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在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：
合情推理用于探索思路，发现结论；
演绎推理用于证明结论。
[2]
（一）推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中
数学学习的一项重要任务就是发展学生的数学思维能力，而推理能力又是数学思维能力的重要组成部分，它对学生的数学学习和未来发展都具有十分重要的作用。
在小学数学教学中培养推理能力，是学生形成数学素养的需要，它对学生科学思维方式的养成，特别是创新思维能力的提高有着重要意义。
这就需要广大小学数学教师高度重视推理能力的培养，将推理能力培养落实到每一堂课中，真正为学生未来的数学学习奠定扎实的基础。
（二）推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式
从学科本质上看，数学学科在培养学生推理能力方面具有不可替代性。
数学离不开推理，学习数学就是学习推理，人们通过推理形成各种命题、定理和运算法则，促进了数学的发展。
数学学习和研究从不满足于特殊情况的结果，而是通过归纳、类比等方法去探索、研究各种对象的一般规律，寻求解决问题的一般方法。
数学推理能使人的思维方式严格化，能训练心智使之正确而活泼地思考，能增进人们认识与理解事物的敏锐性[3]。
同时，推理在生活中应该广泛应用，与每个人的生活息息相关，如警察侦破案件、法官审理案件、气象专家预测天气，根据数据进行推断、根据一些生活语言类的命题进行思考等都需要推理。
因此，将推理能力视为学生数学学科核心素养加以培育，这是数学教学应然的任务。
（三）推理一般包括合情推理和演绎推理
推理的种类有很多，在数学中主要有演绎（由一般到特殊的推理）、归纳（由特殊到一般的推理）、类比（由特殊到特殊的推理）三种。
其中归纳和类比统称为合情推理，在小学数学教学中侧重于培养学生的合情推理能力，同时渗透演绎推理的思想。
1.归纳推理。
归纳推理作为合情推理的一种形式，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相关性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。
依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性[4]。
小学数学中归纳推理主要体现在法则的归纳、性质的归纳、公式的归纳、定律的归纳、规律的归纳等[5]。
比如人教版六年级上册“分数乘法”例3，教材用两个小题，由简单到复杂，结合直观操作，使学生在探索和理解分数乘法算理的基础上，再通过观察比较，一步一步总结出分数乘分数的计算方法，归纳出分数乘法的计算法则，渗透数形结合的数学思想，培养学生的逻辑推理能力。
人教版四年级下册“小数的性质”，教材安排了三个层次：
利用学生熟悉的人民币直观感知，借助长度单位初步体会，脱离具体量，借助图示从小数的计数单位间的关系进一步理解。
让学生经历猜想、操作、验证、观察等数学活动，探索发现小数的性质，积累用归纳法探索性质的经验。
人教版三年级下册“长方形、正方形面积的计算”，教材安排了三个层次：
第一层次为了体现度量的本质，呈现了两名学生用面积单位测量长方形面积的活动；
第二层次安排了用面积单位拼摆多个长方形的活动；
第三层次画出了两个长方形，要求学生量出长和宽，再计算面积。
让学生通过操作、填表、观察的活动，发现长方形面积与长、宽的关系，归纳概括出长方形面积的计算公式。
2.类比推理。
类比推理是从特殊到特殊的推理方法，即通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其他方面也可能相同或相类似的一种推理方法。
依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性[6]。
小学数学中类比推理主要体现在概念的类比、性质的类比、法则的类比、定律的类比、立体与平面的类比等[7]。
比如人教版六上“比的基本性质”，教材给出了根据比和除法的关系类推的过程，再让学生根据比和分数的关系自主探究。
引导学生联系分数、除法、比的关系，根据除法商不变的规律和分数的基本性质，进行类比推理，通过猜想、验证等方式探索比的基本性质。
人教版五上“小数乘法”，借助整数乘法的计算法则类比小数乘法的计算法则；
整数的四则运算顺序以及整数乘法的运算定律类比出在小数范围内同样适用。
3.演绎推理。
三段论是演绎推理的一般模式，包括：
大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断[8]。
在小学阶段，演绎推理一般都是基于已学习的既定法则进行简单的推理。
比如人教版一年级上册“9加几”，教材呈现了计算“9+4”的不同方法：
一种是接着数，一种是“凑十法”。
教材以实物图、语言叙述、在算式下面注出凑十的过程相对照的方式，呈现了“凑十”和口算的过程。
这样就把具体的操作过程同语言叙述的过程和抽象的计算过程对应起来，便于学生在动手、动口、动脑的活动中，理解和掌握“凑十法”，也为学生脱离实物通过思考算出得数打下基础。
再比如平行四边形的面积公式推导过程，就是将平行四边形剪拼转化成长方形后，引导学生观察原来的平行四边形和转化后的长方形，这两个图形的面积相等，平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，因为长方形的面积=长×
宽，所以平行四边形的面积=底×
高。
这个过程实际上就应用了演绎推理的方法。
二、小学生推理能力的培养策略
（一）推理能力的培养应落实到数学课程的四大领域之中
《义务教育数学课程标准（2011年版）》把推理能力的培养落实到“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域的内容当中，这四个领域都为发展学生的推理能力提供了很好的素材。
在“数与代数”教学中，许多概念、法则、性质、规律等，都可以通过对部分试题或事实进行观察、实验、猜想、比较、分析、综合、证明等教学活动，从而归纳出一般性的结论。
对于代数运算不仅要求会运算，而且要求明白算理，能说出运算中每一步依据所涉及的概念、运算律和法则。
代数不能只重视会熟练地正确地运算和解题，而应充分挖掘其推理的素材，以促进思维的发展和提高。
在“图形与几何”教学中，研究图形的性质时，通过“看”“摆”“拼”“折”“画”等活动，感知图形的性质，得出一些描述性结论。
在研究新的图形周长与面积的求法时，总要联系或转化成已知图形，然后推想出新的图形周长或面积的求法。
在“统计与概率”教学中，要让学生自己经历收集数据、整理数据、分析数据，然后作出推断和决策，这本身就属于合情推理的范围[9]。
在“综合与实践”教学中，要进一步拓宽发展学生推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“数学”，有“推理”，养成善于观察、猜测、分析、推理的好习惯。
比如人教版四年级上册“1亿有多大”，教材以图文结合的方式呈现了“1亿有多大”的主题活动，为师生揭示了活动的组织形式、活动的过程和方法。
可以通过测出100张纸或1000张纸的厚度，然后推算出1万张纸、1亿张纸的高度，进而与珠穆朗玛峰对照，感受1万米有多高，想象1亿有多大。
（二）示范引领教给学生正确的推理方法
小学生学习模仿性强，如何推理需要提出范例，然后才有可能让学生学会推理。
教学时就要有意识地结合教学内容为学生示范如何进行正确的推理。
比如人教版二年级下册“数学广角——推理”，例题呈现的信息含有3个条件，即3本书每人各拿1本，小红拿的是语文书，小丽拿的不是数学书。
学生在理解题意的基础上需要梳理信息之间的关系，寻找到解决问题的关键是从关键信息“小红拿的是语文书”入手分析，这是肯定条件。
化繁为简，将问题转化成最简单的推理问题，即“小丽和小刚拿数学书和品德与生活书，小丽拿的不是数学书”。
教学时，可以引导学生这样推理：
一是连线法。
把人名和书名写成两行，再根据每一个条件分别连线。
从“小红拿的是语文书”这一关键信息入手，小红就连语文书，确定语文书被小红拿走了，那么小丽和小刚两人就不可能拿语文书；
排除了语文书后，又根据“小丽拿的不是数学书”这一信息，排除了小丽拿数学书的可能，推出小丽只能拿品德与生活书，这又是一种排除。
语文书和品德与生活书被小红和小丽拿走了，排除这两种书后，小刚就只有拿剩下的数学书了。
二是列表法。
列表法具体思考过程与连线法类似，只是呈现形式不同（参见表1）。
最后提出关键问题：
为什么思考过程都是从“小红拿的是语文书”开始呢？
以此使学生体会到推理时首先应抓住最关键的信息，可以用“不是……就是……”“因为……所以……”“先确定一种，然后判断其他两种”“先排除什么”等方式，层层分析，最终推导出结论。
（三）注重培养学生良好的思维习惯
与推理能力密切相关的思维习惯，主要是有根有据、有条有理地思考与表达。
1.合理猜想让推之有据
猜想是形成推理的先决条件，许多数学成果都是通过猜想而发现的。
在教学中要注意引导学生去进行合理的猜想，即该种猜想并非凭空而来，而是有目的性、科学性的猜想。
在小学数学学习中，学生通过对数学事实的观察与实验、归纳与猜想、类比与联想发现数学结论的过程，就是合情推理的过程，合情推理的实质就是发现。
运用合情推理就是让学生体验数学知识的发生、发展过程，不但有利于学生发现新的数学知识，而且也有助于学生创新意识的培养。
比如教学人教版六年级下册“圆锥的体积”时，常规的教法是：
先认识圆锥，再通过出示一组等底等高的圆柱、圆锥模型，让学生观察得出这是一组等底等高的圆柱和圆锥。
最后通过做实验，从圆锥里装沙向圆柱里倒，三次刚好倒满，从而得出等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。
但根据学生的认知规律，为什么突然要去比较圆柱、圆锥体积的大小？
为什么要做这个实验？
不得而知。
做这个实验是教师强加给学生的一个数学活动，根本没有遵循学生的认知规律，是由教师牵着学生的鼻子走。
怎样才能让学生真探究呢？
可以在实验前增加一个教学环节，这样就可以让学生在“猜想”中学习新知。
首先通过课件，让学生回顾圆柱和圆锥分别是由长方形和直角三角形旋转形成的立体图形。
出示一个长方形和一个直角三角形，长方形的长边和直角三角形的高相等，长方形的短边和直角三角形的底相等。
长方形的面积和直角三角形的面积有什么关系呢？
学生直观看出直角三角形的面积是长方形的面积的二分之一，接着分别以长方形的长边和直角三角形的高为轴旋转得到了一个圆柱和圆锥，让学生观察圆柱和圆锥，想想它们之间有什么联系？
学生观察后说出两者是等底等高，接着追问：
请你猜想一下，等底等高的圆柱和圆锥体积有怎样的关系呢？
很多学生认为是pagenumber_ebook=63，pagenumber_book=59的关系，有的学生通过空间想象猜想是pagenumber_ebook=63，pagenumber_book=59的关系，还有学生猜想是pagenumber_ebook=63，pagenumber_book=59的关系，到底是pagenumber_ebook=63，pagenumber_book=59的关系、pagenumber_ebook=63，pagenumber_book=59的关系，还是pagenumber_ebook=63，pagenumber_book=59的关系呢？
再让学生利用手中的材料做实验来验证自己的猜想。
这个环节的设计真正让学生体会到了做实验来验证的必要性。
在这个教学环节中通过设置悬念、揭示矛盾，引起学生认知冲突，学生就会生疑，就会产生求知欲。
古人云：
“学起于思，思源于疑。
”只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明创造过程，就应该让合理的猜想占有适当的位置。
在教学中让学生大胆猜想、假设，实现对事物的瞬间顿悟，有利于学生创造性思维的发展。
2.准确表达让言之有理
数学需要讲道理。
帮助学生悟出数学知识蕴含的道理，能更好地把握知识的本质，促进数学素养的提高。
语言是思维的外壳，同时也是推理的外壳。
组织数学语言的过程，也就是教会学生如何判断推理的过程。
因此在教学中多追问为什么，要求学生会想、会说推理的依据，从而养成推之有据、言之有理的良好习惯。
比如教学人教版三年级上册“正方形拼图周长最短问题”时，放手让学生独立尝试，经历拼图、画图、算周长、比周长的过程，发现在小正方形个数一定的情况下，拼成的长方形长和宽越接近，其周长越短。
长与宽相差为0时就拼成了一个正方形，周长最短。
这时可以追问：
为什么长、宽越接近，周长就越短呢？
引导学生从本质上思考结论背后的原理，拼组后图形内部隐藏的边不一样，其周长也就不一样，拼组后隐藏在图形内部的小正方形的边长越多，其露在外面的边长越少，拼组后图形的周长就短。
（四）合情推理与演绎推理有机结合，不断提高推理能力
合情推理与演绎推理虽然有本质的区别，但它们又有紧密的联系。
具体来讲，一是在合情推理活动中注意应用演绎推理，使归纳、猜想、类比、联想等思维活动都有比较充分的依据，提高合情推理结论的正确性。
二是用演绎推理对合情推理得到的结论加以验证，检验合情推理结论的正确性，并促进学生逻辑思维能力的发展。
比如教学人教版五年级下册“长方体和正方体的认识”时，让学生在观察长方体棱的基础上凭直觉猜想“长方体相对的四条棱的长度可能相等”，然后引导验证：
一是通过测量验证，二是应用长方形的对边相等这一知识为依据进行推理验证，从而证明猜想结论的正确性。
学生数出长方体有12条棱后追问：
不用数，你能算出长方体共有多少条棱吗？
引导学生进行推理计算：
因为长方体有6个面，每个面有4条边，共有4×
6=24（条）边，面和面相交的线段叫作棱，也就是两条边相交成一条棱，所以共有24÷
2=12（条）棱。
学生数出8个顶点后追问：
不用数，你能算出长方体有多少个顶点吗？
因为长方体有6个面，每个面有4个顶点，共有4×
6=24（个）顶点，棱和棱的交点叫作顶点，也就是相邻3个长方形有1个顶点重合，形成长方体的1个顶点，所以共有24÷
3=8（个）顶点。
这样用推理论证的方法，从长方体的关键特征推导出了长方体棱的特征以及棱的条数和顶点的个数。
通过这样的教学活动，学生已然能冲破“看山是山，看水是水”的境界，从而直抵数学源头探求知识的本质。
总之，推理能力是学生发展的核心素养，也是小学数学教学的核心目标。
推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。
教师要坚持不懈地培养学生用推理的方式思考问题，促进学生的理性思维、逻辑思维不断发展，将使学生受益终生。
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（二）：
初中教师的数学推理信念：
个案研究论文
[摘要]数学推理信念是数学教师专业素养的重要组成部分。
以两位优秀的初中数学教师作为研究对象，采用半结构式访谈的方式，从数学推理的内涵、数学推理教学的信念以及数学推理学习的信念三个方面收集资料，对他们的数学推理信念进行了深入探讨。
研究发现，数学推理的教与学需要“重知”，需要构建支持推理的课堂文化，需要形成基于问题的学习共同体。
[关键词]数学推理；
信念；
初中数学；
推理能力；
质性研究
一、研究背景
近年来，数学课程改革及教育工作者均达成一个共识，他们都同意数学推理应该成为学生数学活动经验的中心。
这在美国（NGA&
CCSSO，2010）、英国（DepartmentforEducation，2013）、新加坡（SingaporeMinistryofEducation，2013）、中国（中华人民共和国教育部，2011）等国家和地区最新的国家数学课程中都有所体现。
特别是英国国家数学课程为所有年龄的学生设置了有关推理和证明的核心教学目标。
尽管数学推理在学校教育中的重要性越来越得到认可，但不同国家的中学生在数学推理的学习上仍面临着困难。
此外，TIMSS1995—1999的录像研究表明，很多国家的教师对于数学推理的理解和教学是存在问题的，并且错误地将数学推理置于学校教育的边缘地位。
[1]自2000年我国实行数学新课改以来，中小学数学课程形态正在逐步发生转变，推理能力作为新课程明确提出的核心概念之一，现职的初中教师对于其是如何理解的？
又是如何教学的？
很多已有研究探讨了关于数学、数学教学、数学学习，甚至于数学问题解决中的教师信念，但是数学推理相较之下就非常少。
在教师信念相关研究中，欧内斯特（Ernest，1989）认为影响数学教师教学实践最主要的因素之一是教师对于数学本质、数学教学、学生数学学习的观点。
[2]汤普逊（Thompson，1992）分析了数学教师信念的相关研究文献后指出，需要针对教师的数学信念、教师教学与学习信念进行更深入的探讨，以增进数学教学与学习的效果。
[3]赛诺芬托斯（Xenofontos，2014）和安德鲁斯（Andrews，2014）采用质性访谈的方法，从数学解题的本质、教学、学习和自我效能上分析了教师数学解题的信念。
[4]基于已有研究，笔者欲针对我国初中数学教师，从数学推理的本质、数学推理教学的信念以及数学推理学习的信念三个方面进行深入探讨。
具体而言，本研究有如下两个研究问题：
（1）初中数学教师认为何谓数学推理？
（2）初中数学教师认为数学推理如何教与学？
二、研究方法
陈向明指出，质性方法具有对教师教育研究的适切性。
[5]教师信念是教师在教学情境和教学历程中所持有的对课程、教学、学习等相关因素的思想和观点，其范围涵盖教师的教学实践经验与生活经验，构成一个互相关联的系统，从而指引着教师的思考与行为过程。
[6]在这个过程中，教师如何从“知”到“行”，个案研究方法提供了从资料收集到分析解释、产生结论的基本途径。
（一）研究对象的选择
2016年10月，我国Z市122所初中的46951名八年级学生参加了北京师范大学“区域教育质量健康体检”项目的测试。
数据发现，Z市X中学的学生在数学推理能力上的表现非常突出。
因此，笔者在该校教研室主任的帮助和推选下，选择了八年级的两位数学教师：
H老师（女，6年教龄）和S老师（女，19年教龄）。
从学生数据和教研室主任的介绍来看，这两位教师可以被认为是“能够有效促进学生数学推理能力”的优秀教师。
（二）资料收集
本研究资料收集的方式主要是半结构式访谈。
研究工具主要根据Xennfontos和Andrews针对数学教师对于数学问题解决的教师信念的访谈提纲修改而来。
以修订的访谈问题作为访谈内容的主轴，再随着研究对象的回应继续提问或加以追问，以深入收集研究对象的信息，每位教师皆以一对一的形式进行访谈，地点均选择在研究对象所在学校中安静的会议室进行，以便录音作为访谈内容的记录，而在开始访谈和录音之前，笔者均得到两位老师的授权。
访谈最终总时长为214分46秒，形成共计31526字的原始文本。
（三）资料分析
资料分析的步骤如下：
首先，依据访谈问题的三个维度进行初步的分类，分别以A、B、C代表，其中A代表数学推理的本质、B代表教师数学推理的教学、C代表学生数学推理的学习。
其次，将分类出来的资料以教师谈论不同的、有意义的话题为界限，切割成更小的段落，这些单位化的资料在此称为分析单位，这些分析单位可能是一句话、一段叙述或是一个举例等，再根据分析单位的前后顺序以阿拉伯数字依次编号，比如编码A-H-10表示在数学推理的本质下，H教师的第10个分析单位。
最后，将资料编码，根据各分析单位中的关键字词进行初步分类，经过不断的比较和调整，将类似性质的分析单位加以合并，或将多重意义的分析单位加以切割，逐渐形成类别并命名。
三、结果与分析
（一）数学推理的本质
教师对于数学推理本质的理解会影响他们对教材中推理任务的识别和应用，会影响他们对学生推理的反馈，会影响他们对学生学习推理的期望。
[7]因此，笔者首先对两位教师对数学推理的内涵和类别认识进行描述。
1.数学推理的内涵
在数学推理的内涵下，笔者从结构、思维和解决问题三个角度来编码。
（1）推理的结构
“在一个背景材料下，我们根据事件之间的联系，将整个过程进行梳理，这个过程很重要，并且我们需要追问自己推理的条件是什么？
推出的结论又是什么？
在这个过程中不断地反思和追问自己非常重要。
”（A-H-6）
“我感觉是有这个题设或者有这个条件，然后通过相关的一些知识得到一些结论。
”（A-S-16）
（2）逻辑思维的过程
“数学推理是经过综合性思考的过程。
”（A-H-2）“我觉得逻辑性也得更强一些，你得发展学生逻辑性思维嘛。
”（A-H-17）
（3）解决问题的过程
“与一般推理不同的地方在于数学推理讲究的是如何把一个实际问题数学化，并建立数学模型解决这个问题。
”（A-H-10）
“我可能想的是对于一个问题的解决过程。
”（A-S-7）
对于H和S老师而言，数学推理应该包含条件（前提）和结论，并需要运用已有知识和经验建立二者之间的逻辑关系，显然他们能清楚地识别数学推理的结构；
两位教师还提到推理是问题解决的过程，且H老师还提到了在一定背景材料下的数学化。
这与学术界从问题解决的视角关注产生推理的过程而不是结果的观点非常相似。
此外，H老师指出推理过程需要不断地反思和追问，说明H老师对于推理的理解包含了元认知的观点。
而已有研究指出，反思、评价、调节等元认知活动对于学生给出正确的推理具有重要意义。
[8]综上可知，两位教师对于数学推理内涵的把握是精准的，而且是多角度的。
2.数学推理的类别
在数学推理的类别下，笔者从推理的形式和内容两方面去进行编码。
（1）推理的形式
对于S老师来说，她对数学推理无法自行给出一个明确的分类，因此笔者给予了适当的引导。
笔者：
您认为找规律是数学推理吗？
S老师：
找规律是数学推理，需要探索其中的一般性质，发现新的结论。
（A-S-26）
那您觉得数学里的证明和找规律有什么不同呢？
证明需要有充分的前提条件，为的是验证结论的正确性。
而找规律是根据题目整体的变化趋势，找到其中一个或多个变化的量。
如果证明是依据一些定理、公理来推出结论，那找规律则是通过细致的观察发现问题中的变化趋势。
（A-S-27）
其实，S老师清楚地知道演绎和归纳的不同，按照她的观点，前者旨在验证，后者旨在探究，欠缺的仅仅是无法准确地叫出二者的正式名称。
（2）推理的内容
“如果结合数学课程的内容来对推理进行分类，我觉得推理应该包括图形推理、代数推理、规律推理等。
”（A-H-19）
显然，H老师是根据数学知识来划分推理的。
虽然H老师表示对推理的形式（演绎和归纳）并不熟悉。
但是在笔者向H老师展示了一道演绎和一道归纳的具体示例后，她能够
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