关于安培环路定理的探讨.doc

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对安培环路定理的探讨

摘要

安培环路定理是电磁学力除高斯定理之外的又一个重要的定理，我们一般的教材［1］都是通过无限长的指导线中通于稳恒电流，取一围绕导线的圆周，运用毕奥-萨伐尔原理通过对所围的圆周进行矢量积分，从而得到安培环路定理。

这种方法非常简洁，但又过于笼统，很多细节问题都没有提及，读者没有从整体上来掌握此定理。

下面，我将从整体上对定理的推出、对定理的适用条件的讨论以及定理的应用等几方面进行阐述，目的在于读者全面的去理解安培环路定理。

关键词：

定理的证明；使用条用的讨论；应用

对一个定理的真正意义上的掌握，就要理解包括定理的适用条件，定理的数学表达式，以及定理的运用等一系列从学习到实践的逻辑过程，本文本着这一思路，从定理的证明，并讨论其适用条件，到定理的运用进行全方位的阐述，目的在于使得读者对安培环路定理从整体上去理解和把握。

1.定理的证明

1.1在稳恒的磁场中

1.1a闭合且恒定的电流

在稳恒电流产生的电流，毕奥-萨伐尔定理作为基本的实验基础，其数学表达式为［2］:

（1）

（1）式中为积分区域的任意一段载流电流，无论这个电流是否闭合，都代表这段电流源对磁场的贡献。

假设J为电流的密度，即有下式［3］：

因为Idl=J·dsdl=JdV’，所以由

（2）（3）式有：

利用：

对（3）式两侧求旋度，有：

（4）

式中▽，▽’分别是作用于场点和源点的坐标。

（4）式右项的第一项为：

（5）

δ（r）为狄拉克符号。

上式引用了这个公式：

（6）

（3）式右侧第二项的积分由分部积分分为两项。

并且下面的积分为零，得：

（7）

假定电流是闭合且恒定的，就有［4］：

所以，有：

取积分并应用斯托克斯定理，得：

（8）

这就是安培环路定理。

由上面的假设，定理得出的条件是电流是闭合且恒定的，积分所选的线圈S里面有电流密度J的通过。

如果所取的边界L没有电流通过，也即没有电流密度J。

因为J=0，所以u0J=0，所以有：

（9）

可以看出，不通过所围成的曲面的电流对环量没有贡献。

因此，可以做一总结：

环路定律是用来导出电流与周围邻近磁场的关系，和其他地方流过的电流无关。

1.1b有限长的不闭合的电路

如图,因为以L为边界所长的曲面是任意的，所以就S1和S2两个曲面。

先对图a分析，由上面得出的安培环路定理，有：

=J（10）

对图b分析，对于S1曲面，有：

=J（11）

对与S2曲面，由于电流没有完全穿过此曲面，即：

=0（12）

通过曲面的环量是0还是u0J，这里就产生了矛盾。

这个矛盾正好说明了安培环路定理对有限长的电流是不成立的。

因此，可以对上面所论述的做一总结：

安培环路定理成立的条件是稳恒电流的磁场。

1.2在非稳恒的磁场中

下面将通过引入位移电流的概念，通过推导，得到全电流安培环路定理。

在交变的情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再是闭合的。

例如电容器，它的两板是绝缘介质，自由电荷无法自由通过，只好在板上积聚起来。

在交变电路中，电容器交替的充电和放电，但两板始终没有电流通过。

在这情况下，为解决此问题，就引入了位移电流密度JD的概念，这时电流J和JD就满足：

（13）

且它的数学表达式为［5］：

（14）

由毕奥-萨伐尔定理的推广，有［6］：

（15）

用1.1a中同样的方法，可得到：

（16）

这就是全电流的安培环路定理的数学表达式了。

通过以上的推导，就把安培环路定理从逻辑上推广到全电流的安培环路定理。

而全电流安培环路定理无论在稳恒条件和非稳恒条件中都可以用。

2.定理的运用

安培环路定理的运用可以在静电场和静磁场中，因为电场和磁场都是矢量，在实际当中，就会给计算到来一定的复杂性。

运用安培环路定理，可以把矢量变成标量，从而把计算的过程简单化。

当然，安培环路定理还可以用于在静磁场中，当电流有适当的对称时，运用定理就可求得恒定场。

2.1静电场

我们都知道，无旋性是静电场的一个重要的特征，由于无旋性，而磁场是有旋场，由安培环路定理可知电场沿任一闭合回路L环量等于零，数学表达式：

（17）

设C1和C2为由P1点到P2的两条不同路径。

C1与-C2合成一闭合的回路，因此：

dl=0

即：

dl（18）

因此，电荷由P1移至P2点时电场对它所做的功与路径无关，而只和两端点有关。

这就说明了静电场是一个保守力场，可以和力学中用势函数描述保守力场一样。

设φ为两点的电势差，就有［7］：

（19）

由上式，求出整个电场的势函数，就可以知道了矢量电场E。

2.2静磁场

由安培环路定理定理得：

（20）

其中中L为S的边界，如果回路L链环着电流，即有电流穿过L所围曲面S，则：

（21）

在这种情形下H和力学中的非保守力相似，因而不能引入标势。

但在很多实际问题中，我们不必求出整个空间中的磁场，而只需要求出某个局部区域的磁场。

因此，可以和2.1中的静电场引入电势一样，也引入磁标势φm。

在这局部区域里，如果所有的回路L都没有链环着电流，则：

（22）

所以，比较2.1中E与φ的表达式，就可以写出H与φm数学表达式：

（23）

这样，在某局部区域里，就可以通过求标量φm,从而求出磁场。

但对于一些电流分布对称的静磁场中，要求它周围的电流所激发的磁场，那就没有必要像上面一样，要通过求解其磁标势，再得到磁场。

事实上，能用安培环路定理直接求解的带电场的电流分布类型有［8］：

轴对称电流；轴对称面或体电流；无限大均匀平面电流。

例：

电流I均匀分布与半径为a的无穷长直导线内，求空间个点的磁场强度。

解：

在于导线垂直的平面上做一半径为r的源，圆心在导线轴上。

由对称行，在圆周各点的磁感应强度有相同的数值，并沿圆周环绕方向。

当r>a是，通过圆周的总电流为I，用安培环路定理得：

在此处键入公式。

（24）

因而：

（25）

在柱坐标系中写成矢量式为：

（26）

式中eФ为圆周环绕方向单位矢量。

若r

（27）

应用安培环路定理得：

2（28）

因而：

（29）

运用安培环路定理直接求周围空间磁场的例子。

以看出，对于符合电流均匀分布的静磁场，直接运用安培环路定理使求解磁场的过程极大的简单化了。

所以，在求解磁场分布时，我们可以对其电流进行分析，如果电流的分布具有对称性的，那么就可以优先考虑直接运用安培环路定理求解，这会使得过程的简单化。

3.结束语

由上面一系列逻辑过程，可以知道，安培环路定理是除毕奥-萨伐尔定理的另外一个磁场和电流的关系的表达形式，它与电流的闭合条件相联系，并且反应了涡旋场与源电流的普遍关系。

它成立的条件在稳恒磁场，但在非稳恒磁场中，通过位移电流的引出，从而得到全电流的安培环路定理，扩宽了定理的适用范围。

但需要注意一点就是：

无论是稳恒电流，还是非稳恒电流，空间的磁场都是由传导电流产生，而与位移电流无关［9］。

在定理运用方面，在静电场和静磁场中都是通过引入势函数，使得在求解电场或磁场时，形势上变成由求矢量变成求标量，从而避免了矢量计算的复杂性，使得整个过程变得简单化。

但是，在某些电流分布具有对称性的静磁场中，直接运用安培环路定理则比较简单，这就需要对电流的特点做出分析，然后才知道具体运用那个方法比较方面。

参考文献

［1］梁灿彬等原著.电磁学.-2版.北京：

高等教育出版社，2004,5.185

［2］王蔷编著.电磁场理论基础.北京：

清华大学出版社.2001.112

［3］郭硕鸿.电动力学.-3版.北京：

高等教育出版社.2008,6.8

［4］郭硕鸿.电动力学.-3版.北京：

高等教育出版社.2008,6.15

［5］郭硕鸿.电动力学.-3版.北京：

高等教育出版社.2008,6.8

［6］朱久远.关于位移电流激发的磁场［J］.大学物理.1983,11:

9-12

［7］郭硕鸿.电动力学.-3版.北京：

高等教育出版社.2008,6.38

［8］郑卓，路玉燕，雷桂林.能用安培环路定理求解磁场的电流分布类型.甘肃教育学院院报.2004,4，第二期，第十八卷.70

［9］岑敏锐.关于安培环路定理应用条件的讨论.高等函授学报（自然科学版）.2006,12.第六期，第十八卷.44

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