1工程问题已整理Word格式文档下载.docx

1工程问题已整理Word格式文档下载.docx

《1工程问题已整理Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1工程问题已整理Word格式文档下载.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

　　答：

乙需要做4天可完成全部工作.

　　解二:

9与6的最小公倍数是18。

设全部工作量是18份。

甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是

　　（18—2×

3）÷

3=4（天）.

　　解三：

甲与乙的工作效率之比是

　　6∶9=2∶3。

　　甲做了3天,相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.

　　例2一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成。

如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

　　解:

共做了6天后,

　　原来，甲做24天,乙做24天,

　　现在,甲做0天,乙做40=（24+16）天.

　　这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的

　　如果乙独做，所需时间是

　　如果甲独做,所需时间是

甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.

　　例3某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；

如果由甲、乙两人合作,需48天完成。

现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天?

先对比如下:

　　甲做63天，乙做28天；

　　甲做48天，乙做48天.

　　就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48—28=20（天），由此得出甲的

　　甲先单独做42天，比63天少做了63—42=21（天），相当于乙要做

　　因此,乙还要做

　　28+28=56（天）.

乙还需要做56天.

　　例4一件工程,甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。

现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？

　　解一：

甲队单独做8天,乙队单独做2天，共完成工作量

　　余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是

　　2+8+1=11（天）.

从开始到完工共用了11天。

　　解二：

设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后,还需两队合作

　　（30—3×

8-1×

2）÷

（3+1）=1（天）.

甲队做1天相当于乙队做3天.

　　在甲队单独做8天后,还余下（甲队）10-8=2（天）工作量.相当于乙队要做2×

3=6（天）.乙队单独做2天后,还余下（乙队）6—2=4（天）工作量。

　　4=3+1,

　　其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.

　　例5一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成。

现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天。

从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？

解一：

如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是

　　由于两队休息期间未做的工作量是

　　乙队休息期间未做的工作量是

　　乙队休息的天数是

乙队休息了5天半。

设全部工作量为60份.甲每天完成3份,乙每天完成2份。

　　两队休息期间未做的工作量是

　　（3+2）×

16-60=20（份）.

　　因此乙休息天数是

　　（20-3×

2=5。

5（天）。

甲队做2天，相当于乙队做3天.

　　甲队休息3天,相当于乙队休息4.5天.

　　如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量,相当于乙队6天工作量，乙休息天数是

　　16-6—4。

5=5.5（天）。

　　例6有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；

李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.

　　设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.

　　8天，李就能完成甲工作。

此时张还余下乙工作（60-4×

8）份.由张、李合作需要

　　（60—4×

8）÷

（4+3）=4（天）.

　　8+4=12（天）。

这两项工作都完成最少需要12天。

　　例7一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作,他

　　要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？

　　解：

设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份。

　　两人合作,共完成

　　3×

0.8+2×

0。

9=4。

2（份）。

　　因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是

　　（30—3×

（4.2-3）=5（天）.

　　很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.

　　例8甲、乙合作一件工作,由于配合得好，甲的工作效率比单独做时

　　如果这件工作始终由甲一人单独来做,需要多少小时？

乙6小时单独工作完成的工作量是

　　乙每小时完成的工作量是

　　两人合作6小时，甲完成的工作量是

　　甲单独做时每小时完成的工作量

　　甲单独做这件工作需要的时间是

甲单独完成这件工作需要33小时。

　　这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每

　　有一点方便，但好处不大.不必多此一举.

二、多人的工程问题

　　我们说的多人,至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.

　　　例9一件工作，甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成。

问甲一人独做需要多少天完成？

设这件工作的工作量是1。

　　甲、乙、丙三人合作每天完成

　　减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成

甲一人独做需要90天完成。

　　例9也可以整数化，设全部工作量为180份,甲、乙合作每天完成5份,乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？

　　例10一件工作，甲独做要12天,乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？

甲做1天，乙就做3天，丙就做3×

2=6（天）.

　　说明甲做了2天，乙做了2×

3=6（天），丙做2×

6=12（天），三人一共做了

　　2+6+12=20（天）。

完成这项工作用了20天。

　　本题整数化会带来计算上的方便.12，18,24这三数有一个易求出的最小公倍数72。

可设全部工作量为72。

甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.总共用了

　　例11一项工程,甲、乙、丙三人合作需要13天完成。

如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天?

丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷

2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天,甲的工作效率是乙的工作效率的3倍。

　　他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要

甲独做需要26天.

　　事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天。

三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量,可转化为甲再做13天来完成。

　　例12某项工作，甲组3人8天能完成工作,乙组4人7天也能完成工作。

问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？

　　解一:

设这项工作的工作量是1。

　　甲组每人每天能完成

　　乙组每人每天能完成

　　甲组2人和乙组7人每天能完成

　　答:

合作3天能完成这项工作.

甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；

乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.

　　现在已不需顾及人数，问题转化为：

　　甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？

　　小学算术要充分利用给出数据的特殊性。

解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好,很快就能得出答数。

　　例13制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个。

问丙车间制作了多少个零件？

仍设总工作量为1.

　　甲每天比乙多完成

　　因此这批零件的总数是

　　丙车间制作的零件数目是

丙车间制作了4200个零件。

10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份,由此得出乙每天完成2份.

　　乙、丙一起，8天完成。

乙完成8×

2=16（份）,丙完成30-16=14（份），就知

　　乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.

　　已知

　　甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.

　　综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是

　　12∶8∶7。

　　当三个车间一起做时,丙制作的零件个数是

　　2400÷

（12—8）×

7=4200（个）.

　　例14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运。

最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

解：

设搬运一个仓库的货物的工作量是1。

现在相当于三人共同完成工作量2,所需时间是

丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时。

　　解本题的关键,是先算出三人共同搬运两个仓库的时间。

本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60。

甲每小时搬运6，乙每小时搬运5，丙每小时搬运4。

　　三人共同搬完，需要

　　60×

2÷

（6+5+4）=8（小时）。

　　甲需丙帮助搬运

　　（60-6×

8）÷

4=3（小时）.

　　乙需丙帮助搬运

　　（60—5×

4=5（小时）.

三、水管问题

　　从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的。

水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率。

至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.

　　例15甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？

　　甲每分钟注入水量是

　　乙每分钟注入水量是

　　因此水池容积是

水池容积是27立方米.

　　例16有一些水管，它们每分钟注水量都相等。

现在

　　按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管?

开始时打开6根水管.

　　例17蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管。

要灌满一池水，单开甲管需3小时,单开丙管需要5小时。

要排光一池水,单开乙管需要

　　、乙、……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？

　　，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。

　　以后（20小时）,池中的水已有

　　此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：

一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？

　　看起来它每小时只往上爬3-2=1（尺）,但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口.

　　因此，答案是28小时，而不是30小时。

　　例18一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空。

现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？

先计算1个水龙头每分钟放出水量.

　　2小时半比1小时半多60分钟,多流入水

　　4×

60=240（立方米）.

　　时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是

　　240÷

（5×

150-8×

90）=8（立方米）,

　　8个水龙头1个半小时放出的水量是

　　8×

8×

90，

　　其中90分钟内流入水量是4×

90，因此原来水池中存有水8×

90-4×

90=5400（立方米）。

　　打开13个水龙头每分钟可以放出水8×

13，除去每分钟流入4,其余将放出原存的水，放空原存的5400,需要

　　5400÷

（8×

13-4）=54（分钟）.

打开13个龙头，放空水池要54分钟。

　　水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.

　　例19一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空。

问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空?

设满水池的水量为1.

　　A管每小时排出

　　A管4小时排出

　　因此，B，C两管齐开，每小时排水量是

　　B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是

B，C两管齐开要4小时48分才将满池水排完。

　　本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1"

.但这两种量要避免混淆。

事实上,也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数24。

　　17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题。

从本质上讲,与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：

原有草、新长出的草、牛吃掉的草。

这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的。

　　例20有三片牧场，场上草长得一样密,而且长得一

　　草；

21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？

吃草总量=一头牛每星期吃草量×

牛头数×

星期数。

根据这一计算公式,可以设定“一头牛每星期吃草量"

作为草的计量单位.

　　原有草+4星期新长的草=12×

4.

　　原有草+9星期新长的草=7×

9。

　　由此可得出，每星期新长的草是

　　（7×

9-12×

4）÷

（9-4）=3.

　　那么原有草是

　　7×

9—3×

9=36（或者12×

4-3×

4）。

　　对第三片牧场来说,原有草和18星期新长出草的总量是

　　这些草能让

　　90×

7.2÷

18=36（头）

　　牛吃18个星期.

36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.

　　例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的"

具体地求出来，把“原有的”与“新长的"

两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一个条件，例如:

“打开B管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的"

与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求,是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗?

　　“牛吃草"

这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子。

　　例21画展9点开门，但早有人排队等候入场。

从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。

如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分？

设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位。

　　从9点至9点9分进入观众是3×

9，

　　从9点至9点5分进入观众是5×

5。

　　因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是

　　（3×

9—5×

5）÷

（9—5）=0.5。

　　9点前来的观众是

　　5×

5-0。

5×

5=22.5.

　　这些观众来到需要

　　22。

5÷

0.5=45（分钟）.

第一个观众到达时间是8点15分。