北师大版初中数学知识点总结.docx
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北师大版初中数学知识点总结
初中数学知识点总结
第一章实数
考点一、实数的概念及分类1、实数的分类
正有理数
有理数
有限小数和无限循环小数
实数
负有理数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理数
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如.7,32等；
n
（2）有特定意义的数，如圆周率n,或化简后含有n的数，如-+8等;
3
…等；
（4）某些三角函数，女口sin60°等
考点二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数：
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相
反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为
相反数，则有a+b=O,a=—b，反之亦成立。
2、绝对值：
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|>0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a>0;若|a|=-a，则a<0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数：
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根：
如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“,a”。
2、算术平方根：
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a
3、立方根：
如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：
VaVa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
考点四、科学记数法和近似数
1、有效数字：
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法：
把一个数写做a10n的形式，其中1a10，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
考点五、实数大小的比较
1、数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：
设a、b是实数，
（3）求商比较法：
设a、b是两正实数，a1ab；旦1ab；a1ab;
bbb
（4）绝对值比较法：
设a、b是两负实数，则abab。
（5）平方法：
设a、b是两负实数，则a2
b2abo
考点六、实数的运算
1、加法交换律
abba
2、
加法结合律
（ab）ca（b
c）
3、
乘法交换律
abba
4、
乘法结合律
（ab）ca（bc）
5、
乘法对加法的分配律a（bc）abac
6、
实数的运算顺序：
先算乘方，冉算乘除
，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面
的＜
第二章代数式
考点一、整式的有关概念
1、代数式：
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或
一个字母也是代数式。
2、单项式：
只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意：
单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如4」a2b，
3
这种表示就是错误的，应写成13a2b。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项
3
式的次数。
如5a3b2c是6次单项式
考点二、多项式1、多项式：
几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式和多项式统称整式。
用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。
注意：
（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。
（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。
2、同类项：
所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
3、去括号法则
（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。
（2）括号前是“-”，把括号和它前面的“-”号一起去掉，括号里各项都变号。
4、整式的运算法则
整式的加减法：
（1）去括号；
（2）合并同类项。
整式的乘法：
am?
anamn（m,n都是正整数）（am）namn（m,n都是正整数）
整式的除法：
amanamn（m,n都是正整数,a0）
注意：
（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
（6）a01（a0）;ap」^（a0,p为正整数）
ap
（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
考点三、因式分解
1、因式分解：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法
（1）提公因式法：
ab
ac
a（bc）
（2）运用公
式
法
:
ab（a
b）（ab），
a22abb2（ab）2，
a22abb2（a
b）2
（3）分组分解法：
ac
ad
bebda（c
d）b（cd）（a
b）（cd）
（4）十字相乘法：
2a
（P
q）apq（a
p）（aq）
3、因式分解的一般步骤:
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：
2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
考点四、分式
A
1、分式的概念：
一般地，用A、B表示两个整式，A-B就可以表示成-的形式，如果B中
B
含有字母，式子—就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式和整式
B
通称为有理式。
2、分式的性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则
考点五、二次根式
1、二次根式：
式子・、a（a0）叫做二次根式，二次根式必须满足：
含有二次根号“.”；
被开方数a必须是非负数。
2、最简二次根式若二次根式满足：
被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质
（1）
（va）2
a（a0）
（2）
c
a
（3）
JabJa?
Jb（a0,b0）
（4金執0b0）
5、二次根式混合运算：
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除,最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
第三章方程（组）
考点一、一元一次方程的概念
1、方程：
含有未知数的等式叫做方程2、方程的解：
能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程
axb0（x为未知数，a0）叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。
考点二、一元二次方程
1、一元二次方程：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：
ax2bxc0（a0），
特征：
等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
考点三、一元二次方程的解法
1、直接开平方法：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如（Xa）2b的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，xa是
b的平方根，当b0时，xa,b，xa..b，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他
领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式a22abb2（ab）2，把公
式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x22bxb2（xb）2。
3、公式法：
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax2bxc0（a0）的求根公式：
x—（b24ac0）
2a
4、因式分解法：
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简
单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
考点四、
元一
一次方程根的判别式
根的判别式
:
一元二次方程ax2bxc0（a
0）中，
b2
4ac叫做一
-元二次方程
ax2bx
c
0（a0）的根的判别式，通常用“”
来表示，
即
b24ac
考点五、-
元一
二次方程根与系数的关系
如果方程
2ax
bxc0（a0）的两个实数根是Xi,
X2，那么
Xi
b
X2
a
x1x2_。
也就
a
是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
考点六、分式方程1、分式方程：
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法：
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的
一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：
将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法
换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
考点七、二元一次方程组
1、二元一次方程：
含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解：
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组：
两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次
方程组。
4、二元一次方程组的解：
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
5、二元一次方正组的解法：
（1）代入法
（2）加减法
6、三元一次方程：
把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
7、三元一次方程组：
由三个（或三个以上）一次方程组成，且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
第四章不等式（组）
考点一、不等式的概念（3分）
1、不等式：
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
考点三、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念：
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且
不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母
（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
考点四、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集
第五章统计初步与概率初步
考点一、平均数
1、平均数的概念
（1）平均数：
一般地，如果有n个数x「X2，,xn,那么，x丄区x2xn）叫做这n
n
个数的平均数，X读作“X拔”。
（2）加权平均数：
如果n个数中，Xi出现fi次，X2出现f2次，…，Xk出现fk次（这里
（3）
kn），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为
（1）定义法：
当所给数据Xi,X2,
-1
X—（X1X2Xn）
n
Xn，比较分散时，一般选用定义公式：
，其中f1
X1f1
n。
（2）加权平均数法：
当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：
（4）新数据法：
当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：
xx'a其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x'1x1a，x'2x2a，…,
一1
X'nXna。
X'一（X'1X'2X'n）是新数据的平均数（通常把X1,X2,,Xn,叫做原数据，
n
x'1,x'2,,x'n,叫做新数据）
考点二、统计学中的几个基本概念
1、总体：
所有考察对象的全体叫做总体。
2、个体：
总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本：
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量：
样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数：
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6总体平均数：
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
考点三、众数、中位数
1、众数：
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数：
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
考点四、方差
1、方差的概念
在一组数据X「X2，,Xn，中，各数据与它们的平均数X的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。
通常用“s2”表示，即：
s2丄[（x,X）2（x2X）2（xnx）2]
n
2、方差的计算
（1）基本公式:
s21[（X1x）2
n
（X2x）2
（Xn
X）2]
（2
）简
化
计算公式（
I）:
s2
1[（2
[（X1
n
x；
2s
1[（X12
2
X2
X；）]X
n
_2
X：
）nx]也可写成
此公式的记忆方法是：
方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。
（3）简化计算公式（II）:
s21[（x'2x'2
n
2\
Xn）
2
nx']
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个
与它们的平均数接近的常数
a,得到一组新数据x'1x1a,x'2x2a，…，x'nXna,
2
那么，s21[（x'2x'2x'n）]x'
n
此公式的记忆方法是：
方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
（4）新数据法:
原数据x1,x2,,xn,的方差与新数据x'1x1a，x'2x2a，…，x'nxna的方差相等，
也就是说，根据方差的基本公式，求得x'1,x'2，,x'n，的方差就等于原数据的方差。
3、标准差
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
svs2J1[（x1x）2（X2x）2（Xnx）2]
n
考点五、频率分布
1、频率分布的意义
在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。
2、研究频率分布的一般步骤及有关概念
（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：
1计算极差（最大值与最小值的差）；②决定组距与组数；③决定分点；④列频率分布表;
⑤画频率分布直方图
（2）频率分布的有关概念
1极差：
最大值与最小值的差
2频数：
落在各个小组内的数据的个数
3频率：
每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。
考点六、确定事件和随机事件
1、确定事件必然发生的事件：
在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：
有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件：
在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。
考点七、随机事件发生的可能性对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。
要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。
所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。
考点八、概率的意义与表示方法
1、概率的意义：
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率-会稳定在某个常
m
数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
2、事件和概率的表示方法：
一般，事件用英文大写字母ABC…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P
考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系
1、确定事件概率
（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1
（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0
2、确定事件和随机事件的概率之间的关系
事件发生的可能性越来越小
01概率的值
不可能发生必然发生
事件发生的可能性越来越大
考点十、古典概型
1、古典概型的定义：
某个试验若具有：
①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②
在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
2、古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A
包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A=-
n
考点^一、列表法求概率
1、列表法：
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
2、列表法的应用场合：
当一次试验要设计两个因素，且可能出现的结果数目较多时，为不
重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
考点十二、树状图法求概率（10分）
1、树状图法：
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
2、运用树状图法求概率的条件：
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方
便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
考点十三、利用频率估计概率（8分）
1、利用频率估计概率：
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验
3、随机数：
在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。
把这些随机产生的数据称为随机数。
第六章一次函数与反比例函数
考点一、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向
上为正方向；两轴的交点0（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：
x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵
坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当ab时，（a，3和（b，a）是
两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分）
1、各象限内点的坐标的特征
点P（x,y）在第一象限x0,y0；点P（x,y）在第二象限x0,y0
点P（x,y）在第三象限x0,y0；点P（x,y）在第四象限x0,y0
2、坐标轴上的点的特征
点P（x,y）在x轴上y0,x为任意实数；点P（x,y）在y轴上x0,y为任意实数点P（x,y）既在x轴上，又在y轴上x,y同时为零，即点P坐标为（0,0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的
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