最新高考数学圆锥曲线部分知识点梳理优秀名师资料Word文档格式.docx
《最新高考数学圆锥曲线部分知识点梳理优秀名师资料Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高考数学圆锥曲线部分知识点梳理优秀名师资料Word文档格式.docx（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
Aa，Bb，C与半径r的大小关系来判定。
的距离d,22A，B
三、圆锥曲线的统一定义,
平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,0）的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e（e,0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F（c,0）称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。
当0,e,1时,轨迹为椭圆,当e=1时,轨迹为抛物线,当e,1时,轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线,
椭圆双曲线抛物线
1,到两定点F,F的,F的距1,到两定点F1212
距离之和为定值离之差的绝对值为定值
2a（2a>
|F2a（0<
2a<
|FF|）的点的F|）的点的1212
与定点和直线的距离
定义轨迹轨迹
相等的点的轨迹.
2,与定点和直线的2,与定点和直线的距离
距离之比为定值e的之比为定值e的点的轨
点的轨迹.,0<
e<
1,迹.,e>
1,
点集,（{M,,
点集,{M,,MF,-,1
轨迹条MF+,MF,点集{M,,MF,=12
MF,.2
件=2a,,FF,,2a点M到直线l的距离}.12
=?
2a,,FF,,2a}.22
-2-
图形
标
方
准2222xyxy2y,2px，,1,,1（>
0）（a>
0,b>
0）a,b2222abab方
程
参
,x,acosx,asec数,,2,x,2pt,,,,y,bsiny,btan（t为参数）,,,y,2pt,（参数为离心角）（参数为离心角）,,方
范围?
a,x,a,?
b,y,b|x|,a,y,Rx,0中心原点O,0,0,原点O,0,0,
（a,0）,（?
a,0）,
顶点（a,0）,（?
a,0）（0,0）
（0,b）,（0,?
b）
x轴,y轴,x轴,y轴;
对称轴x轴
长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b.
pF（,0）焦点F（c,0）,F（?
c,0）F（c,0）,F（?
c,0）12122
-3-
px=-22aa2x=?
x=?
cc
准线与焦点位于顶点准线准线垂直于长轴,且准线垂直于实轴,且在
两侧,且到顶点的距
在椭圆外.两顶点的内侧.
离相等.
2222焦距2c,c=,2c,c=,a,ba，b
cce,（0,e,1）e,（e,1）离心率e=1aa
【备注1】双曲线,
222x,y,,a?
等轴双曲线,双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.e,2y,,x
共轭双曲线,以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲
2222yyxx线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线,,,,,,,,2222abab
22yx,,0.22ab
2222yxyx,,,（,,0）,,0?
共渐近线的双曲线系方程,的渐近线方程为如果双曲线的2222abab
22yxyx渐近线为时,它的双曲线方程可设为,,,（,,0）.,,022abab
【备注2】抛物线,
pp2y,1,抛物线=2px（p>
0）的焦点坐标是（,0）,准线方程x=-,开口向右,抛物线22
pp22y=-2px（p>
0）的焦点坐标是（-,0）,准线方程x=,开口向左,抛物线x=2py（p>
0）22
pp的焦点坐标是（0,）,准线方程y=-,开口向上,22
pp2抛物线x=-2py,p>
0,的焦点坐标是,0,-,,准线方程y=,开口向下.22
p2y,2,抛物线=2px（p>
0）上的点M（x0,y0）与焦点F的距离,抛物线MF,x，02
-4-
p2y=-2px（p>
0）上的点M（x0,y0）与焦点F的距离MF,,x02
p2y,3,设抛物线的标准方程为=2px（p>
0）,则抛物线的焦点到其顶点的距离为,2
p顶点到准线的距离,焦点到准线的距离为p.2
2y4,已知过抛物线=2px（p>
0）焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为,
2px，x焦点弦,设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则弦长=+p或AB,（α为直线AB的倾AB122sin,
2pp2,yy,,p斜角）,,（叫做焦半径）.xx,AF,x，AF1211242
五、坐标的变换,
1,坐标变换,在解析几何中,把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
2,坐标轴的平移,坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。
3,坐标轴的平移公式,设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y）,
'
（x,y）在新坐标系x′O′y′中的坐标是.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标
x,x'
，hx'
x,h是（h,k）,则或y,y'
，ky'
y,k
叫做平移（或移轴）公式.
4,中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程见下表,
方程焦点焦线对称轴
x=h222（x-h）（y-k）a+=1x=?
+h（?
c+h,k）22caby=k
椭圆
x=h222（x-h）（y-k）a+=1y=?
+k（h,?
c+k）22cbay=k
-5-
x=h222（x-h）（y-k）a-=1x=?
+k（?
双曲线
x=h222（y-k）（x-h）a-=1y=?
c+h）22caby=k
pp2+h,k）x=-+h（（y-k）=2p（x-h）y=k22
pp2+h,k）x=+h（-（y-k）=-2p（x-h）y=k22
抛物线
pp2+k）y=-+k（h,（x-h）=2p（y-k）x=h22
pp2+k）y=+k（h,-（x-h）=-2p（y-k）x=h22六、椭圆的常用结论,
1.点P处的切线PT平分?
PF1F2在点P处的外角.2.PT平分?
PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以
长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
22xyxxyy00Pxy（,）P，,15.若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是，,1.00002222abab
22xyPxy（,）P，,16.若在椭圆外,则过作椭圆的两条切线切点为P、P,则切点12000022ab
xxyy00弦P，,1P的直线方程是.1222ab
22xy，,17.椭圆（a,b,0）的左右焦点分别为F,F,点P为椭圆上任意一点1222ab
2，,FPF,Sb,tan,则椭圆的焦点角形的面积为.12,FPF122
-6-
22xy，,18.椭圆,a,b,0,的焦半径公式22ab
||MFaex,，||MFaex,,Fc（,0）,Fc（,0）Mxy（,）,（,）.10201200
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结
AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF?
NF.
Q,A、A为椭圆长轴上的顶点,10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、12AP和AQ交于点M,AP和AQ交于点N,则MF?
NF.1221
22xy（x,y），,111.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则0022ab
22bxb0kk,,,,即。
K,,OMABAB22aay0
22xyPxy（,），,112.若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是00022ab
22xxyyxy0000，,，,2222abab
【推论】,
2222xxyyxyxy00Pxy（,），,1，,，1、若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是。
000222222ababab
22xyAa（,0）,Aa（,0），,1椭圆,a,b,o,的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆1222ab
22xy,,1于PP时AP与AP交点的轨迹方程是.1、2112222ab
22xyAxy（,），,12、过椭圆（a,0,b,0）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭0022ab
2bx0圆于B,C两点,则直线BC有定向且,常数,.k,BC2ay0
22xy，,13、若P为椭圆,a,b,0,上异于长轴端点的任一点,F,F是焦点,1222ab
ac,,,，,PFF,，,PFF,tantco,,则.,1221ac22，
22xy，,14、设椭圆,a,b,0,的两个焦点为F、F,P,异于长轴端点,为椭圆上1222ab
-7-
sin,c,,e，,FPF,，,PFF,，,FFP,任意一点,在?
PFF中,记,,,则有.12121212，sinsina,,
22xy，,15、若椭圆,a,b,0,的左、右焦点分别为F、F,左准线为L,则当01222ab
e?
时,可在椭圆上求一点P,使得PF是P到对应准线距离d与PF的比例21,12
中项.
22xy，,16、P为椭圆,a,b,0,上任一点,F,F为二焦点,A为椭圆内一定点,则1222ab
2||||||2||aAFPAPFaAF,,，,，AFP,,,当且仅当三点共线时,等号成立.2112
22（）（）xxyy,,00，,1与直线有公共点的充要条件是7、椭圆AxByC，，,022ab
22222AaBbAxByC，,，，（）.00
22xy，,18、已知椭圆,a,b,0,,O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OPOQ,.22ab
2211114ab22S，,，,1,;
2,|OP|+|OQ|的最大值为;
3,的最小值,OPQ222222ab，||||OPOQab
22ab是.22ab，
22xy，,19、过椭圆,a,b,0,的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦22ab
||PFe,MN的垂直平分线交x轴于P,则.||2MN
22xy，,110、已知椭圆,a,b,0,,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分22ab
2222abab,,Px（,0）,,,x线与x轴相交于点,则.00aa
22xy，,111、设P点是椭圆,a,b,0,上异于长轴端点的任一点,F、F为其焦点1222ab
22b,2，,FPF,,||||PFPFSb,tan,则
（1）.
（2）.记1212,PFF12,1cos，2
22xy，,112、设A、B是椭圆,a,b,0,的长轴两端点,P是椭圆上的一点,,，,PAB,22ab
-8-
22|cos|ab,,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有
（1）.
（2），,PBA,，,BPA,,||PA222,accos,
222ab2tantan1,,,,eS,cot,.（3）.,PAB22,ba
22xy，,113、已知椭圆,a,b,0,的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点EFl22ab
的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线ClBCx,
段EF的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.
注:
在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.,17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论,
1、点P处的切线PT平分?
PFF在点P处的内角.12
2、PT平分?
PFF在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长12
轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.,内切,P在右支,外切,1
P在左支,
22xyPxy（,）P,,15、若在双曲线,a,0,b,0,上,则过的双曲线的切线方程是000022ab
xxyy00,,1.22ab
-9-
22xyPxy（,）,,16、若在双曲线,a,0,b,0,外,则过Po作双曲线的两条切线切00022ab
xxyy00点为P、P,则切点弦PP的直线方程是.,,1121222ab
22xy,,17、双曲线,a,0,b,o,的左右焦点分别为F,F,点P为双曲线上任意1222ab
2，,FPF,一点,则双曲线的焦点角形的面积为.Sbco,t12,FPF122
22xyFc（,0）,Fc（,0）Mxy（,）,,18、双曲线,a,0,b,o,的焦半径公式,（,,当在120022ab
||MFexa,，||MFexa,,Mxy（,）右支上时,,,当在左支上时,102000
||MFexa,,，||MFexa,,,,。
1020
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,
连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF?
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、A为双曲线实轴上的12顶点,AP和AQ交于点M,AP和AQ交于点N,则MF?
22xy（x,y）,,111、AB是双曲线,a,0,b,0,的不平行于对称轴的弦,M为AB的0022ab
22bxbx00中点,则,即。
KKK,,,OMABAB22ayay00
22xyPxy（,）,,112、若在双曲线,a,0,b,0,内,则被Po所平分的中点弦的方程00022ab
22xxyyxy0000,,,是.2222abab
22xyPxy（,）,,113、若在双曲线,a,0,b,0,内,则过Po的弦中点的轨迹方程是00022ab
22xxyyxy00,,,.2222abab
22xy,,1Aa（,0）,Aa（,0）1、双曲线,a,0,b,0,的两个顶点为,,与y轴平行的直线1222ab
-10-
22xy，,1交双曲线于PP时AP与AP交点的轨迹方程是.1、2112222ab
22xyAxy（,）,,12、过双曲线,a,0,b,o,上任一点任意作两条倾斜角互补的直线0022ab
2bx0交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且,常数,.k,,BC2ay0
22xy,,13、若P为双曲线,a,0,b,0,右,或左,支上除顶点外的任一点,F,F1222ab
caca,,,,,,，,PFF,，,PFF,是焦点,,,则,或,.tantcotantco,,1221ca22ca22，，
22xy,,14、设双曲线,a,0,b,0,的两个焦点为F、F,P,异于长轴端点,为双1222ab
，,FPF,，,PFF,，,FFP,曲线上任意一点,在?
PFF中,记,,,则有12121212
sin,c,,e.,,（sinsin）a,,
22xy,,1,a,0,b,0,的左、右焦点分别为F、F,左准线为L,则5、若双曲线1222ab
当1,e?
21，时,可在双曲线上求一点P,使得PF是P到对应准线距离d与PF12
的比例中项.
22xy,,16、P为双曲线,a,0,b,0,上任一点,F,F为二焦点,A为双曲线内一定1222ab
||2||||AFaPAPF,,，AFP,,AF,点,则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时,等号P2122成立.
22xy,,1AxByC，，,07、双曲线,a,0,b,0,与直线有公共点的充要条件是22ab
22222AaBbC,,.
22xy,,18、已知双曲线,b,a,0,,O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,22ab
OPOQ,且.
2211114ab22S，,,,1,;
2,|OP|+|OQ|的最小值为;
3,的最小值,OPQ222222ba,||||OPOQab
-11-
22ab是.22ba,
22xy,,19、过双曲线,a,0,b,0,的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两22ab
||PFe,.点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则||2MN
22xy,,110、已知双曲线,a,0,b,0,,A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直22ab
2222ab，ab，Px（,0）x,x,,平分线与x轴相交于点,则或.000aa
22xy,,111、设P点是双曲线,a,0,b,0,上异于实轴端点的任一点,F、F为其1222ab
22b,2，,FPF,,||||PFPF焦点记,则
（1）.
（2）.Sb,cot1212,PFF12,1cos,2
22xy,,112、设A、B是双曲线,a,0,b,0,的长轴两端点,P是双曲线上的一点,22ab
④同心圆：
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
，,PBA,,，,BPA,,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有，,PAB,
22|cos|ab,
（1）.,||PA222,|s|acco,
222ab2tantan1,,,,eS,cot,
（2）.（3）.,PAB22，ba
22xy,,113、已知双曲线,a,0,b,0,的右准线与x轴相交于点,过双曲线右El22ab
焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线ACFClBCx,经过线段EF的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交
点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连
即;
线必与焦半径互相垂直.
16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
=0<
===>
抛物线与x轴有1个交点；
e（离心率）.
-12-
（1）如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）（注:
在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.八、抛物线的常用结论,
（2）抛物线的描述：
开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。
2ac,bb42?
顶点.ay，by，c,x,（）aa42
22PP?
y,2px（p,0）则焦点半径;
x,2py（p,0）则焦点半径为.PF,x，PF,y，22?
通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
30o45o60o2x,2pt,,x,2pt22ty,2pxx,2py?
或,的参数方程为,或,,为参数,.,,2y,2pty,2pt,,
2222y,2pxy,,2pxx,2pyx,,2py
（3）当>
0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：
yy?
yy
xxx图形xOOOO
（1）定义：
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.ppppF（,0）F（,,0）F（0,）F（0,,）焦点2222
ppppx,,y,,y,x,准线2222
的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：
（利用顶点坐标）x,0,y,Rx,0,y,Rx,R,y,0x,R,y,0范围
x对称轴轴轴y
顶点,0,0,
e,1离心率
ppppPF,，xPF,，xPF,，yPF,，y焦点11112222
（一）教学重点-13-
升级会员 