s
v2
v1
⑷船沿指向下游的固定航线渡河，当船头与船的合速度垂直，即V1⊥Vw合时，船
相对水的速度最小，且等于V水垂直于航线的分量。
5、平抛运动
⑴平抛运动定义：
水平抛出的物体，只在重力作用下的运动叫做平抛运动
⑵平抛运动的特点：
①只受重力作用，且有一水平初速度。
②水平方向作匀速直线运动（加速度为零），竖直方向作自由落体运动（加速度
为g）
-5-
③平抛运动是匀变速曲线运动，它的轨迹是抛物线
⑶平抛运动的处理方法：
①水平方向：
速度为v0的匀速直线运动，vx
v0
，Xv0t
，tx
X
v0
②竖直方向：
自由落体运动，vy
gt，Y
1
2，ty
2h
gt
2
g
X0
X
只考虑竖直方向上，vy
2gh，
2
h
gT
V0
O
S
③任
意
时
刻
的
速
度
：
2
2
vvx
vy
Vy
V
tan
vy
gt
，
θ为v与v0
间的夹角。
Y
vx
v0
④任意时刻的位移：
s
x2
y2
ta
y
1gt
1
与v0间的夹角。
n
ta
n
x
2v0
2
，α为s
⑤平抛物体运动中的速度变化
水平方向分速度保持vx=v0。
竖直方向，加速度恒为g，速度vy=gt，从抛出
点起，
每隔t时间的速度的矢量关系如图所示，这一矢量关系有两个特点：
a、任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0
b、任意相等时间间隔t内的速度改变量均竖直向下，且v＝vy=gt
注意：
运动学公式只适用于直线运动，因此曲线运动要分解为两个直线运动后才
能应用运动学公式。
例题：
如图所示，以9.8米/秒的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂
直地撞在倾角为30的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是
-6-
A．
C．
3
3
秒B．23秒
3
秒D．2秒
解析：
平抛运动可以认为是水平匀速和自由落体运动的合运动。
飞行时间与初
速无关，它可以从飞行高度或落地竖直分速度的信息中取得，本题可以使用竖直
分速度这一信息。
把垂直撞在斜面的速度分解为水平分速度和竖直分速度
，解之得秒。
正确选项C。
例题：
宇航员站在一星球表面的某高处，沿水平方向抛出一个小球，小球落到
星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。
若抛出时的初速度增大到2倍，
则抛出点与落地点之间的距离为，如图所示。
已知小球飞行时间为t，且两落
地点在同一水平面上。
求该星球表面的重力加速度的数值。
解析：
本题是近几年来的新题型，它的特色是给出了抛出点与落地点间的距离
这一信息而没有直接给出，飞行的高度或水平射程。
我们只要把已知的信息与飞
行高度或水平射程建立联系，就又把这类习题改成了传统题，即把未知转化为已
知。
设抛出点高度为h，初速度为v，星球表面重力加速度为g。
-7-
由题意可知：
h
1gt2，L2
h2
vt2，3L2
h2
2vt2。
2
解之得：
g
2
3L
3t
2
答案：
该星球表面重力加速度数值为232L。
3t
如果本题再已知该星球半径为R，万有引力常数为G，还可以求该星球的质量
2
M，读者可以试一试，答案为M23LR2。
3Gt
例题：
如图所示，一个同学做平抛实验时，只在纸上记下过起点的纵坐标y方向，
但未记录平抛运动的起点，并描下了平抛运动的一段轨迹，在轨迹上取A、B两点，
用刻度尺分别测量出它们到y轴的距离x1、x2以及AB的竖直距离h，则小球平
抛运动的初速度。
解析：
画出平抛运动由抛出点开始的轨迹如图所示。
用平抛运动是水平匀速和
自由落体合运动的知识，把参量还原到抛出点去考虑。
又转化成了平抛的基本题。
设从抛出点到A、B的竖直高度分别为HA和HB。
由题意可知：
再设平抛到A、B的时间为tA和tB，h1gtB2t2A。
2
-8-
xv0t，x1
v0tA，x2
v0tB
h
1g
x22
x12，v0
gx22
x12
2
v02
v02
2h
答案：
v0
gx22
x12
2h
6、匀速圆周运动的特点：
⑴匀速圆周运动的定义：
做圆周运动的物体在相等的时间内通过的弧长相等。
⑵匀速圆周运动的轨迹：
是圆，且任意相等的时间内半径转过的角度相等。
⑶匀速圆周运动的性质：
①“匀速”指的是“匀速率”，即速度的大小不变但速
度的方向时刻改变。
②加速度大小不变，但加速度的方向时刻改变，所以是
变加速曲线运动。
7、圆周运动的表征物理量：
⑴线速度v：
①定义：
圆周运动的瞬时速度；单位时间内通过的弧长
②大小：
线速度=弧长/时间，即v=s/t；
③方向：
圆周的切线方向；
④匀速圆运动线速度的特点：
线速度大小不变，但方向时刻改变
⑵角速度ω：
①定义：
半径在单位时间内转过的角度；
②大小：
角速度=角度（弧度）/时间即：
ω=φ/t
③单位：
弧度每秒，即：
rad/s；
④匀速圆周运动中角速度特点：
角速度恒定不变
-9-
⑶周期T：
①定义：
匀速圆周运动物体运动一周所用的时间；
②大小：
周期=周长/线速度，即：
T=2πr/v
③单位：
秒，即s；
④匀速：
圆周运动中周期的特点：
周期不变
⑷频率f：
①定义：
每秒钟完成匀速圆周运动的转数
②大小：
f=1/T
③单位：
赫兹，即Hz，1Hz=1转/秒
⑸转速n：
①定义：
单位时间内做匀速圆周运动的物体转过的圈数，符号n
②大小：
转速的大小就等于频率的大小
③单位：
国际单位制中用转/秒，日常生活中也用转/分
⑹匀速圆周运动各物理量之间的关系：
①各量关系：
v=2πr/T，
ω=2π/T=2πf=2πn（n的单位为转/秒），
v=ωr
②同一转盘上半径不同的各点，角速度相等但线速度大小不同
③皮带传动或齿轮传动的两轮边缘线速度大小相等，但角速度不一定相同
④当半径一定时，线速度与角速度成正比；当角速度一定时，线速度与半径
成正比
8、向心力
⑴向心力定义：
做匀速圆周运动的物体受到的合外力总是指向圆心，这个力叫
做向心力。
【注意】向心力是根据力的作用效果命名，不是某种特殊性质的力。
-10-
⑵向心力的可以由重力、弹力、摩擦力等提供。
总之是物体所受的合外力提供了
物体做匀速圆周运动所需的向心力。
⑶向心力的方向：
总是沿半径指向圆心，方向时刻与线速度方向垂直，故方向时
刻在改变。
向心力是变力。
⑷向心力的作用效果：
只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
【原因】向心力指向圆心，而物体的运动方向沿圆周上该处的切线方向，两者
相互垂直。
物体在运动方向所受的合外力为零。
在这个方向上无加速度。
速
度大小不会改变，所以向心力只改变速度的方向，。
⑸向心力的大小：
①向心力大小：
Fn＝mrω2＝mr
（2）2＝mr（2πf）2＝mr（2πn）2
T
Fn＝mv2/r
②向心力大小与多个变量有关。
因此在分析问题时，一定要利用控制变量的方
法不处理。
即在设定其它量不变的条件下，来分析所需向心力与某一变量的
关系。
③向心力F跟r、ω（或v）是瞬时对应关系。
⑹匀速圆周运动的条件：
具有初速度v，合外力大小不变，方向时刻垂直线速度
v，指向圆心
【注意】物体在恒力作用下不可能作匀速圆周运动。
9、向心力作用下使物体产生的加速度―――向心加速度an
⑴向心加速度：
在向心力作用下物体产生的加速度叫做向心加速度
【注意】向心力与向心加速度具有瞬时对应关系，即向心力改变时，向心加速度
随即改变
-11-
⑵向心加速度的方向：
始终垂直于线速度，沿着半径指向圆心，且每时每刻都在
不断地变化。
所以匀速圆周运动是变加速曲线运动
⑶向心加速度的大小：
an＝rω2＝r（
2
）
2＝r（2πf）2＝r（2πn）2
T
an＝v2/r
an＝vω
⑷向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量。
⑸当v一定时，an与r成反比；当ω一定时an与r成正比，注意：
r、v及ω间
有制约关系
例题：
下列说法正确的是
A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．匀速圆周运动是一种变加速运动
D．因为物体有向心力存在，所以才使物体不断改变速度的方向而做圆周运动
解析：
匀速圆周运动的加速度大小不变而方向在时刻改变，因此属于变加速运
动。
力是改变物体运动状态的原因，向心力对速度大小的改变没有贡献，它作用
只是不断改变速度方向，所以正确选项是C、D。
10、离心现象：
⑴定义：
做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足于提供圆周运动所
需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动就叫离心运动
⑵离心现象的应用：
①离心干燥器（洗衣机的脱水筒）：
利用离心运动把附着在物体上的水分甩掉
-12-
②用离心机把体温计的水银柱甩回玻璃泡内
③“棉花糖”的制作
⑶离心现象的防止：
①车辆转弯时速度不能超过规定的速度：
车辆转弯时所需的向心力大于最大静
摩擦力时，即最大
静摩擦力不能提供汽车转弯时所需的向心力时，汽车将做离心运动而造成交
通事故
②高速转动的砂轮、飞轮等都不得超过允许的最大速度，如果转速过高，砂轮、
飞轮内部分子间的相互作用力不足以提供所需的向心力时，离心运动会使它们破
裂，以致酿成事故。
例题：
将来人类离开地球到宇宙中去生活，可以设计成
如图所示的宇宙村，它是一个圆形的密封建筑，人们生活在
圆环的边上，为了使人们在其中生活不至于有失重感，可以
计它旋转，设这个建筑物的直径为200m，那么，当它绕其中心轴转动的转速为
多少（r/s）时，人类感觉到像生活在地球上一样要承受10m/s2的加速度？
如果
转速超过了上述值，人们将有怎样的感觉？
解析：
处于宇宙间的物体处于完全失重状态，现要生活在其宇宙村中的人无
失重感，题中告诉让该装置转动，即处于宇宙村边缘的人随宇宙村一起旋转时，
所需的向心加速度等于题中所给的10m/s2时对应的转速就是所求转速。
由圆周运动的向心力加速度公式有a=（2πn）2R
-13-
1a
得n=代入数值有n=0.05r/s。
2R
若转速超过此值,由上式可知,其加速度将大于10m/s2，因而人有超重的感觉。
点评这是一道假设推理题，要求建立一个物理假象的模型，这能培养学生的
想象力和处理解决问题的能力，同时这也是高考趋势的发展方向。
要求考生能够
根据已知的知识和所给的物理事实、条件，对物理问题进行逻辑推理和论证，得
出正确的结论或作出正确的判断，并能把推理过程表达出来，论证推理有助于加
强对学生的推理能力的考查。
规律
1、匀速圆周运动解题步骤：
⑴明确研究对象，确定它在哪个平面内做圆周运动，找出圆心和半径⑵确定研究对象在某位置（某时刻）所处状态，进行受力分析，作出受力分析图，
找出向心力的来源
⑶根据向心力公式Fn=mω2r=mv2/r=mωv=m（2π/T）2r列方程，取“向心”
方向为正
⑷检查结果的合理性，并进行必要的分析讨论。
-14-
例题：
如图所示一皮带轮传动装置，右轮半径为r，a是它边缘上的一点。
左侧是
一轮轴，大轮的半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心距离为r，
c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则
A．a点与b点的线速度大小相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．a点与d点的向心加速度大小相等
解析：
匀速圆周运动中各参量的关系，即，，，
，。
在皮带传动中这些参量的特殊制约和联系是：
皮带上各
点线速度大小相等；同轴的轮上各点角速度相等。
由题意可知，
再经过简单运算可得出正确选项是C、D。
例题：
质量相等的小球A、B分别固定在轻杆OB的中点及端点，当杆在光滑水平
面上绕O点匀速转动，如图所示，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比？
解析：
A、B小球受力如图所示，在竖直方向上A与B处于平衡态。
在水平方
-15-
向上根据匀速圆周运动规律，
，。
，
TA∶TB=3∶2
答案：
TA∶TB=3∶2
2、匀速圆周运动的实例分析⑴火车拐弯问题：
由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大。
如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘
所受的压力很大，容易损坏；实用中使外轨略高于内轨，从而重力，铁轨支持力
和侧向压力的合力
提供火车拐弯时所需的向心力
例题：
铁轨拐弯处半径为R，内外轨高度差为H两轨间距为L，火车总质量为M，
则：
⑴火车在拐弯处运动的“规定速度vP”大小为，
⑵若火车实际速度大于vP，则轨将受到侧向压力，
⑶若火车实际速度小于vP，则轨将受到侧向压力。
2
解析：
⑴mgtanθ=mvvgRtangRH/L
R
-16-
⑵火车做离心运动，外轨受到侧向压力。
⑶火车做向心运动，内轨受到侧向压力。
例题：
在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧
的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ．设拐弯路段是半径为R的
圆弧，要使车速为
v时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零,
θ应等于（
）
A.arcsinv2
B.arctan
v2
Rg
Rg
C.
1arcsin
2v2
D.arccot
v2
2
Rg
Rg
解析：
如图所示，要使摩擦力为零，必使车受的重力与
2
支持力的合力捉供向心力，则：
Fn=mgtanθ=mv，故所
R
以θ＝arctanv2。
即答案为B。
Rg
点评这是一道综合应用题，是用圆周运动知识来解决处理实际物理问题，这在实
际生活中有着广泛的应用，例如铁路、高速公路、杂技表演等，都是利用自身的
重力分力提供转弯所需的向心力。
⑵“水流星”节目分析
例题：
⑴绳系杯子在竖直
升级会员 