九年级上数学期中考试复习题教师版Word格式文档下载.docx
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m的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且AB=4；
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿对称轴向上平移
k个单位长度后与线段BC交于D、E两个不同的点，求k的取值范围；
（3）M为线段OB上一点（不含O、B两点）过点M作y轴的平行线交抛物线于点
N，交线段BC于点P，
若△PCN为等腰三角形，求
M点的坐标；
y
AO
x
B
E
C
D
（1）
yx2
2x3（本小题3分）
（2）0≤k＜
9
（本小题4分）
4
（3）M（2，0）或M（1，0）或M（32，0）（本小题5分）
3．已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C（0，﹣1），连接AC，AO=2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜﹣1．（Ⅰ）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（Ⅱ）若D为抛物线y=x2+bx+c上一动点，
是否存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等？
若存在，求出此时
t的值；
（Ⅲ）如图2，若E、F为上述抛物线上的两个动点，且
EF=8，线段EF的中点为M，
求点M纵坐标的最小值．
第3题
解：
（Ⅰ）∵c（0，﹣1），
∴y=x2+bx﹣1，
又∵AO=2OC，
∴点A坐标为（﹣2，0），
代入得：
1﹣2b﹣1=0，
解得：
b=0，
∴解析式为：
y=x2﹣1；
（Ⅱ）假设存在直线
l使得点
D到直线
l的距离与
OD
的长恒相等，
设D（a，
a2﹣1），
则OD=
=a2+1，
点D到直线
l的距离：
a2﹣1+|t|，
∴a2﹣1+|t|=a2+1，解得：
|t|=2，
∵t＜﹣1，∴t=﹣2，
故当t=﹣2时，直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等；
（Ⅲ）作EN⊥直线l于点N，FH⊥直线l于点H，
设E（x1，y1），F（x2，y2），
则EN=y1+2，FH=y2+2，
∵M为EF中点，
∴M纵坐标为：
==﹣2，
由
（2）得：
EN=OE，FH=OF，
∴=﹣2=﹣2，
要使
M
纵坐标最小，即
﹣2最小，
当EF过点
O时，OE+OF最小，最小值为
8，
∴M
纵坐标最小值为
﹣2=
﹣2=2．
4．如图，已知抛物线
的顶点为
A，且经过点
B（3，-3）.
（1）求顶点A的坐标；
（2）在对称轴左侧的抛物线上存在一点
P，使得∠
PAB=45°
，求点
P坐标；
（3）如图
（2），将原抛物线沿射线
OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线
OA交于C，D
两点，请问：
在抛物线平移的过程中，线段
CD的长度是否为定值？
若是，请求出这个定值；
若不是，请
说明理由．
A
O
5x
6
P
8
+3m+m-2=-3
（1）依题意-3
第24题图
（2）
第24
题图
（1）
⋯⋯⋯⋯2分
∴m=2
∴y=-x2+2x
∴顶点A（1，1）⋯⋯⋯⋯4分
（2）过B作BQ⊥BA交AP于Q，过B作GH∥y轴
分别过A，Q作AG⊥GH于G，QH⊥GH于H
∵∠PAB=45°
∴BA=BQ
∴△ABG≌△BQH
∴AG=BH=2，BG=QH=4
∴Q（-1，-5）⋯⋯⋯⋯6分
∴直线AP的解析式为y=3x-2
联立
∴-x2+2x=3x-2
∴x1=1,x2=-
⋯⋯⋯7分
∵P在对称轴左侧的抛物线上
∴P（-2，-8
）
⋯⋯⋯8分
（3）∵直线OA
的解析式为y=x
∴可设新抛物线解析式为y=-（x-a）2+a
⋯⋯⋯9分
∴-（x-a）2+a=x
∴x1=a,x2=a-1
⋯⋯⋯11分
即C,D两点横坐标的差是常数1
∴CD=⋯⋯⋯12分
G
2C
Q
6HO5x
第4题图
5．已知如图，抛物线y＝x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若A（－1，0），且OC＝3OA
（1）求抛物线的解析式
（2）
若M点为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接
AC、CM、MB，求四边形
MBAC面积的最大值
（3）
将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于
D、E，且D在N的上方．将
A点绕O顺时针旋转90°
得M，若∠NBD＝∠MBO，试求E点的坐标
（1）∵A（－1，0）
∴OA＝1，OC＝3OA＝3
∴C（0，－3）
将A（－1，0）、C（0，－3）代入y＝x2＋mx＋n中，得
1m
n0
m
n
3
，解得
∴y＝x2－2x－3
（2）令y＝0，则x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3
∴B（3，0）
∴直线BC的解析式为y＝x－3
当△BCM的面积最大时，四边形MBAC的面积最大
设M（m，m2－2m－3）
过点M作MN∥y轴交BC于N
∴N（m，m－3）
∴MN＝m－3－（m2－2m－3）＝－m2＋3m＝（m
3）2
当m＝3时，MN有最大值9
∴S△BCM的最大值为1
27
∴S四边形MBAC＝S△ABC＋S△BCM＝6
75
（3）∵OB＝OC＝ON
∴BON为等腰直角三角形
∵∠OBM＋∠NBM＝45°
∴∠NBD＋∠NBM＝∠DBM＝45
过点M作MF⊥BM交BE于F
由三垂直得，F（1，4）
∴直线BF的解析式为y＝－2x＋6
2x
联立
x2
2x3
12
∴E（－3，12）
6．已知抛物线y=ax2+2（a+1）x+（a≠0）与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交
于C点．经过第三象限中的定点D．
（1）直接写出C、D两点的坐标．
（2）当x=x0时，二次函数的值记住为y0，若存在点（x0，y0），使y0=x0成立，则称点（x0，y0）为抛物线
上的不动点，求证：
抛物线y=ax2+2（a+1）x+存在两个不动点．
（3）当△ABD的面积等于△CBD时，求a的值．
（1）y=ax2+2（a+1）x+，令x=0，解得y=，
∴C（0，），
y=ax2+2（a+1）x+
，
由题意可得：
ax2+2ax=0，
x=﹣2，或x=0（舍去）
当x=﹣2时，y=﹣
∴D（﹣2，﹣
）；
（2）由题意可得：
x0=，
△=
=4
＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根，抛物线y=ax2+2（a+1）x+存在两个不动点；
（3）如图1
连接AC，由△ABD的面积等于△CBD可知AC∥BD，
y=ax2+2（a+1）x+（a≠0），令y=0，得
x=或x=，
可知A（
，0），B（
，0），
又OC=，D（﹣2，﹣），
由AC∥BD可得，
=，
a=﹣2．
7．如图，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C（0，5）
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；
（3）在
（2）的条件下，P、Q为线段BC上两点（P左Q右，且P、Q不与B、C重合），PQ=2，在
第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△PQR为等腰直角三角形？
若存在，求出点R的坐标；
若不
存在，请说明理由．
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5）
∴，
解得．
∴此抛物线的解析式为：
y=﹣x2+4x+5；
（2）由y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9可知顶点D的坐标为（2，9），作DE⊥AB于E，交对称轴于F，如图，
∴E（2，0），
∵B（5，0），C（0，5）
∴直线BC的解析式为y=﹣x+5，
把x=2代入得，y=3，
∴F（2，3），∴DF=9﹣3=6，
S△BCD=S△CDF+S△BDF=×
6×
2﹣×
（5﹣2）=×
5=15；
（3）分三种情况：
①以点P为直角顶点，
∵PQ=2，
∴RQ=PQ=4
∵C（0，5），B（5，0），∴OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°
，∵∠RQP=45°
∴RQ∥OC
可求得直线BC的解析式为y=﹣x+5，
设R（m，﹣m2+4m+5），则Q（m，﹣m+5）则RQ=（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）=4
解得m1=4，m2=1，
∵点Q在点P右侧，
∴m=4，
∴R（4，5）；
②以点R为直角顶点，
∴RQ=PQ=2
设R（m，﹣m2+4m+5）则Q（m，﹣m+5），则RQ=（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）=2，
解得m1=，m2=，
∴m=
∴R（
③以点Q为直角顶点，
∵PQ=2∴PR=PQ=4
∵C（0，5），B（5，0）
∴OC=OB=5
∵∠RPQ=45°
，
∴PR∥OB
设R（m，﹣m2+4m+5），则P（m﹣4，﹣m2+4m+5），
把P（m﹣4，﹣m2+4m+5）代入y=﹣x+5，得﹣（m﹣4）+5=﹣m2+4m+5
此时点P（0，5）
因为点P在线段BC上运动，且不与
B、C重合，所以不存在以
Q为直角顶点的情况．
综上所述：
当R（4，5）或（（，）时，△PQR为等腰直角三角形．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：
y＝m（x－2）2与坐标轴交于A、B两点，点P（－3，0）且PA＝
PB
（1）求点A、B的坐标及m的值
（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2，若抛物线C2经过点P且与x轴有另一个交点Q，点B的对应点为B′，当△B′PQ为等腰直角三角形时，求抛物线C2的解析式
（3）若抛物线C3：
y＝ax2＋bx＋c过点P且与x轴交于另一点E，抛物线的顶点为D，当△DPE为等腰直角三角形时，求b2－4ac的值
（1）A（0，4）、B（2，0）
提示：
PA＝PB＝5，OP＝3将A（0，4）代入中y＝m（x－2）2得，m＝1
（2）设抛物线C2的解析式为y＝（x－a）2＋k∴B′（a，k）
∵△B′PQ是等腰直角三角形∴－k＝a－（－3），k＝－a－3
∴y＝（x－a）2－a－3将P（－3，0）代入y＝（x－a）2－a－3中得
（－3－a）2－a－3＝0，解得a1＝－2，a2＝－3
∵a＞－3
∴a＝－2
∴抛物线C2的解析式为y＝（x＋2）2－1
9．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC＝2OB
（1）求此二次函数的解析式
动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点
A顺时针旋转，与直线
AB重合时终止运动，直线
l与BC
交于点D，P是线段AD的中点
①
直接写出点P所经过的路线长_________
②
点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转中，∠EPF
的大小是否发生变化？
若不变，求∠
EPF的度数；
若变化，请说明理由
③
在②的条件下，连接EF，求EF的最小值
10．如图，抛物线y=（x+m）2+m，与直线y=﹣x相交于E，C两点（点
轴交于A，B两点（点A在点B的左边）
（1）若抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），求m的值；
（2）H为抛物线的对称轴上一点，且HA=HC，若抛物线的对称轴与直线
①求证：
HA=HM；
②过点M作MD⊥OC于D，若DE=2EC，求CM的长．
E在点C的左边），抛物线与x
y=1相交于点M，
（1）把（0，2）代入y=（x+m）2+m，得到2=m2+m，
解得m=﹣1或2（舍弃）
∴m=﹣1．
（2）①如图1中，连接AH，设AH=HC=a，CN交AB于K，
由题意；
C（﹣m，m），M（﹣m，1），A（﹣m﹣，0）（m＜0），CM=1﹣m，
在Rt△AKH中，∵AH2=AK2+KH2，
∴x2=（）2+（﹣m﹣x）2，
解得x=，
∵CM=1﹣m，
∴CH=CM，
∴CH=HM=AH，
∴AH=HM．
②如图2中，
由，消去y得到：
x2+（2m+1）x+m2+m=0，
解得x=﹣m或﹣m﹣1，
∴E（﹣m﹣1，m+1），C（﹣m，m），
∴EC=
∵DE=2EC，
∴DE=2，
∵MD⊥CD，∠DCM=45°
∴CD=DM=3
∴CM=
CD=6，
∴1﹣m=6，
∴m=﹣5．
11．如图
1，在平面直角坐标系中，抛物线
C1：
y=ax2+bx﹣a2关于
y轴对称且有最小值﹣
1．
（1）求抛物线
C1的解析式；
（2）在图
1中抛物线
C1顶点为
A，将抛物线
C1绕
点B
旋转
180°
后得到抛物线
C2，直线
y=kx﹣2k+4
总
经过一定点
M，若过定点
M的直线与抛物线
C2只有一个公共点，求直线
l的解析式．
（3）如图
2，先将抛物线
C1向上平移使其顶点在原点
O，再将其顶点沿直线
y=x
平移得到抛物线
C3，设
抛物线
C3与直线
交于
C、D
两点，求线段
CD的长．
（1）∵抛物线的对称轴为
∴﹣=0，解得b=0．
y轴，
∴抛物线的解析式为y=ax2﹣a2，
∴当x=0抛物线有最小值，即﹣a2=﹣1，解得：
a=1或a=﹣1（舍去）．
∴抛物线C1的解析式y=x2﹣1．
（2）∵抛物线C1的解析式y=x2﹣1，
∴A（0，﹣1）．
设抛物线C1与x轴的令一个交点为D．
令y=0得：
x2﹣1=0，解得：
x=±
∴D（﹣1，0）．
将抛物线C1绕点B旋转180°
后得到抛物线C2，
∴点D对应点的坐标为（3，0），点A对应点的坐标为（2，1）．
设C2的解析式为y=m（x﹣3）（x﹣1），将（2，1）代入得：
﹣m=1，解得m=﹣1．∴C2的解析式为y=﹣x2+4x﹣3．
∵直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M，
∴定点M为（2，4），
①经过定点M（2，4），与y轴平行的直线l：
x=2与抛物线C3总有一个公共点（2，1）．
②将y=kx﹣2k+4与y=﹣x2+4x﹣3联立得：
﹣x2+4x﹣3=kx﹣2k+4，整理得：
x2﹣（4﹣k）x+7﹣2k=0．
∵过定点M的直线与抛物线C2只有一个公共点，
∴△=k2﹣12=0，解得
k=±
．
∴过定点
M的直线的解析式为
y=2
x+4﹣4
或y=﹣2
x+4+4
综上所述，过定点
M，共有三条直线
l：
x=2
或
x+4﹣4
，它们分别与抛
物线
C3只有一个公共点．
（3）以平移后抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系，则直线和抛物线在新坐标系的解析式为
y=x2与
y=x．
将y=x2与y=x．联立，解得：
∴点
C和点
D在新坐标系内的坐标分别为（
0，0），（1，1）．
∴CD=
12．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动（点C与A，点D与B不重
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