立体几何大题训练与答案.docx
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立体几何大题训练与答案
1、如图，正方形
ABCD所在平面与平面四边形
ABEF所在平面互相垂直，
△ABE是等腰
直角三角形，
ABAE2,FAFE,
AEF45
E
（1）线段CD的中点为P，线段AE的中点为M，
FM.
求证：
PM//平面BCE；
（2）求直线CF与平面BCE所成角的正切值.
A
B
D
.
C
解：
（1）取AB的中点为N，连MN,PN
则MN//EB,PN//BC
P
面PMN//面EBC,
PM//平面BCE
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（2）先证出FE
面EBC，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
FCE为直线CF与平面BCE所成角，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11分
tanFCE
FE
6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
EC6
2、己知多面体
ABCDE中，DE
平面ACD，AB//DE，AC=AD=CD=DE=2
，AB=1，O
为CD的中点.
B
（1）
求证：
AO
平面CDE；
A
（2）
求直线BD与平面CBE所成角的正弦值
CE
O
D
3、如图，在△ABC中，C90，ACBC3a，点P在AB上，PE//BC交AC于
E，PF//AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A'PE，使平面A'PE平面
ABC；沿PF将△BPF翻折成△B'PF，使平面B'PF平面ABC．
（1）求证：
B'C//平面A'PE；
（2）若AP2PB，求二面角A'PCE的平面角的正切值．
C
E
A
A'
B'CEA
FP
F
BBP
解：
（1）因为FC//PE，FC
平面A'PE，所以FC//平面A'PE
因为平面A'PE平面PEC，且A'EPE，所以A'E
平面
同理，B'F
平面ABC，所以B'F//A'E，从而B'F//平面
所以平面B'CF//平面A'PE，从而B'C//平面A'PE．
（2）因为AC
BC
3a，AP
2BP，
所以CEa，EA
2a，PE
2a，PC5a．
过E作EM
PC，垂足为M，连结AM．
A'
．
ABC．⋯2分
A'PE．⋯4分
⋯6分
⋯8分
B'
C
E
M
A
F
P
B
（第20题）
由
（1）知A'E平面ABC，可得AE
PC，
所以PC面AEM，所以AM
PC．
所以A'ME即为所求二面角
A'PC
E的平面角，可记为．
⋯12分
在Rt△PCE中，求得EM
2
5a，
5
所以tan
AE
2a
5
．
⋯15分
EM
2
5a
5
、如图，
DA
平面
ABC
，
ED
平面
BCD
，
DE=DA=AB=AC.
BAC1200，
M
为
BC
4
中点.
E
（1）求直线EM与平面BCD所成角的正弦值；
（2）P为线段DM上一点，且APDM，求证：
AP//DE.
D
P
A
C
M
B
解：
（1）
ED
平面BCD，
DM为EM在平面BCD上的射影，
EMD为EM与平面BCD所成角．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2
分
DA
平面ABC，
DA
AB,DA
AC，
E
设AB
a，又
DA
AB
AC，
DC
DB
2a．
在△ABC中，
BAC120，BC
3a，
D
又
M为BC中点，
DM
BC，
BM
1
BC
3
DM
5
P
2
a，
a．⋯5分
2
2
A
C
3a，
在Rt△EDM中，EM
DE2DM2
M
2B
sin
EMD
DE
a
2．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
EM
3
3
a
2
（2）
AB
AC，M为BC中点，
BC
AM．又DA
平面ABC，
BC
DA，
BC
平面DAM．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
又AP
平面DAM，
BC
AP，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
又
AP
DM，
AP平面BCD．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
又
ED
平面BCD，
AP//DE．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
5、如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF，CEAF
（1）．
（1）证明：
BD⊥EF；
E
（2）若AF＝1，且直线BE与平面ACE所成角的正弦值
F
AD
为32，求的值．
10
解：
（1）连结
BD、AC，交点为Ｏ．∵
ABCD
是正方形
∴BD⊥AC
⋯⋯2分
∵AF⊥平面
ABCD
∴AF⊥BD
⋯⋯4分
∴BD⊥平面
ACEF
⋯⋯6分
∴BD⊥EF
⋯⋯7分
（2）连结OE，由
（1）知，BD⊥平面ACEF，
所以∠BEO即为直线BE与平面ACE所成的角．
⋯⋯10
分
∵AF⊥平面ABCD，CE∥AF，∴CE⊥平面ABCD，CE⊥BC，
∵BC=1，AF＝1，则CE＝
，BE＝
1
2
，BO＝
2，
2
∴Rt△BEO中，sin
BEO
BO
2
32，
⋯13分
BE
2
1
2
10
因为
1，解得
4．
⋯⋯15分
3
6、如图，在几何体中，
AA1平面ABC，AB
BC,CC1//AA1,ABBCAA12,
CC11,D,E分别是AB,AA1的中点.
A1
（1）
求证：
BC1
//平面CDE；
（2）
求二面角E
DC
A的平面角的正切值.
E
C1
AC
D
B
解：
（1）连接ACR1R交EC于点F，由题意知四边形ACCR1RE是矩形，则F是ACR1R的中点，
连接DF，∵D是AB的中点，∴DF是△ABCR1R的中位线，
∴BCR1R//DF，
4分
∵BCR1R平面EDC，DF
平面EDC，
∴BCR1R//平面CDE.
7分
（2）作AH⊥直线CD，垂足为H，连接HE，
∵AAR1R⊥平面ABC，∴AAR1R⊥DC，
∴CD⊥平面AHE，
∴CD⊥EH，
∴AHE是二面角E–CD–A的平面角.
11分
∵D是AB的中点，
∴AH等于点B到CD的距离，
在△BCD中，求得：
AH＝
25
，
5
在△AEH中，
tanAHE
AE
5
AH
2
即所求二面角的正切值为
5
.
2
7、如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面，且PAABAC,
（1）求证：
PA//平面QBC；
P
（2）若PQ平面QBC，求CQ与平面PBC所成角的正弦值.Q
C
A
解：
（1）证明：
过点
Q作QD
BC
于点
D，
∵平面
QBC
⊥平面
ABC，∴
QD
平面
ABC⋯⋯2分
B
又∵
PA⊥平面
ABC
∴QD
∥PA,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
又∵
QD
平面
QBC
∴PA∥平面
QBC
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
（2）∵
PQ
平面QBC
∴PQB
PQC
90
，又∵
PB
PC,PQ
PQ
∴PQB
PQC
∴BQ
CQ
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
∴点
D是
BC的中点，连结
AD
，则
AD
BC
∴AD
平面
QBC
∴PQ∥
AD
，
AD
QD
∴四边形
PADQ
是矩形
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
设PAABAC2a
得：
PQ
AD
2a，PD6a
又∵BC
PA,BC
PQ，∴BC
平面PADQ，
从而平面PBC
平面PADQ，过Q作QH
PD于点H，则：
QH
平面PBC
∴QCH是CQ与平面PBC所成角
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12
分
∴QH
2
2a
23a，CQ
BQ
6a
6
3
sinQCH
QH
23
1
2
CQ
3
63
∴CQ与平面PBC所成角的正弦值为
2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
3
8、如图，在直三棱柱
ABCA1B1C1中，
ABC是等腰直角三角形，
ACB
900
，侧棱
AA1=2，D，E分别为CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是
ABD的重心.
（1）求证：
DE//平面ACB；
（2）求A1B与平面ABD
所成角的正弦值.
A1
C
1
B1
E
D
A
C
B
9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱
ABC—A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，
∠B=90°,
D为棱BB1的中点。
B1
（1）求证：
面DA1C⊥面AA1C1C；
（2）若
AA1
2，求二面角A—A1D—C的大小。
A1
C1
AB
D
B
AC
10、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，
AB=2，M为PB的中点．
（1）证明：
P
MC//平面PAD；
（2）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．
M
A
B
D
C
11、如图在梯形
ABCD中，
AB//DC，E、F是线段AB上的两点，且
DEAB,CF
AB，CF
3,EFFB
2,G为FB的中点,设AE
t，现将
ADE,BCF分别沿DE,CF折起，使A、B两点重合于点P，得到多面体PEFCD.
（1）求证：
PD//平面EGC；
（2）当EG
面PFC时,求DG与平面
D
C
PED所成角的正切值.
D
C
EF
AEFGBG
P
（1）证明：
连接
DF交EC于点M，连接MG
C
PD//MG
D
M,G为中点
又
PD
面EGC
M
MG
面EGC
PD//平面EGC———5分
（2）当EG
面PFC时,EG
PF
又
G为FB的中点，
EF
EP
2，t2—————
7分
E
F
过点G在平面PEF中作EP的垂线，垂足为N，连接DN.
G
N
DE
面PEF
面PED
面PEF
GN面PED
P
GDN即为DG与平面PED所成角.——————11分
易求得GN
3
21
所以DG与平面PED所成角的正切值为
7
2
DN
.——14分
2
7
12、如图，在四边形ABCD中，ABAD4，BCCD7，点E为线段AD上的
一点.现将DCE沿线段EC翻折到PAC，使得平面PAC平面ABCE，连接PA，PB.
（1）证明：
BD平面PAC；
（2）若BAD60，且点E为线段AD的中点，求直线PE与平面ABCE所成角的正弦值.
P
D
C
E
解：
（1）连接AC，BD交于点O,在四边形ABCD中，
B
∵AB
AD
4，BC
CD
7
A
∴ABC
ADC，∴
DAC
BAC,∴AC
BD
又∵平面PAC
平面ABCE，且平面PAC
平面ABCE=AC
∴BD
平面PAC⋯⋯⋯⋯6分
（2）如图，过点P作AC的垂线，垂足为
H，连接EH，EC
并取AO中点F，连接EF，
∵平面PAC
平面ABCE，且平面PAC
平面ABCE=AC，PH
AC
∴PH
平面ABCE，∴PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，
由（Ⅰ）可知，AC
BD，且AO
23，CO
3
，
又PE
2
，PC
7，设CH
x，则有
PH
7x2，EH
PE2
PH2
x2
3
又∵F为AO的中点，在
RtEFH中，FH
2
3
x，EF1
由勾股定理得，
（2
3
）21
x
2
3
，解得x
4
x
3，
3
2
3，PH
5
∴EH
3
3
3
∴直线PE
与平面ABCE的所成角的正弦值即
EH
3
sinPEH
.
PE
3
13、在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC=AA1
∠AA1C1=∠BAC1=60°，设AC1与AC相交于点
（1）求证：
BO⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角B1—AC1—A1的大小。
A
=2，平面ABC1⊥平面AA1C1C，O，如图．
BB1
CC1
O
A1
14、如图1，四面体PABC中，BC=BP=1，AC=AP=
3，AB=2，将
PAB沿直线AB翻折
至
P1AB，使点A,P1,B,C在同一平面内（如图2），点M为PC中点.
（1）
求证：
直线PP1//平面MAB；
P
P
（2）
求证：
PC
AB；
（3）
1
A
M
A
求直线PA与平面PPC所成角的大小.
C
C
P1
B
B
答案：
（3）、
3
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