等。
3 p
（3）无限不循环小数。
如：
2.1010010001……，-0.234242242224……，等
二、实数
1、实数定义：
有理数与无理数统称为实数。
2、与实数有关的概念：
（1）相反数：
实数a的相反数为-a。
若实数a、b互为相反数，则a+b=0。
1
（2）倒 数：
非零实数a的倒数为 （a≠0）。
若实数a、b互为倒数，则ab=1。
a
ìa（a>0）
í
（3）绝对值：
实数a的绝对值为：
|a|=ï0（a=0）
î
ï-a（a<0）
3、实数的运算：
有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。
4、实数的分类：
（1）按照正负性分为：
正实数、零、负实数三类。
ì ì ì正整数ü
ï ï整数ï 0 ï
ï ï í ï
ï有理数í ï负整数ý有限小数和无限循环小数
实数ï
ï î ï
（2）按照定义分为：
í ï分数ì正分数ï
ï ï í负分数ï
ï î î þ
ï无理数ì正无理数ü
ï í负无理数ý无限不循环小数
î î þ
5、几个“非负数”：
a
（1）a2≥0；
（2）|a|≥0； （3） ≥0。
6、实数与数轴上的点是一一对应关系。
第12章 整式的乘除
§12.1幂的运算
一、同底数幂的乘法
1、法则：
am·an·ap·……=am+n+p+……（m、n、p……均为正整数）
文字：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、注意事项：
（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：
p2·p3·p4=p2+3+4=p9；（-2）2·（-2）3=（-2）2+3=（-2）5=-25；
2
2
2
2
（ ）3·（ ）4=（ ）3+4=（ ）7；（a+b）3·（a+b）4·（a+b）=（a+b）3+4+1=（a+b）8
（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。
（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。
二、幂的乘方
1、法则：
（am）n=amn（m、n均为正整数）。
推广：
｛[（am）n]p｝s=amnps
文字：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
2、注意事项：
（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
2
2
2
如：
（p2）3=p2×3=p6；[（ ）3]4=（ ）3×4=（ ）12；[（a-b）2]4=（a-b）2×4=（a-b）8
（2）运用时注意符号的变化。
（3）注意该法则的逆应用，即：
amn=（am）n，如：
a15=（a3）5=（a5）3
三、积的乘方
1、法则：
（ab）n=anbn（n为正整数）。
推广：
（acde）n=ancndnen
文字：
积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。
2、注意事项：
（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
2
3
2
3
如：
（2p）3=22p2=4p2；（ × ）2=（ ）2×（ ）2=2×3=6；
（-2abc）3=（-2）3a3b3c3=-8a3b3c3；[（a+b）（a-b）]2=（a+b）2（a-b）2
（2）运用时注意符号的变化。
（3）注意该法则的逆应用，即：
anbn=（ab）n；如：
23×33=（2×3）3=63，（x+y）2（x-y）2=[（x+y）（x-y）]2
四、同底数幂的除法
1、法则：
am÷an=am-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）文字：
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2、注意事项：
（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：
p4÷p3=p4-3=p；（-2）5÷（-2）3=（-2）5-3=（-2）2=4；
2
2
2
2
（ ）6÷（ ）4=（ ）6-4=（ ）2=2；（a+b）16÷（a+b）14=（a+b）16-14=（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）注意a≠0这个条件。
（3）注意该法则的逆应用，即：
am-n=am÷an；如：
ax-y=ax÷ay，（x+y）2a-3=（x+y）2a÷（x+y）3
§12.2整式的乘法
一、单项式与单项式相乘
法则：
单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。
3 3
如：
（-5a2b2）·（-4b2c）·（- ab）=[（-5）×（-4）×（- ）]·（a2·a）·（b2·b2）·c=-30a3b4c
2 2
二、单项式与多项式相乘
法则：
（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：
（-3x2）（-x2+2x-1）=（-3x2）·（-x2）+（-3x2）·2x一（-3x2）·1=3x4-6x3+3x2
三、多项式与多项式相乘
法则：
（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：
（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb
（2）把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。
如：
（m+n）（a+b）=（m+n）a+（m+n）b=ma+na+mb+nb
§12.3乘法公式
一、两数和乘以这两数的差
1、公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2；名称：
平方差公式。
2、注意事项：
（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：
（10+9）（10-9）=102-92=100-81=19；
（2xy+a）（2xy-a）=（2xy）2-a2=4x2y2-a2；
（a+b+p）（a+b-p）=（2xy）2-a2=4x2y2-a2；
（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。
二、完全平方公式
1、公式：
（a±b）2=a2±2ab+b2；名称：
完全平方公式。
2
2
2
2
2
2、注意事项：
（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：
（ +3）2=（ ）2+2× ×3+32=2+6 +9=11+6 ；
（mn-a）2=（mn）2-2mn·a+a2=m2n2-2mna+a2；
（a+b-p）2=（a+b）2-2（a+b）p+p2=a2+2ab+b2-2pa-pb+p2；
（2）注意公式运用时的对位“套用”；
（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
3、补充公式：
（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2bc+2ca
特别提醒：
利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：
“一看二套三计算”。
§12.4整式的除法
一、单项式除以单项式
法则：
单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如：
-21a2b3c÷3ab=（-21÷3）·a2-1·b3-1·c=-7ab2c
（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3=8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3=[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3=（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y25（2a+b）4÷（2a+b）2=（5÷1）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2
二、多项式除以单项式
法则：
（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。
如：
（21x4y3-35x3y2+7x2y2）÷（-7x2y）
=21x4y3÷（-7x2y）-35x3y2÷（-7x2y）+7x2y2÷（-7x2）
=-3x2y2+5xy-y
[4y（2x-y）-2x（2x-y）]÷（2x-y）
=4y（2x-y）÷（2x-y）-2x（2x-y）]÷（2x-y）
=4y-2x
◇整式的运算顺序：
先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。
12.5因式分解
一、因式分解的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。
（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算
二、提取公因式法：
把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
△公因式定义：
多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。
△具体步骤：
（1）“看”。
观察各项是否有公因式；
（2）“隔”。
把每项的公因式“隔离”出来；
（3）“提”。
按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。
△（a-b）2n=（b-a）2n（n为正整数）；（a-b）2n+1=-（b-a）2n+1（n为正整数）；
如：
8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a（4ab-2b+1）；-5a2+25a=-5a·a+5a·5=-5a（a+5）
（注意：
凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。
）
三、公式法：
利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。
1、平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）；名称：
平方差公式。
△注意事项：
（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：
102-92=（10+9）（10-9）=19×1=19；4x2y2-a2=（2xy）2-a2=（2xy+a）（2xy-a）；
（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n
（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。
2、完全平方公式：
（a±b）2=a2±2ab+b2；名称：
完全平方公式。
△注意事项：
（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：
m2n2-2mna+a2=（mn）2-2mn·a+a2=（mn-a）2；x2+4xy+y2=x2+2·x·2y+（2y）2=（x+2y）2
（2）注意公式运用时的对位“套用”；
（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
四、补充分解法：
1、公式：
x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）。
如：
x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）；
x2+5x-6=x2+[6+（-1））]x+6×（-1）=（x+6）（x-1）
2、“十字相乘法”
如：
x2+9x+14=（x+2）（x+7）
1 2
1
2
x2-2x-8=（x+2）（x-4）
1 7 1 -4
2 + 7=9 2 +（-4）=-2
五、综合
1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：
“一看二套三分解”。
2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：
（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；
（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；
（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。
3、注意事项：
（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；
（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；
（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；
（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。
全等三角形
13.1命题与证明
知识点1、命题的概念
叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命
如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是湘教版的”等。
注意：
（1）命题必须是一个完整的句子。
（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。
知识点2、命题的结构
每个命题都有条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。
一般地，命题都可以写出
“如果------，那么-------”的形式。
有的命题表面上看不具有“如果------，那么 ”的形式，但可以写成这种形式。
如：
“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。
例把下列命题改写成“如果------，那么 ”的形式，并指出条件与结论。
1、同角的余角相等 2、两点确定一条直线
知识点3、真命题与假命题
如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题
注意：
真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。
知识点4、证明及互逆命题的定义
1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。
注意：
证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。
2、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题叫作另一个命题
的逆命题。
注意：
一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。
例说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。
（1）直角三角形的两锐角互余；
（2）全等三角形的对应角相等。
知识点5、基本事实与定理
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实。
以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理。
注意：
（1）基本事实是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明；
（2）定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。
例 填空：
（1）同位角相等，则两直线 ；
（2）平面内两条不重合的直线的位置关系是
；（3） 四边形是平行四边形。
知识点6、互逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。
注意：
每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。
如：
“对顶角相等”就没逆定理。
知识点7、证明的含义
从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。
推理证明的必要性：
判断猜想的数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够的，必须一步一步，有理有据地进行推理。
证明命题的步骤：
由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、基本事实，在此以前学过的定理。
（证明命题的格式一
般为：
1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”
中写出推理过程）
证明的四个注意
（1）注意：
①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题：
②公理可以作为判定其他命题真假的根据.
（2）注意，定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题.这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的.
（3）注意：
在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。
如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法.只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的.但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可
以确信任意两平行直线的同位角相等.
（4）注意：
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.①论据必须是真命题，如；定义、公理、已经学过的定理和已知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由.
13.2全等三角形
一、全等形
1、定义：
能够完全重合的两个图形叫做全等图形，简称全等形。
2、一个图形经过翻折、平移和旋转等变换后所得到的图形一定与原图形全等。
反之，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合。
二、全等多边形
1、定义：
能够完全重合的多边形叫做全等多边形。
互相重合的点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
2、性质：
（1）全等多边形的对应边相等，对应角相等。
（2）全等多边形的面积相等。
三、全等三角形
A A′
B C B′ C′
1、全等符号：
“≌”。
如图，记作：
△ABC≌△A′B′C′。
读作：
三角形ABC全等于三角形
A′B′C′。
2、全等三角形的判定定理
（1）有两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等。
（即SAS，“边角边”）
（2）有两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等。
（即ASA，“角边角”）
（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等。
（即AAS，“角角边”）
（4）有三边对应相等的两三角形全等。
（即SSS，“边边边”）
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等。
（即HL，“斜边直角边”）
3、全等三角形的作用
（1）用于直接证明线段相等，角相等。
（2）用于证明直线的平行关系、垂直关系等。
（3）用于测量人不能的到达的路程的长短等。
（4）用于间接证明特殊的图形。
（如证明等腰三角形、等边三角形）。
（5）用于解决有关等积等问题。
13.3等腰三角形
知识梳理】
一、等腰三角形的性质
1、有关定理及其推论
定理：
等腰三角形有两边相等；定理：
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
2.定理及其推论的作用
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
二、等腰三角形的判定
1.有关的定理及其推论
定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：
三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2.定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是
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