因为AB，所以，于是0≤a≤1。
第二讲函数概念与表示
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：
y=f（x），x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
注意：
（1）“y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；
（2）函数符号“y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x
2．构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：
①自然型：
指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：
分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
②限制型：
指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：
解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示
5．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f：
AB”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
注意：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。
（2）“都有唯一”包含两层意思：
一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思
6．常用的函数表示法
（1）解析法：
就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：
就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：
就是用函数图象表示两个变量之间的关系
7．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
8．复合函数
若y=f（u），u=g（x）,x（a，b），u（m,n），那么y=f[g（x）]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g（x）的值域
【典例解析】
题型1：
函数概念
例1．21.（2009天津卷文）设函数则不等式的解集是（）
A.B.
C.D.
答案A
解析由已知，函数先增后减再增
当，令
解得。
当，
故，解得
变式题：
（2009北京文）已知函数若，则.答案
解析本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值.属于基础知识、基本运算的考查.
由，无解，故应填.
例2．
（1）函数对于任意实数满足条件，若则__________；
解：
（1）由得，
所以，则
题型二：
判断两个函数是否相同
例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=，g（x）=；
（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。
解：
（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；
（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，
∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；
（4）由于函数f（x）=的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数
点评：
对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。
（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数。
（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数
题型三：
函数定义域问题
例4．求下述函数的定义域：
（1）；
（2）
解：
（1），解得函数定义域为.
（2），（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论），
①当a=0时，函数定义域为；
②当时，得，
1）当时，函数定义域为，
2）当时，函数定义域为，
3）当时，函数定义域为；
③当时，得，
1）当时，函数定义域为，
2）当时，函数定义域为，
3）当时，函数定义域为。
点评：
在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第
（2）小题的解析式中含有参数，要对参数的取值进行讨论，考察学生分类讨论的能力
变式题：
已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）
A．a＞B．－12＜a≤0C．－12＜a＜0D．a≤
解：
由a=0或可得－12＜a≤0，答案B。
题型四：
函数值域问题
例5．求下列函数的值域：
（1）；
（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）。
解：
（1）（配方法），
∴的值域为
改题：
求函数，的值域。
解：
（利用函数的单调性）函数在上单调增，
∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为
∴函数，的值域为。
（2）求复合函数的值域：
设（），则原函数可化为
又∵，
∴，故，
∴的值域为
（3）（法一）反函数法：
的反函数为，其定义域为，
∴原函数的值域为
（法二）分离变量法：
，
∵，∴，
∴函数的值域为。
（4）换元法（代数换元法）：
设，则，
∴原函数可化为，∴，
∴原函数值域为
注：
总结型值域，
变形：
或
（5）三角换元法：
∵，∴设，
则
∵，∴，∴，
∴，
∴原函数的值域为
（6）数形结合法：
，
∴，∴函数值域为。
（7）判别式法：
∵恒成立，∴函数的定义域为。
由得：
①
①当即时，①即，∴
②当即时，∵时方程恒有实根，
∴△，
∴且，
∴原函数的值域为。
（8）
∵，∴，
∴，
当仅当时，即时等号成立。
∴，
∴原函数的值域为。
（9）（法一）方程法：
原函数可化为：
，
∴（其中），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴原函数的值域为。
点评：
上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。
题型五：
函数解析式
例6．
（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函数，且满足，求；
（4）已知满足，求。
解：
（1）∵，
∴（或）。
（2）令（），则，
∴，。
（3）设，则，
∴，，
∴。
（4）①，
把①中的换成，得②，
①②得，
∴
点评：
第
（1）题用配凑法；第
（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。
【总结】
1．求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：
待定系数法；
（2）已知求或已知求：
换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：
解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
2．求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：
函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：
函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；
②若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出。
3．求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。
其类型依解析式的特点分可分三类：
（1）求常见函数值域；
（2）求由常见函数复合而成的函数的值域；（3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。
①直接法：
利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b（a0）的定义域为R，值域为R；
反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；
二次函数的定义域为R，
当a>0时，值域为{}；
当a<0时，值域为{}。
②配方法：
转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：
的形式；
③分式转化法（或改为“分离常数法”）
④换元法：
通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：
转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：
转化成型如：
，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：
函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：
根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域
第3讲函数基本性质
1．奇偶性
（1）定义：
如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（－x）=－f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（－x）=f（x），则称f（x）为偶函数。
如果函数f（x）不具有上述性质，则f（x）不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f（x）既是奇函数，又是偶函数。
注意：
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f（－x）与f（x）的关系；
作出相应结论：
若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；
若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数
（3）简单性质：
①图象的对称性质：
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
2．单调性
（1）定义：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2）），那么就说f（x）在区间D上是增函数（减函数）；
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1（2）如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间。
（3）设复合函数y=f[g（x）]，其中u=g（x）,A是y=f[g（x）]定义域的某个区间，B是映射g:
x→u=g（x）的象集：
①若u=g（x）在A上是增（或减）函数，y=f（u）在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g（x）]在A上是增函数；
②若u=g（x）在A上是增（或减）函数，而y=f（u）在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g（x）]在A上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1作差f（x1）－f（x2）；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；
下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。
（5）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数。
3．最值
（1）定义：
最大值：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）=M。
那么，称M是函数y=f（x）的最大值。
最小值：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）=M。
那么，称M是函数y=f（x）的最大值。
注意：
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f（x0）=M；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
利用图象求函数的最大（小）值；
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；
4．周期性
（1）定义：
如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函数；
（2）性质：
①f（x+T）=f（x）常常写作若f（x）的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f（x）的最小正周期；②若周期函数f（x）的周期为T，则f（ωx）（ω≠0）是周期函数，且周期为
【典例解析】
题型一：
判断函数的奇偶性
例1．讨论下述函数的奇偶性：
解：
（1）函数定义域为R，
∴f（x）为偶函数；
（另解）先化简：
，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。
（2）须要分两段讨论：
①设
②设
③当x=0时f（x）=0，也满足f（－x）=－f（x）；
由①、②、③知，对x∈R有f（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数；
（3），∴函数的定义域为，
∴f（x）=log21=0（x=±1），即f（x）的图象由两个点A（－1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f（x）既是奇函数，又是偶函数；
点评：
判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）
题型三：
判断证明函数的单调性
例5．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围．
【解】
（1）
由条件可知，解得
∵
（2）当
即
故m的取值范围是
题型四：
函数的单调区间
例7．已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则（）.
A.
B.
C.
D.
答案D
解析因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数,则,,,又因为在R上是奇函数，,得,,而由得,
又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.
例8
（1）求函数的单调区间；
（2）已知若试确定的单调区间和单调性。
解：
（1）函数的定义域为，
分解基本函数为、
显然在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增的。
根据复合函数的单调性的规则：
所以函数在上分别单调递增、单调递减。
（2）解法一：
函数的定义域为R，
分解基本函数为和。
显然在上是单调递减的，上单调递增；
而在上分别是单调递增和单调递减的。
且，
根据复合函数的单调性的规则：
所以函数的单调增区间为；单调减区间为。
解法二：
，
，
令，得或，
令，或
∴单调增区间为；单调减区间为。
点评：
该题考察了复合函数的单调性。
要记住“同向增、异向减”的规则。
题型六：
最值问题
例11．（2009江苏卷
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