人教A版高中数学必修五第一章检测试题Word格式文档下载.docx

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综合问题

5、7、9

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分）

1.在△ABC中,A∶B∶C=4∶1∶1,则a∶b∶c等于（　A　）

（A）∶1∶1（B）2∶1∶1

（C）∶1∶2（D）3∶1∶1

解析:

由A∶B∶C=4∶1∶1知A=120°

B=30°

C=30°

所以a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC

=∶∶

=∶1∶1,

故选A.

2.（2014菏泽高二期末）在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,c·

cosA=b,则△ABC（　C　）

（A）一定是锐角三角形

（B）一定是钝角三角形

（C）一定是直角三角形

（D）一定是斜三角形

∵c·

cosA=b,

∴c·

=b,

∴b2+c2-a2=2b2,

∴a2+b2=c2.故选C.

3.在△ABC中,a=6,B=30°

C=120°

则△ABC的面积为（　C　）

（A）9（B）8（C）9（D）18

由条件知A=180°

-30°

-120°

=30°

∴b=a=6,

∴S△ABC=absinC=×

6×

=9.故选C.

4.在三角形ABC中,若三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,a=1,c=4,B=45°

则sinC的值等于（　B　）

（A）（B）（C）（D）

由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,

所以b2=1+32-2×

1×

4×

=25,

因此b=5,由正弦定理得=,

所以sinC===,故选B.

5.已知△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且A=2B,a=b,则cosB等于（　D　）

由a=b得sinA=sinB,

即sin2B=sinB,

于是2sinBcosB=sinB,cosB=,故选D.

6.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2-c2=4,且C=60°

则ab的值为（　A　）

（A）（B）8-4

（C）1（D）

由已知得a2+b2-c2+2ab=4,

由于C=60°

所以cosC==,

即a2+b2-c2=ab,因此ab+2ab=4,ab=,故选A.

7.（2013泉州一中高二期中）△ABC中,下列说法正确的是（　C　）

（A）asinA=bsinB

（B）若a2+b2>

c2,则△ABC为锐角三角形

（C）若A>

B,则sinA>

sinB

（D）若sinB+sinC=sin2A,则b+c=a2

对于选项C,

∵A>

B,∴a>

b,

∴由正弦定理得2RsinA>

2RsinB,

∴sinA>

sinB.故选C.

8.在△ABC中,若（a-acosB）sinB=（b-ccosC）sinA,则这个三角形是（　D　）

（A）底角不等于45°

的等腰三角形

（B）锐角不等于45°

的直角三角形

（C）等腰直角三角形

（D）等腰三角形或直角三角形

∵（a-acosB）sinB=（b-ccosC）sinA,

∴asinB-acosBsinB=bsinA-ccosCsinA,

由正弦定理可得asinB=bsinA,

∴acosBsinB=ccosCsinA,

即sinAsinBcosB=sinCsinAcosC.

∵sinA≠0,∴sin2B=sin2C,

∴2B=2C或2B+2C=π,∴B=C或B+C=,

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.

9.（2014山东潍坊高二质检）在三角形ABC中,已知三边之比a∶b∶c=2∶3∶4,则的值等于（　B　）

（A）1（B）2（C）-2（D）

由已知不妨设a=2k,b=3k,c=4k（k>

0）,

所以cosC==-,

于是=

=

==2,故选B.

10.（2013厦门六中期中）甲船在岛B的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°

的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是（　C　）

（A）21.5分钟（B）分钟

（C）分钟（D）2.15分钟

如图所示,设甲船行至C点,乙船行至D点时甲、乙两船相距最近,它们所航行的时间是x小时,则

|CD|2=（10-4x）2+（6x）2-2（10-4x）·

6x·

cos120°

=28x2-20x+100,

∴当x=小时,即分钟时,|CD|2取最小值,即两船相距最近.故选C.

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）

11.在△ABC中,已知b2+c2=bc+a2,则角A的大小为　　　　. 

由已知得b2+c2-a2=bc,

于是cosA===,故A=60°

.

答案:

60°

12.在△ABC中,若b=5,∠B=,sinA=,则a=　　　　. 

由正弦定理有=,

即=,得a=.

13.（2014宁德质检）锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asinB=b,b+c=5,bc=6,则a=　　　　. 

∵2asinB=b,

∴2sinAsinB=sinB,

∴sinA=,

∵△ABC是锐角三角形,

∴cosA=,

∵bc=6,b+c=5,

∴b=2,c=3或b=3,c=2.

∴a2=b2+c2-2bccosA

=22+32-2×

=7.

∴a=.

14.（2013衡水中学高二第一次调研）一船以每小时15km的速度向东航行,在A处看到一个灯塔B在北偏东60°

行驶4h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°

这时船与灯塔距离为　　　　km. 

如图所示,由题意可知,

AC=15×

4=60（km）,

∠CAB=30°

∠ACB=105°

∴∠ABC=180°

-105°

=45°

在△ABC中,由正弦定理知

=,

∴BC===30（km）.

30

三、解答题（本大题共4小题,共50分）

15.（本小题满分12分）

（2014珠海高二期末）在△ABC中,若a=1,b=,

（1）若B=45°

求角A;

（2）若c=,求角C.

解:

（1）由正弦定理得=,

∴sinA===,

∴A=30°

（2）cosC===-,

∴C=135°

16.（本小题满分12分）

在△ABC中,求证:

acos2+ccos2=（a+b+c）.

证明:

法一　

左边=a·

+c·

=+acosC+ccosA

=+（a·

）

=+

==右边.

∴等式成立.

法二　由正弦定理得

a=2RsinA,c=2RsinC,

代入等式左边,

左边=2RsinA·

+2RsinC·

=R（sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC）

=R（sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC）

=R[sinA+sinC+sin（A+C）]

=R（sinA+sinC+sinB）

==右边,

17.（本小题满分12分）

（2014新余高二期末）在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=.

（1）若△ABC的面积等于,求a,b;

（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A,求△ABC的面积.

（1）由余弦定理及已知条件得,

a2+b2-ab=4,

又因为△ABC的面积等于,

所以absinC=,得ab=4.

联立方程组

解得a=2,b=2.

（2）由题意得sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA,

即sinBcosA=2sinAcosA,

当cosA=0时,A=,B=,

a=,b=,

当cosA≠0时,得sinB=2sinA,

由正弦定理得b=2a,

解得a=,b=.

所以△ABC的面积S=absinC=.

18.（本小题满分14分）

如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°

方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2

小时追上.

（1）求渔船甲的速度;

（2）求sinα的值.

（1）依题意,∠BAC=120°

AB=12海里,AC=10×

2=20（海里）,

∠BCA=α.

在△ABC中,由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2AB×

AC×

cos∠BAC

=122+202-2×

12×

20×

=784.

解得BC=28（海里）,

所以渔船甲的速度为=14（海里/小时）.

（2）法一　在△ABC中,AB=12,∠BAC=120°

BC=28,∠BCA=α,由正弦定理,得=.

即sinα===.

法二　在△ABC中,

因为AB=12,AC=20,BC=28,∠BCA=α,

由余弦定理,得cosα=,

即cosα==.

所以sinα===.