全等提高练习题和答案Word格式.docx

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，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

4．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　　　　　　，QE与QF的数量关系式　　　　　　；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时

（2）中的结论是否成立？

请画出图形并给予证明．

5．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°

，连接CF．

（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：

①BD=CF；

②AC=CF+CD；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？

若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

6．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：

MB=MC．

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．

（3）在

（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则

（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？

说明理由．

7．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°

，∠BDC=120°

，BD=DC．探究：

当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

（1）如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=　　　　　　；

（2）如图2，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是　　　　　　；

此时

=　　　　　　；

（3）点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想

（2）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明．

8．问题情境：

将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°

，CA=CB，∠FDE=90°

，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．

探究展示：

小宇同学展示出如下正确的解法：

解：

OM=ON，证明如下：

连接CO，则CO是AB边上中线，

∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）

∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）

反思交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：

　　　　　　；

依据2：

　　　　　　．

（2）你有与小宇不同的思考方法吗？

请写出你的证明过程．

拓展延伸：

（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

9．如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．

（1）求证：

△ADF≌△CBE；

（2）求正方形ABCD的面积；

（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．

10．已知，如图△ABC中，∠ABC=45°

，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．

求证：

（1）BF=AC；

（2）CE=

BF．

11．

（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°

，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD．

EF=BE+FD；

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°

∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°

，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=

若成立，请证明；

若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

12．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°

，直线BM⊥BC，点P是线段AB上一动点，过P点作直线PD⊥PC交直线BM于点D，过P点作线段BC的平行线EF交AC于E，交直线BM于F．

（1）△PFB是　　　　　　三角形；

（2）试说明：

△CEP≌△PFD；

（3）当点D在线段FB上时，设AE=x，PC2为y，请求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（4）当点P在线段AB上移动时，点D也随之在直线BM上移动，则△PBD是否有可能成为等腰三角形？

如果能，求出所有能使△PBD成为等腰三角形时的AE的长；

如果不可能，请说明理由．

13．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°

，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．

DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：

ME=BD．

14．已知：

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°

，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：

AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．

15．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．

△ACD≌△BCE；

（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．

16．

（1）如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．

①求证：

△ABP≌△ACQ；

②若AB=6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．

（2）已知，△EFG中，EF=EG=13，FG=10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF′G′的位置，点M是边EF′与边FG的交点，点N在边EG′上且EN=EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．

17．如图，△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，点D在直线BC上，△ADE是等腰直角三角形，∠DAE=90°

，AD=AE，连接CE．

（1）当点D在线段BC上时（如图1），求证：

DC+CE=

AC；

（2）当点D在线段CB延长线上时（如图2）；

当点D在线段BC延长线上时（如图3），探究线段DC、CE、AC之间的数量关系分别为，图2：

图3：

18．已知：

如图

（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°

．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．

（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；

（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；

（3）如图

（2），现有∠MCN=60°

，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°

＜旋转角＜60°

），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？

若没有变化，请求出其周长；

若发生变化，请说明理由．

19．如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．

（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．

（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？

（3）若∠MON=45°

，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．

20．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°

，则∠BCE=　　　　　　度；

（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．

①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？

请说明理由；

②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？

请直接写出你的结论．

21．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°

，∠A=∠D=30°

，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

AF+EF=DE；

（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°

＜α＜60°

，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在

（1）中猜想的结论是否仍然成立；

（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°

＜β＜180°

，其它条件不变，如图③．你认为

（1）中猜想的结论还成立吗？

若成立，写出证明过程；

若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

22．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°

，∠α=90°

则BE　　　　　　CF；

EF　　　　　　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如图2，若0°

＜∠BCA＜180°

，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　　　　　　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

23．操作：

如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°

的等腰三角形，以D为顶点作一个60°

角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．

探究：

线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

说明：

（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明

（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

注意：

选取①完成证明得10分；

选取②完成证明得5分．

AN=NC（如图②）；

②DM∥AC（如图③）．

附加题：

若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．

24．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．

EF⊥AD；

（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．

25．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB=80°

，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA=30°

，∠EBA=20°

，求∠BED的度数．

26．图1、2是两个相似比为1：

的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．

（1）图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4，①求证：

DE=DF．②求证：

AE2+BF2=EF2；

（2）在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，证明结论：

AE2+BF2=EF2仍成立．

27．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°

，点O为AC中点，点E为线段BC上一点，∠EOF=90°

，OF交AB于点F，试给出线段AF、FE、EC之间的数量关系并证明．

28．如图，在△ABC中，已知∠DBC=60°

，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC

（1）证明：

△C′BD≌△B′DC；

（2）证明：

△AC′D≌△DB′A；

（3）对△ABC、△ABC′、△BCA′、△CAB′，从面积大小关系上，你能得出什么结论？

29．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（0，5）．直线m过点A且垂直于x轴．点p在线段OA上运动（含O、A），点Q是直线m上的动点，且线段PQ=AB．问点P、Q在运动过程中是否存在使△ABO和△QPA全等情况？

如果存在请求出点P、Q的坐标；

不存在请说明理由．

30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且

，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．

（1）求OA、OB的长；

（2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；

（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？

若存在，请求出t的值；

若不存在，请说明理由．

2015年最新全等提高练习题参考答案

1．（1，4），（

，5），（0，10）

2．垂直相等3．DE∥ACS1=S24．AE∥BFQE=QF5．　　　6．　　　7．6BM+CN=MN

8．等腰三角形的三线合一（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）角平分线上的点到角的两边的距离相等9．　　　10．　　　11．　　　12．等腰直角13．　　　14．　　　15．　　　16．　　　17．DC-CE=

ACCE-DC=

AC18．　　　19．　　　20．9021．　　　22．==∠α+∠BCA=180°

23．　　　24．　　　25．　　　26．　　　27．　　　28．　　　29．　　　30．