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随机信号分析实验

实验一随机序列的产生及数字特征估计

一、实验目的

1、学习和掌握随机数的产生方法；

2、实现随机序列的数字特征估计。

二、实验原理

1.随机数的产生

随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。

进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。

伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。

伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。

（0，1）均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。

（0，1）均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即U（0，1）。

实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生（0，1）均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：

（1.1）

序列

为产生的（0，1）均匀分布随机数。

下面给出了上式的3组常用参数：

（1）

；

（2）（IBM随机数发生器）

；

（3）（ran0）

；

由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。

定理1.1若随机变量X具有连续分布函数FX（x），而R为（0，1）均匀分布随机变量，则有

（1.2）

由这一定理可知，分布函数为FX（x）的随机数可以由（0，1）均匀分布随机数按上式进行变换得到。

2.MATLAB中产生随机序列的函数

（1）（0，1）均匀分布的随机序列

函数：

rand

用法：

x=rand（m,n）

功能：

产生m×n的均匀分布随机数矩阵。

（2）正态分布的随机序列

函数：

randn

用法：

x=randn（m,n）

功能：

产生m×n的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从

分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。

（3）其他分布的随机序列

MATLAB上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，下表列出了部分函数。

MATLAB中产生随机数的一些函数

表1.1MATLAB中产生随机数的一些函数

3、随机序列的数字特征估计

对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。

这里我们假定随机序列X（n）为遍历过程，样本函数为x（n），其中n=0,1,2，…，N-1。

那么，X（n）的均值、方差和自相关函数的估计为

利用MATLAB的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。

（1）均值函数

函数：

mean

用法：

m=mean（x）

功能：

返回按上面第一式估计X（n）的均值，其中x为样本序列x（n）。

（2）方差函数

函数：

var

用法：

sigma2=var（x）

功能：

返回按上面第二式估计X（n）的方差，其中x为样本序列x（n），这一估计为无偏估计。

（3）互相关函数

函数：

xcorr

用法：

c=xcorr（x,y）

c=xcorr（x）

c=xcorr（x,y,'opition'）

c=xcorr（x,'opition'）

功能：

xcorr（x,y）计算X（n）与Y（n）的互相关，xcorr（x）计算X（n）的自相关。

option选项可以设定为：

'biased'有偏估计，即

（1.6）

'unbiased'无偏估计，即按（1.5）式估计。

'coeff'm=0时的相关函数值归一化为1。

'none'不做归一化处理。

3、实验内容

1.采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。

改变样本个数重新计算。

实验代码：

num=input（'Num='）;

N=2^31;

k=2^16+3;

Y=zeros（1,num）;

X=zeros（1,num）;

（1）=1;

fori=2:

num

Y（i）=mod（k*Y（i-1）,N）;

end

X=Y/N;

a=0;

b=1;

m0=（a+b）/2;

sigma0=（b-a）^2/12;

m=mean（X）;

sigma=var（X）;

delta_m=abs（m-m0）;

delta_sigma=abs（sigma-sigma0）;

plot（X,'k'）;

xlabel（'n'）;

ylabel（'X（n）'）;

实验结果：

（1）Num=1000时：

delta_m=0.0110，delta_sigma=0.0011

（2）Num=5000时：

delta_m=2.6620e-04，delta_sigma=0.0020

实验结果分析：

样本越大，误差越小，实际值越接近理论值。

2.参数为的指数分布的分布函数为

利用反函数法产生参数为0.5的指数分布随机数1000个，测试其方差和相关函数。

实验代码：

R=rand（1,1000）;

lambda=0.5;

X=-log（1-R）/lambda;

DX=var（X）;

[Rm,m]=xcorr（X）;

subplot（211）;

plot（X,'k'）;xlabel（'n'）;ylabel（'X（n）'）;

subplot（212）;

plot（m,Rm,'k'）;xlabel（'m'）;ylabel（'R（m）'）;

实验结果：

实验结果分析：

方差的实际值为4.1201，理论值为1/（0.5^2）=4，基本一致。

3.产生一组N（1，4）分布的高斯随机数（1000个样本），估计该序列的均值、方差和相关函数。

实验代码：

X=normrnd（1,2,[1,1000]）;

Mx=mean（X）;Dx=var（X）;

[Rm,m]=xcorr（X）;

subplot（211）;

plot（X,'k'）;xlabel（'n'）;ylabel（'X（n）'）;

subplot（212）;

plot（m,Rm,'k'）;xlabel（'m'）;ylabel（'R（m）'）;

实验结果：

实验结果分析：

实验中的均值为0.9937，方差为3.8938。

理论上均值为1，基本一致。

四、实验心得体会

通过这次实验，我学习和掌握了随机数的产生方法、实现随机序列的数字特征估计，并用MATLAB产生相应的图形，更直观的了解了相关的知识。

本次实验的难点在于用线性同余法产生随机序列，多次试验后终于攻克了难关。

实验二随机过程的模拟与数字特征

一、实验目的

1、学习利用MATLAB模拟产生随机过程的方法；

2、熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB实现。

二、实验原理

1.正态分布白噪声序列的产生

MATLAB提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。

函数：

randn

用法：

x=randn（m,n）

功能：

产生m×n的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从

分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。

如果X~N（0,1），则

。

2.相关函数估计

MATLAB提供了函数xcorr用于自相关函数的估计。

函数：

xcorr

用法：

c=xcorr（x,y）

c=xcorr（x）

c=xcorr（x,y,'opition'）

c=xcorr（x,'opition'）

功能：

xcorr（x,y）计算X（n）与Y（n）的互相关，xcorr（x）计算X（n）的自相关。

option选项可以设定为：

'biased'有偏估计。

'unbiased'无偏估计。

'coeff'm=0时的相关函数值归一化为1。

'none'不做归一化处理。

3.功率谱估计

对于平稳随机序列X（n），如果它的相关函数满足

（2.1）

那么它的功率谱定义为自相关函数Rx（m）的傅里叶变换：

（2.2）

功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。

我们实际所能得到的随机信号总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。

（1）自相关法

先求自相关函数的估计，然后对自相关函数做傅里叶变换

（2.3）

其中N表示用于估计样本序列的样本个数。

（2）周期图法

先对样本序列x（n）做傅里叶变换

（2.4）

其中

，则功率谱估计为

（2.5）

MATLAB函数periodogram实现了周期图法的功率谱估计。

函数：

periodogram

用法：

[Pxx,w]=periodogram（x）

[Pxx,w]=periodogram（x,window）

[Pxx,w]=periodogram（x,window,nfft）

[Pxx,f]=periodogram（x,window,nfft,fs）

periodogram（...）

功能：

实现周期图法的功率谱估计。

其中：

Pxx为输出的功率谱估计值；

f为频率向量；

w为归一化的频率向量；

window代表窗函数，这种用法对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差，表2.1列出了产生常用窗函数的MATLAB函数。

nfft设定FFT算法的长度；

fs表示采样频率；

如果不指定输出参量（最后一种用法），则直接会出功率谱估计的波形。

三、实验内容

1.按如下模型产生一组随机序列

其中

是均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。

估计过程的自相关函数和功率谱。

实验代码：

y0=randn（1,500）;%产生一长度为500的随机序列

y=1+2*y0;

（1）=y

（1）;

n=500;

fori=2:

x（i）=0.8*x（i-1）+y（i）;%按题目要求产生随机序列x（n）

end

subplot（311）;

plot（x）;

title（'x（n）'）;

subplot（312）;

c=xcorr（x）;%用xcorr函数求x（n）的自相关函数

plot（c）;

title（'R（n）'）;

p=periodogram（x）;%用periodogram函数求功率谱密度

subplot（313）;

plot（p）;

title（'S（w）'）;

实验结果：

其中x（n）为样本序列，长度为500；R（n）为x（n）的自相关函数，S（w）为x（n）的功率谱。

2.设信号为

其中

，

为正态分布白噪声序列，试在N=256和N=1024点时，分别产生随机序列x（n），画出x（n）的波形并估计x（n）的相关函数和功率谱。

（1）N=256时：

实验代码：

N=256;

w=randn（1,N）;%用randn函数产生长度为256的正态分布白噪声序列

n=1:

f1=0.05;

f2=0.12;

x=sin（2*pi*f1*n）+2*cos（2*pi*f2*n）+w（n）;%产生题目所给信号

R=xcorr（x）;%求x（n）的自相关函数

p=periodogram（x）;%求x的功率谱

subplot（311）;

plot（x）;title（'x（n）'）;

subplot（312）;

plot（R）;title（'R（n）'）;

subplot（313）;

plot（p）;title（'S（w）'）;

实验结果：

其中x（n）为样本序列，长度为256；R（n）为x（n）的自相关函数，S（w）为x（n）的功率谱。

（2）N=1024时：

实验代码：

N=1024;%将N值改为1024

w=randn（1,N）;%用randn函数产生长度为256的正态分布白噪声序列

n=1:

f1=0.05;

f2=0.12;

x=sin（2*pi*f1*n）+2*cos（2*pi*f2*n）+w（n）;%产生题目所给信号

R=xcorr（x）;%求x（n）的自相关函数

p=periodogram（x）;%求x的功率谱

subplot（311）;

plot（x）;title（'x（n）'）;

subplot（312）;

plot（R）;title（'R（n）'）;

subplot（313）;

plot（p）;title（'S（w）'）;

实验结果：

其中x（n）为样本序列，长度为1024；R（n）为x（n）的自相关函数，S（w）为x（n）的功率谱。

四、实验心得体会

这次实验学会了在MATLAB中求解并绘制随机序列的自相关函数和功率谱密度的方法。

用MATLAB可以用具体的函数来求自相关函数和功率谱，极大的方便了学习过程。

通过本次实验，我学会了利用MATLAB模拟产生随机过程的方法并且熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB实现。

实验三随机过程通过线性系统的分析

一、实验目的

1、理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。

2、学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。

二、实验原理

1.白噪声通过线性系统

设连续线性系统的传递函数为H（w）或H（s），输入白噪声的功率谱密度为SX（w）=N0/2，那么系统输出的功率谱密度为

（3.1）

输出自相关函数为

（3.2）

输出相关系数为

（3.3）

输出相关时间为

（3.4）

输出平均功率为

（3.5）

上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性|H（w）|决定，不再是常数。

2.等效噪声带宽

在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的H（w），因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。

等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。

实际系统的等效噪声带宽为

（3.6）

或

（3.7）

3.线性系统输出端随机过程的概率分布

（1）正态随机过程通过线性系统

若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。

（2）随机过程的正态化

随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。

任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。

三、实验内容

1.仿真一个平均功率为1的白噪声带通系统，白噪声为高斯分布，带通系统的两个截止频率分别为3kHz和4kHz，估计输出的自相关函数和功率谱密度函数。

（假设采样频率为10kHz，同时在系统仿真时为了得到统计的结果，可以进行多次实验，并取多次实验的平均结果作为统计结果）

实验代码：

Fs=10000;%抽样频率为10kHz

x=randn（1000,1）;%产生随机序列，模拟高斯白噪声

figure

（1）;

subplot（3,1,1）;

plot（x）;

gridon;

xlabel（'t'）;

subplot（3,1,2）;

x_corr=xcorr（x,'unbiased'）;%计算高斯白噪声的自相关函数

plot（x_corr）;

gridon;

subplot（3,1,3）;

[Pxx,w]=periodogram（x）;%计算功率谱密度

x_Px=Pxx;plot（x_Px）;

gridon;

figure

（2）;

subplot（2,1,1）;

[x_pdf,x1]=ksdensity（x）;%高斯白噪声一维概率密度函数

plot（x1,x_pdf）;

gridon;

subplot（2,1,2）;

f=（0:

999）/1000*Fs;

X=fft（x）;

mag=abs（X）;%随机序列的频谱

plot（f（1:

1000/2）,mag（1:

1000/2））;

gridon;

xlabel（'f/Hz'）;

figure（3）;

subplot（3,1,1）;

[b,a]=ellip（10,0.5,50,[3000,4000]*2/Fs）;

[H,w]=freqz（b,a）;%带通滤波器

plot（w*Fs/（2*pi）,abs（H））;

gridon;

xlabel（'f/Hz'）;

ylabel（'H（w）'）;

subplot（3,1,2）;

y=filter（b,a,x）;

[y_pdf,y1]=ksdensity（y）;%滤波后的概率密度函数

plot（y1,y_pdf）;

gridon;

y_corr=xcorr（y,'unbiased'）;%滤波后自相关函数

subplot（3,1,3）;

plot（y_corr）;

gridon;

figure（4）;

Y=fft（y）;

magY=abs（Y）;%随机序列滤波后频谱

subplot（2,1,1）;

plot（f（1:

1000/2）,magY（1:

1000/2））;

gridon;

xlabel（'f/Hz'）;

subplot（2,1,2）;

nfft=1024;

index=0:

round（nfft/2-1）;

ky=index.*Fs./nfft;

window=boxcar（length（y_corr））;

[Pyy,fy]=periodogram（y_corr,window,nfft,Fs）;%滤波后高斯白噪声功率谱

y_Py=Pyy（index+1）;

plot（ky,y_Py）;

gridon;

实验结果：

下图分别为高斯白噪声序列、高斯白噪声自相关函数、高斯白噪声功率谱密度。

下图分别为高斯白噪声一维概率密度函数、模拟高斯白噪声序列频谱。

下图分别为带通滤波器、带通滤波后一维概率密度函数、限带高斯白噪声自相关函数。

2.设白噪声通过下图所示的RC电路，分析输出的统计特性。

（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。

（2）采用MATLAB模拟正态分布白噪声通过上述RC电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度。

（3）模拟产生均匀分布的白噪声通过上述RC电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度。

（4）改变RC电路的参数（电路的RC值），重做

（2）和（3），与之前的结果进行比较。

（1）输出功率谱密度：

；