和差倍问题四年级.docx

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和差倍问题四年级

和差倍问题是指已知几个数的和、差或它们的倍数关系（其中的两项），求这几个数的应用题。

包括和倍问题、差倍问题、和差问题这三类应用题，及可以转化为这三类应用题的比较复杂的倍数问题。

这几类应用题有比较相似的数量关系和解题思路，列方程来解非常简单，但四年级孩子没有学过方程法解题，需要根据数量关系逆向推理，列综合算式解答。

教学中常常采用画线段图的方法来分析各种数量间的关系，帮助孩子理解题意，寻找解题途径。

解题关键是，要在题目中确定一个数量为标准（常以最小数为标准，即1倍量），把标准量看作一份，再根据其它数量与标准量的倍数关系，找出几个数量的和、差或（和+差）、（和-差）对应的份数，通过除法计算先求出标准量，再算出其它相关数量。

涉及两个数的和差倍问题，最基本数量关系有以下3组：

1和倍问题：

已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求这两个数。

和*（倍数+1）=小数；小数X倍数=大数。

2差倍问题：

已知大小两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

差*（倍数-1）=小数；小数X倍数=大数。

3和差问题：

已知大小两个数的和与两个数的差，求这两个数。

（和+差）-2=大数；（和-差）十2=小数。

在二、三年级奥数课堂已经学过简单的和差倍问题，本册教材《奥赛天天练》用四讲内容来分类讲述复杂一点的和差倍问题：

第7讲《和倍问题》、第8讲《差倍问题》、第9讲《和差问题》、第10讲《复杂的倍数问题》。

《奥赛天天练》第7讲，模仿训练，练习1

题目】：

一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？

【解析】：

先求出长方形长和宽的和：

36-2=18（厘米）；

把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长

方形的宽是：

18-（2+1）=6（厘米）；

长是：

6X2=12（厘米）；

这个长方形的面积是：

12X6=72（平方厘米）。

《奥赛天天练》第7讲，模仿训练，练习2

【题目】：

北京路小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。

已知红花的朵

数比黄花的2倍少30朵。

问两种花各有多少朵？

【解析】：

我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：

黄花朵数,I11

纱卜共300朵

红花朵数二（—十4』J

少30星

从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。

所以

黄花朵数为：

红花朵数为：

300-110=190（朵）。

《奥赛天天练》第7讲，巩固训练，习题1【题目】：

被除数、除数、商3个数的和是212。

已知商是2，被除数和除数各是多少？

【解析】：

由商是2，可得被除数与除数的和为：

212-2=210；且被除数是除数的2倍。

把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：

210-（2+1）=70;被除数为：

70X2=140。

《奥赛天天练》第7讲，拓展提高，习题1

【题目】：

5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。

每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？

【解析】：

5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量

和为：

75-5=15（千克）。

把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：

15-（2+1）=5（千克）;

每箱苹果重量为：

5X2=10（千克）。

《奥赛天天练》第7讲，拓展提高，习题2

【题目】：

甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？

解析】：

我们把丙数看作一份，画出线段图如下:

丙数：

1

1

1

乙数；1—

11购少4

利是183

甲数：

T

11

11」

■>

假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份，则这时候三个数的

总和为：

183+4-7=180,和对应的份数为：

1+2+3=&

所以，一份数即丙数为：

180-6=30;

乙数为：

30X2-4=56;

甲数为：

30X3+7=97。

1、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而减数是差的3倍，那么差等于多少？

分析：

这是一个和倍问题。

减数是差的3倍，那么被减数就是差的4倍，所以被减数、减

数与差的和就是差的8倍，应该等于120，所以差=120-8=15。

解：

120-（1+3+1+2）=15

答：

差等于15o

2、甲、乙、丙共有100本课外书。

甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，余数也都是1。

那么乙有多少本书？

分析：

这是和倍问题。

可以这样理解，甲、乙、丙3个数是100，甲是乙的5倍多1,丙

是甲的5倍多1，求甲、乙、丙各是几？

”即:

乙是1倍；甲是乙的5倍多1;丙是乙的（5X5）倍多（1X5+1）6。

那么100减去（1+6）的差对应（1+5+5X5）倍，这样可求岀乙是多少。

解：

]100—1—（1X5+1）]-（1+1X5+1X5X5）=91-31=3（本）

答：

乙有3本书。

3、用中国象棋的车，马，炮分别表示不同的自然数。

如果：

车-马=2，炮-车=4,炮一马=56，那么车+马+炮”等于多少？

分析：

这是一个差倍问题。

依题有，马是1倍，车是马的2倍，炮是车的4倍，所以炮与

马的倍数差是（2X4—1）7倍，而炮与马的两数差是56，根据差倍问题的公式就可分别求岀车、马、炮的值。

解：

56-（8—1）=8——马；

8X2=16——车

16X4=64——炮

8+16+64=88——车+马+炮

答：

车、马、炮的和是88

4、甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同，若甲每天增加自学时间半小时，乙每天

减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相等于甲自学一天的时间。

问：

甲、乙原计划每

天自学多少分钟？

分析：

差倍问题。

原来时间相同，现甲多半小时，乙少半小时，现在的两数差是（30+30）

60分钟，现在的差数差是（6—1）5倍，这样可求岀现乙每天自学的时间，加上30分钟，可

得原计划每天自学时间。

解：

（30+30）-（6—1）+30=12+30=42（分钟）

答：

原计划每天自学42分钟。

5、.三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。

分析：

要点：

先把一，二小组看成一个整体！

把第三小组看成一个整体，我们把这种方法叫化三为二"即把三个问题转换成二个问题，先求岀第一，二小组的人数，再求岀第一小组的人数。

这也是一个和差问题。

解：

（180+20）吃=100（人）——第一，二小组的人数

（100—2）勺=49（人）——第一小组的人数

答：

第一小组的人数是49人。

6•有50名学生参加联欢会，第一个到会的女同学同全部男生握过手，第二个到会的女生只差一个男生没握过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，以此类推，最后一个到会

的女生同7个男生握过手。

问这些学生中有多少名男生？

分析：

这是和差问题。

我们可以这样想：

如果这个班再多6个女生的话，最后一个女生就

应该只与1个男生握手，这时，男生和女生一样多了，所以原来男生比女生多（7—1）=6个

人！

解：

（50+6）吃=28（人）。

答：

男生人数28人。

涉及4个或4个以上对象数量关系的复杂和差倍问题。

7、有货物108件，分成四堆存放在仓库时，第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半，

比第三堆的件数少2，比第四堆的件数多2.问每堆各存放多少件？

分析：

如果我们把第一堆看成1倍，那么可以算岀第二堆就是（2X2）4倍，第三堆是2

倍多2件，第四堆是2倍少2件，那么一共就刚好是1+4+2+2=9倍（第三堆和第四堆刚好

一个多2件一个少2件正好抵消），那么1倍就是108+9=12件，第二堆就是12X4=48件,第三堆就是12X2+2=26件，第四堆就是12X2-2=22件。

12X2X2=48（件）——第二堆；

12X2+2=26（件）——第三堆；

12X2—2=22（件）——第四堆；

答：

每堆各有12件、48件、26件、22件

人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少

解答：

用131+134=265，这是1个甲、丁和2个乙、丙的总和，因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用265—1=264就刚好是3个乙、丙的和，264+3=

88,就是说乙丙的和是88，那么甲丁和是88+1=89，所以四个班的和是88+89=177人。

甲厂人数比乙厂少540人，若从两厂各调走600人，乙厂人数恰好是甲厂人数的4倍，求甲厂原来有多少人?

【解析】：

“两厂各调走600人”，因调走人数相同，调人前后两厂的人数差没有发生

变化。

把调走600人后，甲厂人数看作1份，乙厂人数看作4份，两厂人数差还是

540人，此时甲厂人数为：

540+（4-1）=180（人）。

甲厂原有人数：

180+600=780（人）。

《奥赛天天练》第8讲，巩固训练，习题1

【题目】：

有AB、C三根绳子，A、C的长度之和是B的2倍。

如果把C剪去6分米,

那么A的长度就是B、C长度之和的一半。

A与B相比，比长分米。

【解析】：

这一题因为与A、B比较的标准不同，分别是（A+C和（B+C,所以A和B

的长短无法直接比出。

解题的关键是制造出相同的比较标准，再通过等量代换，得出结论。

由题意可得：

A+C=2B,即：

A+B+C=3；B

B+C-6=2A,即：

A+B+C-6=3A。

即：

3B-3A=6（分米），B-A=2（分米）。

所以：

A与B相比，B比A长2分米。

《奥赛天天练》第8讲，巩固训练，习题2

【题目】：

在一个数的后面补上两个“0”，得到的新数比原来的数增加了1980。

这个数是多少？

【解析】：

把原来的数看作1份，原数末尾加两个“0”即扩大了100倍，得到的新数也就是100份，它们的差就是增加的1980。

所以原来这个数为：

1980-（100-1）=20。

《奥赛天天练》第8讲，拓展提高，习题1

【题目】：

食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？

【解析】：

因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面粉和大米的数量差

都不变，仍然是：

138-94=44（千克）。

我们把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是3份，则几天后剩下面粉：

44-（3-1）=22（千克）。

用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：

（94-22）-9=8（天）。

《奥赛天天练》第8讲，拓展提高，习题2

【题目】：

有AB、C三辆车，C车装的货物是B车的一半，B车比A车少160千克，A车装的是C车的4倍，A、B、C三辆车共装货物多少千克？

【解析】：

根据题中的三个条件，C车装的货物最少，我们把C车装的货物看作一份，画出线段图如下：

C车：

］I

B车：

I|I

'吃.B车比A车少160千克

2倍

A车二I||||

“■

4倍

从图中可以看出B车货物就是2份，A车货物就是4份，B车比A车少的16

0千克对应的份数是2。

所以1份数即C车装货物为：

160-（4-2）=80（千克）。

三辆车共装货物：

80X（1+2+4）=560（千克）。

《奥赛天天练》第9讲，巩固训练，习题1

【题目】：

小王和小张共买了20本书，如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少2本书。

问小王、小张各买了多少本书？

【解析】：

我们以小王给小张6本书之后，剩下的本数作为标准，画出线段图如下:

小王现有本数

给出6本

X

4本隹本

解法一：

先求出小王现有本数。

小王给小张6本书之后，两人书的总本数不变。

以小王现有本数为较小数，

小张现有本数为较大数，两数和为20，两数差为2,则小王现有数：

（20-2）十2=9（本）。

所以，小王买书：

9+6=15（本）；小张买书：

20-15=5（本）。

解法二：

直接先求小张买书本数。

小张增加6本之后比小王现有本数多2本，则小张买书本数比小王现有本数

少（6-2=）4本，所以小张买书本数比小王买书本数少（4+6=）10本。

所以小张买书本数为：

（20-10）-2=5（本）；小王买书：

20-5=5（本）。

第一种解法思路比较简单。

《奥赛天天练》第9讲，巩固训练，习题2

【题目】：

四

（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票

比小玲多8张。

如果这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张?

【解析】：

小玲得到选票最少，我们以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下：

小玲获票张数=）

\痢张

小华获票张数;□卜屮54张

中明获票张数:

II~r

可以先求出小玲获票张数，再求出另外两个人的获票张数。

观察线段图，把小玲获票张数看作1份，把小华获票张数去掉8张，把小明

获票张数去掉（8+14）张，都凑成1份，总张数减少为：

54-8-（8+14）=24（张）。

所以小玲获票张数为：

24-3=8（张）；小华获票张数为：

8+8=16（张）；

小明获票张数为：

：

16+14=30（张）。

这题也可以把小华获票张数或小明获票张数作为标准，先求出来，再求出另

外两个人的获票张数。

《奥赛天天练》第9讲，拓展提高，习题1

【题目】：

一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。

在同样的风速下，逆风跑7

0米也用了10秒钟。

问在无风的时候他跑80米要用多少秒？

【解析】：

解题之前要明确一点：

如果我们以无风时少年跑步速度为标准，在同样的风

速下，顺风跑步速度高出标准的米数，与逆风跑步速度低于标准的米数是相等的，相当与风速。

所以无风速度就是顺风速度和逆风速度的平均数。

解法一：

先求出无风时少年速度：

（90-10+70-10）十2=8（米）。

再求出无风的时候该少年跑80米需要的时间：

80-8=10（秒）。

解法二：

以10秒跑步路程为标准，该少年无风时10秒跑步路程为：

（90+70）十2=80（米）。

所以，在无风的时候该跑80米要用10秒。

第二种解法解答这一题比较简便，但不宜推广，第一种解法是基本解法。

如下图，4个一样大的长方形和1个小正方形拼成了1个大正方形。

大正方

形的面积是64平方分米，小正方形的面积是4平方分米，问长方形的宽是几分

米？

【解析】：

对64和4分解因数：

64=8X8;4=2X2。

所以，大正方形的边长为8,即长

方形长与宽的和为8;小正方形的边长为2，即长方形长和宽的差为2。

所以，长方形的宽为：

（8-2）-2=3（分米）。

《奥赛天天练》第10讲，模仿训练，练习1

【题目】：

姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42

分钟，妹妹做算术、英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多

少分钟?

【解析】：

“姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用

42分钟”，由此可以推出妹妹做算术练习比做英语练习少用时间：

48-42=6（分

钟）。

所以妹妹做英语练习的时间为：

（44+6）十2=25（分钟）。

《奥赛天天练》第10讲，模仿训练，练习2

【题目】：

用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自然数。

如果，车十马=2,炮十车

=4,炮-马=56,那么“车+马+炮”等于多少？

【解析】：

车、马、炮表示的三个数中，马表示的数最小，我们以马表示的数作为标准,

画出线段图如下:

炮匚

1r*

11

1

车的4倍

把马表示的数看作1份，车表示的数就是2份，炮表示的数就是4个2份,所以，马表示的数为：

56-（2X4-1）=8。

“车+马+炮”等于：

8X（1+2+2X4）=88。

《奥赛天天练》第10讲，巩固训练，习题2

【题目】：

两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比

甲组的3倍少40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？

【解析】：

把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下：

乙组二I_I

I乙比甲的3倍$40人

L亠

甲组；L_l_I_IX

y

甲的3偌

甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3X3=）9倍。

所以，乙组人数为：

40^（9-1）=5（人）；参加义务劳动的学生共有：

5X（1+3）=20（人）。

《奥赛天天练》第10讲，拓展提高，习题1

【题目】：

某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从

东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？

【解析】：

“每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车”，则每天东站增

加（11-7=）4辆车，西站减少4辆车，但两站车辆总数不变为：

84+56=140（辆）。

要使东站车辆是西站车辆的4倍，西站只能有车辆：

140-（4+1）=28（辆）。

用西站需要减少的总车辆数除以每天减少的车辆数，可以得出所求天数：

（56-28）-4=7（天）。

所以，7天后，东站车辆是西站的4倍。

《奥赛天天练》第10讲，拓展提高，习题2

【题目】：

甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为1999。

已知甲校学生人数的2倍和乙校学生人数减去3人与丙校学生人数加上4人都相等。

问甲、乙、丙各校学生人数是多少？

【解析】：

把甲校学生人数作为标准，画出线段图：

甲校二1_

乙尬1

1

1

卜共1999人

丙校:

一

1

1

Sr1丿4人

把甲校人数看作1份，乙校人数就是2份多3,丙校就是2份少4。

我们把

1999-3+4=200

乙校人数减去3,丙校人数加上4,都凑成2份，则总人数变成:

0（人）。

所以甲校人数为：

2000-（1+2+2）=400（人）；

乙校人数为：

400X2+3=803（人）；

丙校人数为：

400X2-4=796（人）。