高等数学同步练习答案.docx
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高等数学同步练习答案
高等数学同步练习答案
【篇一：
高等数学练习题（附答案）】
年级学号姓名
（）1.收敛的数列必有界.
（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.
（）5.若f（x）在x0点可导，则f（x）也在x0点可导.
（）6.若连续函数y?
f（x）在x0点不可导，则曲线y?
f（x）在（x0,f（x0））点没有切线.
（）7.若f（x）在[a,b]上可积，则f（x）在[a,b]上连续.
（）8.若z?
f（x,y）在（x0,y0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z?
f（x,y）在（x0,y0）处可微.
（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.
（）10.设偶函数f（x）在区间（?
1,1）内具有二阶导数，且f?
?
（0）?
f?
（0）?
1,则
f（0）为f（x）的一个极小值.
二、填空题.（每题2分，共20分）
1.设f（x?
1）?
x，则f（x?
1）?
.
1
2
2.若f（x）?
2x?
1
1
，则lim?
.
x?
0
?
2x?
1
3.设单调可微函数f（x）的反函数为g（x）,f
（1）?
3,f?
（1）?
2,f?
?
（3）?
6则
g?
（3）?
.
4.设u?
xy?
xy
则du?
.
5.曲线x2?
6y?
y3在（?
2,2）点切线的斜率为.
6.设f（x）为可导函数,f?
（1）?
1,f（x）?
f（1
x
）?
f（x2）,则f?
（1）?
.
7.若?
f（x）22
tdt?
x（1?
x）,则f
（2）?
.
8.f（x）?
x?
2x在[0,4]9.广义积分?
?
?
?
2x
e
dx?
10.设d为圆形区域x2?
y2?
1,?
?
y?
x5dxdy?
.
d
三、计算题（每题5分，共40分）
1.计算lim（
11n?
?
n
2
?
（n?
1）
2
?
?
?
1（2n）
2
）.
2.求y?
（x?
1）（x?
2）2（x?
3）3?
?
（x?
10）10在（0，+?
）内的导数.
3.求不定积分?
1.
x（1?
x）
4.计算定积分?
?
sin3
x?
sin
5
xdx.
5.求函数f（x,y）?
x3
?
4x2
?
2xy?
y2
的极值.6.设平面区域d是由y?
x,y?
x围成，计算?
?
sinyd
y
.
7.计算由曲线xy?
1,xy?
2,y?
x,y?
3x围成的平面图形在第一象限的面积.
8.求微分方程y?
?
y?
2xy
的通解.
四、证明题（每题10分，共20分）
1.
证明：
arctanx?
arcsin
x（?
?
?
x?
?
?
）.
2.设f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f（x）?
0,
f（x）?
?
x
x
10
f（t）dt?
?
b
f（t）
证明：
方程f（x）?
0在区间（a,b）内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
二、填空题.（每题2分，共20分）
1.x2?
4x?
4；2.1；3.1/2；4.（y?
1/y）dx?
（x?
x/y2）dy；5.2/3；6.1；7.
36；8.8；9.1/2；10.0.
三、计算题（每题5分，共40分）
1.解：
因为
n?
1111
（2n）
2
?
n
2
?
（n?
1）
2
?
?
n?
1
（2n2
）n2且ln?
1
n?
1n
2
=0
n?
i?
（2n2
）
?
，0lim
n?
?
由迫敛性定理知：
lim11
）=0
n?
?
（
n
2
?
1（n?
1）
2
?
?
?
（2n）
2
2.解：
先求对数lny?
ln（x?
1）?
2ln（x?
2）?
?
10ln（x?
10）
?
11yy?
?
x?
1
?
2x?
2
?
?
?
10x?
10
?
y?
?
（x?
1）?
（x?
10）（1x?
1
?
2
10x?
2
?
?
?
x?
10
）
3.解：
原式=2?
1
?
x
dx=2?
1dx
?
（x）
2
=2arcsin4.解：
原式=?
?
x?
c
sin
3
xcos
2
xdx
?
3?
3=?
22
2
cosxsin
xdx?
?
cosxsin
xdx
2
?
33=?
22
?
?
sin
2
sin
xdsinx?
xdsinx
2
=2
5?
5
2
5
[sin
x]2?
0?
25
[sin
2
x]?
2
=4/5
5.解：
f?
?
3x2
x?
8x?
2y?
0fy?
?
2x?
2y?
0
故?
x?
0?
或?
x?
2
?
y?
0?
?
y?
2当?
x?
0
?
?
?
y?
0
时f（0,0）?
?
8，f?
?
（0,0）?
?
2，f?
xx
yyxy?
?
（0,0）?
2?
?
?
（?
8）?
（?
2）?
2
2
?
0且a=?
8?
0
?
（0，0）为极大值点且f（0,0）?
0
当?
x?
2
?
2
时f?
?
（2,2）?
4，f?
?
（2,2）?
?
2，fxy?
?
（2,2）?
2?
y?
xx
yy?
?
?
4?
（?
2）?
22
?
0?
无法判断
6.解：
d=?
（x,y）0?
y?
1,y2?
x?
y?
?
?
?
sinyd
y
?
?
1
dy?
ysinyy
2
y
dx=?
1
siny0
y
x]y
y2dy
=?
1
（siny?
ysiny）dy
=[?
cosy]10
?
?
1
ydcosy=1?
cos1?
[ycosy]10
?
?
1
cosydy
=1?
sin17.解：
令u?
xy，v?
y1?
u?
2x
；则，1?
v?
3
1
u
j?
xuxvuv
?
2vv1yu
y?
2v
vu?
2v2u
v
?
a?
?
?
d?
?
?
2
11
du?
3
1
?
ln3d
2v
dv8.解：
令y2?
u，知（u）?
?
2u?
4x
由微分公式知：
u?
y2?
e?
2dx（?
?
4xe?
?
2dx
dx?
c）
?
e
2x
（?
?
4xe?
2x
dx?
c）
?
e
2x
（2xe
?
2x
?
e?
2x
?
c）
四.证明题（每题10分，共20分）
1.解：
设f（x）?
arctax
n?
arcsix?
x2
?
x
2
x
2
1
?
2
?
f?
（x）?
11?
x
2
?
?
?
xx
21?
x
2
=0?
1?
x
2
?
f（x）?
c?
?
?
x?
?
?
令x?
0?
f（0）?
0?
0?
0?
c?
0即：
原式成立。
【篇二：
南邮高等数学上练习册_最全答案】
函数
1、
（1）?
?
x
（2）（?
?
0）?
（0,3]（3）奇函数
2
1（4）logx
0?
（5）x2?
2（6）e?
sin2x
1?
x
x?
1）
?
?
11?
x?
e2、f[g（x）]?
?
?
e?
0x?
1?
e或x?
e
?
?
?
?
10?
x?
1e或x?
e?
2x?
5x?
1?
3、f（x）?
?
?
x2
1?
6?
x?
2maxf（x）?
4
?
?
?
x?
6x?
21.2数列的极限
1、
（1）d
（2）c（3）d
1.3函数的极限
1、
（1）充分
（2）充要
1.4无穷小与无穷大
1、
（1）d
（2）d（3）c（4）c
1.5极限运算法则
1、
（1）?
12
（2）1
2（3）?
（4）?
1（5）0
6
（4）1（5）4（6）14、a=1b=-1
1.6极限存在准则两个重要极限
1、
（1）充分
（2）?
0（3）e?
3e2
2、
（1）
2
3
（2）2（3）e?
11.7无穷小的比较
1、
（1）d
（2）a（3）c2、
（1）?
32
（2）32（3）?
2
3
3、e
1.8函数的连续性与间断点
1、
（1）2
（2）跳跃无穷可去2、
（1）b
（2）b（3）b3、e
?
2
4、a?
1,b?
2
5、
（1）x?
0,x?
k?
?
?
2
（k?
z）是可去间断点，x?
k?
（k?
0）是
无穷间断点；
（2）x?
0是跳跃间断点，x?
1是无穷间断点6、a?
0,b?
e
1.9闭区间上连续函数的性质
1、2、略
1
1.10总习题
1、
（1）2
（2）max{a,b,c,d}（3）
第2章导数与微分
2.1导数的定义
1
（4）2（5）2?
82
1、
（1）充分必要
（2）充要（3）f?
（x0）（m?
n）f?
（x0）3
（6）2（7）（8）0?
1（9）跳跃可去（10）2
22、
（1）d
（2）d（3）d（4）c（5）d（6）b（7）d（8）d（9）b（10）b
?
90
0?
x?
1003、
（1）p（x）?
?
?
190?
x100?
x?
115
?
?
75x?
115?
30x
0?
x?
100
（2）p?
（p?
60）x?
?
?
130x?
x2100?
x?
115
?
?
15xx?
115（3）p?
15000（元）。
4、
（1）x
（2）21
13（3）-2（4）1（5）e
（6）0
（7）1e
（8）12（9）lna（10）a1a2?
an（11）1
6、a=1b=07、a=1b=?
1
2
8、x?
0和x?
k?
?
?
2
（k?
z）是可去间断点
x?
k?
（k?
0）是无穷间断点
9、f（x）在（?
?
?
1）,?
?
1,1?
?
1,?
?
?
连续
x?
?
1为跳跃间断点
10、nlim?
?
?
xn?
11、f（x）在（?
?
?
?
）处处连续
（4）?
9!
（5）?
113?
7
4x22x?
4x2、切线方程为y?
1
2
x?
ln2?
1法线方程为y?
?
2x?
ln2?
44、a?
2b?
?
15、提示：
左右导数定义
2.2求导法则
1、
（1）2xex
?
x2ex
（2）111?
2x?
x2
x2sinx（3）（1?
x2）
2
（4）?
2x
x（1?
lnx）2
（5）
（6）?
extanex
?
x2
（8）?
2f?
（x）
f3（x）
?
112、
（1）?
?
2xsin?
cosx?
0
（2））1?
xx?
0x?
0a2?
x2
（3）2sinxx3lnx?
cosxx2lnx?
sinx
x3
（4）2xex2
[（f（x2）?
f?
（x2）]3、2ag（a）
2
x?
yyexy?
ysin（xy）xylny?
y2
4、
（1）
（2）（3）
14x11e?
c（4）xn?
1?
c（5）sin（3x?
1）?
c（3）2y?
xsin（xy）?
xexyx?
yxylnx?
x2
1
（4）（1?
x）x[
1x（x?
1）?
1
x
2ln（1?
x）]
5、x?
y?
0
6、
（1）2t
1?
t
2
（2）?
12.3高阶导数及相关变化率
1、
（1）（4x3?
6x）ex2
2f?
（x2）?
4x2f?
?
（x2）
（2）an
sin（ax?
n
?
n
?
2
）acosax（?
n2
）
（3）ax（lna）n（?
1）n?
1（n?
1）!
x
n
（4）（?
1）n
n!
（x?
a）n?
1
（?
1）n?
1
（n?
1）!
（x?
1）n?
（n?
1）!
（1?
x）n
（5）22n?
1cos（4x?
n?
2
）
2、250（
1225
2
sin2x?
50xcos2x?
x2sin2x）
（1）3、
（1）?
?
6x?
0?
2x?
0
（2）2（3）y
（1?
y）3
（4）?
1a（1?
cost）2
（5）1
f?
?
（t）
2.4微分
1、
（1）?
y?
0.11601dy?
0.11
（2）?
1
1?
x
?
c2x?
c
4n?
13
2、
（1）a
（2）b3、
（1）（
1
ln3
（2）?
tanxdx3?
x
2?
x23）dx2x（3）[?
2f?
（1?
2x）?
cos（f（x））f?
（x）]dx
4、2?
ln（x?
y）3?
ln（x?
y）
dx5、2xcos（x2）cos（x2
）2cos（x2）3x
2.5总习题
1、
（1）?
1
（2）①n?
0②n?
1③n?
2（3）?
1?
1（4）sint?
tcost4t3（5）xcosx?
sinx2x
3
（6）2x0f?
（x0）2、
（1）b
（2）b（3）c（4）a（5）b
、
（1）1x2cot2?
3x
42xtanx?
3xln3lncosx
（2）1lnx?
2x3?
1
（3）x2sin2（1?
lnx）
x
（4）sec2ax?
ax
lna?
axa?
11?
（xa）
2
（5）mcosmx?
cosnx?
ncosn?
1x?
sinx?
sinmx（6）
xg（lnx）f（x）?
2xg?
（lnx）f（x）?
2x2g（lnx）f?
（x）
2xxf2
（x）
（7）?
?
?
2?
x?
2
2xx?
2或x?
?
2
?
3
11ex（8）2[x?
cotx?
2（1?
ex）
]xsinx?
?
ex
（9）
?
?
（x）?
（x）?
?
（x）ln（?
（x））?
?
（x）
?
2
（x）?
（x）
（10）xylny?
y2xylnx?
x2
（11）2x?
y2f?
（x）?
f（y）2yf（x）?
xf?
（y）
?
（12）f?
（x）?
?
1
?
x?
0?
1?
x
sinx（13）e?
2?
xsin2x?
2
?
?
x2,x?
0（14）3
1t4?
18e2（15）3asin?
cos4?
（16）8t3
（17）2?
（?
1）nn!
[1（x?
1）n?
1?
1
（x?
1）
n?
1
]（18）4n?
1
cos（4x?
n?
2）（19）
y?
xyex?
y
xy?
x?
xyex?
y
dx7、a?
1
2
f?
?
?
（1）b?
f?
?
（1）c?
f
（1）8、2第3章中值定理与导数应用
3.1中值定理
1、
（1）是
?
2
（2）4（?
2,?
1）,（?
1,0）,（0,1）（1,2）
2、
（1）b
（2）b
3.2洛必达法则
1、
（1）?
1?
4
（2）12、
（1）a
（2）c
3、
（1）1
112
（2）3（3）1（4）1（5）?
8
3.3泰勒公式
1、
（1）1?
x?
x2x32!
3!
?
?
?
xn
?
n!
?
o（xn）x3（?
1）n?
1x2n?
1
（2）x?
?
?
?
（2n?
1）!
?
o（x2n?
13!
）
1?
x22!
?
?
?
（?
1）nx2n
（3）（2n）!
?
o（x2n）
x2（?
1）n?
1xn
（4）x?
2?
?
?
n
?
o（xn）（5）1?
x?
x2?
?
?
xn?
o（xn）
2、?
56?
21（x?
4）?
37（x?
4）2?
11（x?
4）3?
（x?
4）4
2
x3
3、x?
x?
3?
?
（?
1）n?
1xn（n?
1）!
?
o（xn）
4、a?
43,b?
?
13
3.4函数的单调性和极值
1、
（1）[0,2]?
?
?
0?
?
2,?
?
?
（2）x?
1和35
2、
（1）c
（2）c（3）a
3、
（1）单调递增区间为（?
?
?
1]?
?
[3,?
?
）单调递减区间为
（?
1,3）
（2）单调递增区间为（1
?
?
）单调递减区间为（0,1ee
）4、极小值为y（0）?
05、a?
32，b?
12
12
7、当a?
11
时，方程无实根；当a?
时，方程有一个实根x?
e；?
1
13、
（1）极大值f（0）?
2极小值f（）?
ee
2
ee
当0?
a?
1
e
时，方程有两个实根。
8、最大值为f（?
2）?
7最小值为f（?
4）?
?
219、r?
v
2?
，h?
4v?
3.5函数图形的描绘
1、
（1）凹
（2）拐点（3）（1,4）
2、
（1）c
（2）a3、（?
1,e
?
12
）（1,e?
12
）为拐点凸区间为（?
1,1）凹区间为
（?
?
?
1）?
（1,?
?
）
4、a?
?
39
2b?
2
3.6总习题
1、
（1）1
（2）?
10（3）0或1（4）?
2
8
（5）22、
（1）a
（2）c（3）d（4）d（5）b
（6）a（7）b（8）c（9）d
2
7、
（1）?
1
12
（2）e?
?
（3）?
112
（4）?
1
e4（5）?
2
9、f（0）?
?
1f?
（0）?
0f?
?
（0）?
7
3
10、a?
2b?
?
1
e
（2）极大值y（?
1）?
0极小值为y
（1）?
?
3?
4
14、凸区间为（?
?
?
1）?
（0,1）凹区间为（?
1,0）?
（1,?
?
）
拐点为（0,0）x?
1，x?
?
1为垂直渐近线方程
y?
x为斜渐近线方程
15、
2r16、x?
?
317、3
18、
（1）（?
1,ln2）（1,ln2）为拐点凸区间为（?
?
?
1）?
（1,?
?
）
凹区间为（?
1,1）
（2）凸区间为（?
?
?
1）?
（0,1）凹区间为（?
1,0）?
（1,?
?
）拐点为（0,0）x?
1，x?
?
1为垂直渐近线方程y?
x为斜渐近线方程
19、x?
?
11
e为垂直渐近线y?
x?
e为斜渐近线
4
20、
（1）当b?
316
a3
时该方程有唯一实根34
（2）当b?
16
a3
时该方程无实根第4章不定积分
4.1不定积分的概念与性质
1、是同一函数的原函数2、?
arctanx?
?
2
或arccotx
3、
（1）
25x5?
12
2
x?
x?
2x?
c
（2）ex?
arcsinx?
c12
【篇三：
高数课后习题答案】
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