苏教版七年级数学下册 71 探索直线平行的条件 知识点文档格式.docx

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【点评】本题考查同位角的意义，掌握同位角的意义是正确判断的前提．

知识点二、两条直线平行的条件

判定方法1：

同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠3＝∠2

∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；

判定方法2：

内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠1＝∠2

∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；

判定方法3：

同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠4＋∠2＝180°

∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.

除了三个判定方法外，我们还可以通过平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线），平行的传递性（平行于同一条直线的两条直线互相平行）来进行判定.

如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件：

①∠3＝∠6；

②∠1＝∠8；

③∠4+∠7＝180°

；

④∠5+∠1＝180°

．其中能判断a∥b的是（　　）

A．①③④B．①②③C．②④D．①②

【分析】利用同位角相等两直线平行；

内错角相等两直线平行；

同旁内角互补两直线平行即可得到正确的选项．

①∵∠3＝∠6，

∴a∥b，本选项符合题意；

②∵∠1＝∠7，∠1＝∠6，

∴∠7＝∠8，

③∵∠4+∠7＝180°

，∠4＝∠6，

∴∠6+∠7＝180°

，

∴a∥b，本选项正符合题意；

④∵∠5+∠1＝180°

不能判定a∥b，本选项不符合题意，

则其中能判断a∥b的是①②③．

【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．

巩固练习

一．选择题（共12小题）

1．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断BD∥AC的是（　　）

A．∠3＝∠AB．∠D＝∠DCE

C．∠1＝∠2D．∠A+∠ACD＝180°

2．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（　　）

A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°

C．∠1＝∠4D．∠1+∠4＝180°

3．如图，下列推理中正确的是（　　）

A．∵∠1＝∠4，∴BC∥AD

B．∵∠2＝∠3，∴AB∥CD

C．∵∠BCD+∠ADC＝180°

，∴AD∥BC

D．∵∠CBA+∠C＝180°

，∴BC∥AD

4．如图，由下列已知条件推出的结论中，正确的是（　　）

A．由∠1＝∠5，可以推出AD∥BC

B．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC

C．由∠1+∠4＝90°

，可以推出AB∥CD

D．由∠ABC+∠BCD＝180°

，可以推出AD∥BC

5．下列各项正确的是（　　）

A．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离

B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种

D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角

6．如图，下列条件中不能判断a∥b的是（　　）

A．∠2＝∠6B．∠1＝∠4C．∠4+∠6＝180°

D．∠3+∠5＝180°

7．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF

的是（　　）

A．∠A＝∠3B．∠A+∠2＝180°

C．∠1＝∠4D．∠1＝∠A

8．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°

，∠2＝50°

，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）

A．15°

B．25°

C．35°

D．50°

9．如图，下列条件：

①∠1＝∠2；

②∠4＝∠5；

③∠2+∠5＝180°

④∠1＝∠3；

⑤∠6＝∠1+∠2；

其中能判断直线l1∥l2的有（　　）

A．②③④B．②③⑤C．②④⑤D．②④

10．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°

的三角尺ADE固定不动，将含30°

的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°

时，BC∥DE，则∠BAD（0°

＜∠BAD＜180°

）其它所有可能符合条件的度数为（　　）

A．60°

和135°

B．45°

、60°

、105°

C．30°

和45°

D．以上都有可能

11．如图，下列条件：

A．5个B．4个C．3个D．2个

12．下列语句中，正确的有（　　）

（1）两点之间直线最短

（2）同位角相等

（3）不相交的两条直线互相平行

（4）垂直于同一条直线的两直线互相平行

（5）同一平面内，过一点有且仅有一条直线平行于已知直线

A．0个B．1个C．2个D．3个

二．填空题（共12小题）

13．如图，下列条件中：

①∠BAD+∠ABC＝180°

②∠1＝∠2；

③∠3＝∠4；

④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是　　．

14．如图，直线c与a，b相交，∠1＝40°

，∠2＝70°

，要使直线a与b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是　　°

．

15．根据给出的图形，写出一个使得a∥b的条件：

　　．（写出一个即可，多写不加分）

16．如图，下列能判定AB∥CD的条件有　　个．

①∠B+∠BAD＝180°

④∠BAD＝∠5．

17．如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：

①∠1＝∠3；

②∠5＝∠B；

③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；

④∠B+∠BCD＝180°

，能判定AB∥CD的有　　．（填序号）

18．如图，将两个含30°

角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边AB∥CD，依据是　　．

19．如图，有下列3个结论：

①能与∠DEF构成内错角的角的个数是2；

②能与∠EFB构成同位角的角的个数是1；

③能与∠C构成同旁内角的角的个数是4，以上结论正确的是　　．

20．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°

，∠ABC＝30°

）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：

①∠1＝25.5°

，∠2＝55°

30'

②∠2＝2∠1；

③∠1+∠2＝90°

④∠ACB＝∠1+∠2；

⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有　　．（填序号）

21．如图，两块三角板形状、大小完全相同，边AB∥CD的依据是　　．

22．如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：

②∠3＝∠4：

③∠A＝∠DCE；

④∠D+∠ABD＝180°

．其中能判断AB∥CD的有　　．（填写所有满足条件的序号）

23．两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点F，B，E，C在一条直线上，则有DF∥AC，理由是　　．

24．如图，下列结论：

①∠2与∠3是内错角；

②∠2与∠B是同位角；

③∠A与∠B是同旁内角；

④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是　　（只填序号）．

三．解答题（共6小题）

25．填空：

已知：

如图，B、C、E三点在同⼀直线上，A、F、E三点在同⼀直线上，∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．求证：

AB∥CD．

证明：

∵∠2＝∠E

∴　　（内错⻆相等，两直线平⾏）

∴∠3＝　　（两直线平⾏，内错⻆相等）

∵∠3＝∠4

∴∠4＝∠DAC（　　）

∵∠1＝∠2

∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF，（　　）

即∠BAF＝　　

∴∠4＝∠BAF

∴AB∥CD（同位⻆相等，两直线平⾏）

26．光线在不同介质的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也平行．如图标注有∠1～∠8共8个角，其中已知∠1＝64°

，∠7＝42°

（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角，一对同旁内角；

（2）直接写出∠2，∠3，∠6，∠8的度数．

27．已知∠DAC＝∠ACB，∠D+∠DFE＝180°

，求证：

EF∥BC．

28．如图，点E在直线BH、DC之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠ECG＝90°

﹣∠HAE．求证：

BH∥CD．

29．如图，已知FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为G、D，∠1＝∠2．

求证：

DE∥BC．

30．如图，直线a⊥b，垂足为O，△ABC与直线a、b分别交于点E、F，且∠C＝90°

，EG、FH分别平分∠MEC和∠NFC．

（1）填空：

∠OEC+∠OFC＝　　；

（2）求证：

EG∥FH．

【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．

A、由∠3＝∠A不能判断BD∥AC，故本选项不合题意；

B、∵∠D＝∠DCE，∴BD∥AC，故本选项符合题意；

C、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故本选项不合题意；

D、∵∠A+∠ACD＝180°

，∴AB∥CD，故本选项不合题意．

【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能熟记平行线的判定定理是解此题的关键，注意：

平行线的判定有：

①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．

【分析】根据同位角相等，两直线平行；

同旁内角互补，两直线平行进行判断即可．

由∠1＝∠3，可得直线a与b平行，故A能判定；

由∠2+∠4＝180°

，∠5+∠4＝180°

，可得∠2＝∠5，故直线a与b平行，故B能判定；

由∠1＝∠4，∠4＝∠3，可得∠1＝∠3，故直线a与b平行，故C能判定；

由∠1+∠4＝180°

，不能判定直线a与b平行，

D．

【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：

同位角相等，两直线平行；

同旁内角互补，两直线平行．

【分析】结合图形分析相等或互补的两角之间的关系，根据平行线的判定方法判断．

A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故选项错误；

B、∵∠2＝∠3，∴BC∥AD，故选项错误；

D、∵∠BCD+∠ADC＝180°

，∴AD∥BC，故选项正确；

C、∵∠CBA+∠C＝180°

，∴AB∥CD，故选项错误．

【点评】考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．

【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．

A、∵∠1＝∠5，∴AB∥CD，故本选项错误；

B、∵∠2＝∠6，∴AD∥BC，故本选项正确；

C、由∠1+∠4＝90°

无法证明AB∥CD，故本选项错误；

D、∵∠ABC+∠BCD＝180°

，∴AB∥CD，故本选项错误．

【点评】本题考查的是平行线的判定定理，熟知平行线的三个判定定理是解答此题的关键．

【分析】分别利用平行公理以及垂线以及点到直线的距离以及对顶角的定义分别分析得出即可．

A、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故此选项错误，不合题意；

B、在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直，故此选项错误，不合题意；

C、同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，正确，符合题意；

D、有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，故此选项错误，不合题意．

【点评】此题主要考查了平行公理以及垂线以及对顶角和点到直线的距离等定义，正确把握相关定义是解题关键．

A、∠2＝∠6可以判定a，b平行，不符合题意；

B、∠1＝∠4，不能判定a，b平行，符合题意；

C、∠4+∠6＝180°

，可以判断a、b平行，不符合题意；

D、∠3+∠5＝180°

，可以判定a，b平行，不符合题意．

【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：

内错角相等，两直线平行；

7．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　）

【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．

A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．

B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．

C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．

D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．

【点评】本题考查了平行线的判定；

正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．

【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．

∵∠AOC＝∠2＝50°

时，OA∥b，

∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°

﹣50°

＝35°

【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．

【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．

①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；

②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；

③∵∠2+∠5＝180°

不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；

④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；

⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．

【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．

【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．

如图，

当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°

当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°

当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°

∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°

+60°

＝105°

当AB∥DE时，∵∠E＝∠EAB＝90°

+90°

＝135°

【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．

【分析】根据平行公理，平行线的判定和性质，线段的性质一一判断即可．

（1）两点之间直线最短．错误．应该是两点之间线段最短．

（2）同位角相等，错误．条件是两直线平行．

（3）不相交的两条直线互相平行，错误，条件是同一平面内．

（4）垂直于同一条直线的两直线互相平行，错误，条件是同一平面内．

（5）同一平面内，过一点有且仅有一条直线平行于已知直线，错误，应该是过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线．

【点评】本题考查平行线的判定，平行公理，线段的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是　①②③　．

【分析】①由∠BAD+∠ABC＝180°

，利用同旁内角互补得到AD∥BC，本选项符合题意；

②由∠1＝∠2，利用内错角相等两直线平行得到AD∥BC，本选项符合题意；

③由∠3＝∠4，利用内错角相等两直线平行得到AD∥BC，本选项符合题意；

④由∠BAD＝∠BCD，不能判定出平行，本选项不合题意．

①由∠∠BAD+∠ABC＝180°

，得到AD∥BC，本选项符合题意；

②由∠1＝∠2，得到AD∥BC，本选项符合题意；

③由∠3＝∠4，得到AD∥BC

，本选项符合题意；

故答案为：

①②③．

，要使直线a与b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是　30　°

【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠3减去∠1即可得到直线a顺时针旋转的度数．

如图．

∵∠3＝∠2＝70°

时，a∥b，

∴要使直线a与b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是70°

﹣40°

＝30°

30．

　∠1＝∠3　．（写出一个即可，多写不加分）

【分析】根据对顶角的性质和平行线的判定定理即可得到结论．

∠1＝∠3，

理由：

∵∠3＝∠4，∠3＝∠1，

∴∠1＝∠4，

∴a∥b；

∠1＝∠3．

【点评】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：

同位角相等两直线平行；

同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．

16．如图，下列能判定AB∥CD的条件有　1　个．

【分析】据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．

（1）∵∠B+∠BAD＝180°

，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；

（2）∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；

（3）∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本小题正确；

（4）∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本小题不符合题意；

1．

【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．

，能判定AB∥CD的有　③④　．（填序号）

【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案．

①中，∵∠1＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），不合题意；

②中，∵∠5＝∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），不合题意；

③中，∵∠1＝∠4且AC平分∠DAB，∴∠2＝∠4，∴AB∥CD，故此选项符合题意；

④中，∠B+∠BCD＝180°

，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；

③④．

【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．

角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可