学年浙江杭州市西湖区八年级上期末数学考试.docx

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学年浙江杭州市西湖区八年级上期末数学考试

20162017学年浙江杭州市西湖区八年级（上）期末数学考试

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2016-2017学年浙江省杭州市西湖区八年级（上）期末数学试卷

一、仔细选一选

1．点（﹣3，2）在第（　　）象限．

A．一B．二C．三D．四

2．在直角坐标系中与（2，﹣3）在同一个正比例函数图象上的是（　　）

A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（4，﹣6）D．（﹣4，﹣6）

3．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60°，则∠BFC=（　　）

A．118°B．119°C．120°D．121°

4．已知（﹣1，y1），（1，y2）是直线y=﹣9x+6上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　）

A．y1＞0＞y2B．y1＞y2＞0C．y2＞0＞y1D．0＞y1＞y2

5．可以用来说明命题“若|a|＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　　）

A．a=3B．a=2C．a=﹣2D．a=﹣1

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，若CD=2，则DE的长为（　　）

A．2B．3C．4D．5

7．已知a＞b＞0，那么下列不等式组中无解的是（　　）

A．B．C．D．

8．△ABC中，O是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，已知BC=a（a是常数），设△ABC的周长为y，△AEF的周长为x，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是（　　）

A．

B．

C．

D．

9．等腰△ABC的周长为10，则其腰长x的取值范围是（　　）

A．x＞B．x＜5C．＜x＜5D．≤x≤5

10．已知两点M（3，2），N（﹣1，3），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为（　　）

A．（0，）B．（，0）C．（，0）D．（，0）

二、填一填

11．若等腰三角形的边长分别为4和6，则它的周长为　　．

12．若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围为　　．

13．已知三角形的三条边分别为，2，，则此三角形的面积为　　．

14．在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，则斜边中线长为　　．

15．已知点P（a，b）在直线y=x﹣1上，点Q（﹣a，2b）在直线y=x+1上，则代数式a2﹣4b2﹣1的值为　　．

16．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（0，2），点M在直线y=﹣2x+b上，且AM=OM=2，则b的值为　　．

三、全面答一答

17．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长皆为1．请在网格上画出长度分别为，，的线段．

18．证明命题“三角形的三内角和为180°”是真命题．

19．一个长方形的周长是12cm，一边长是x（cm）．

（1）求它的另一条边长y关于x的函数表达式以及x的取值范围；

（2）请画出这个函数的图象．

20．已知a+1＞0，2a﹣2＜0．

（1）求a的取值范围；

（2）若a﹣b=3，求a+b的取值范围．

21．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：

如果y'=，那么称点Q为点P的“关联点”．例如：

点（2，3）的“关联点”为点（2，3），点（﹣2，3）的“关联点”为点（﹣2，﹣3）．

（1）①点（2，1）的“关联点”为　　；

②点（3，﹣1）的“关联点”为　　；

（2）①如果点P′（﹣2，1）是一次函数y=x+1图象上点P的“关联点”，那么点P的坐标为　　；

②如果点Q′（m，2）是一次函数y=x+1图象上点Q的“关联点”，求点Q的坐标．

22．如图，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于点E，AF⊥CF于点F，其中0°＜∠ACF＜45°．

（1）求证：

△BEC≌△CFA；

（2）若AF=5，EF=8，求BE的长；

（3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断△QEF的形状，并说明理由．

23．直线y=x+b（b＞0）与x，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（﹣6，0），过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且=．

（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；

（2）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P坐标；

（3）在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD并请直接写出点D的坐标．

2016-2017学年浙江省杭州市西湖区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、仔细选一选

1．点（﹣3，2）在第（　　）象限．

A．一B．二C．三D．四

【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．

【解答】解：

点（﹣3，2）在第二象限，

故选：

B．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

2．在直角坐标系中与（2，﹣3）在同一个正比例函数图象上的是（　　）

A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（4，﹣6）D．（﹣4，﹣6）

【分析】根据点的坐标利用待定系数法即可求出正比例函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征对照四个选项即可得出结论．

【解答】解：

设正比例函数解析式为y=kx，

将（2，﹣3）代入y=kx，

﹣3=2k，解得：

k=﹣，

∴正比例函数的解析式为y=﹣x．

对照四个选项中点的坐标即可得出C选项中的点在该比例函数图象上．

故选C．

【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出正比例函数解析式是解题的关键．

3．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60°，则∠BFC=（　　）

A．118°B．119°C．120°D．121°

【分析】根据角平分线的定义可得出∠CBF=∠ABC、∠BCF=∠ACB，再根据内角和定理结合∠A=60°即可求出∠BFC的度数．

【解答】解：

∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，

∴∠CBF=∠ABC，∠BCF=∠ACB，

∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°，

∴∠BFC=180°﹣（∠CBF+BCF）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=120°．

故选C．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．

4．已知（﹣1，y1），（1，y2）是直线y=﹣9x+6上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　）

A．y1＞0＞y2B．y1＞y2＞0C．y2＞0＞y1D．0＞y1＞y2

【分析】直接把（﹣1，y1），（1，y2）代入直线y=﹣9x+6，求出y1，y2的值，再比较大小即可．

【解答】解：

∵（﹣1，y1），（1，y2）是直线y=﹣9x+6上的两个点，

∴y1=9+6=15，y2=﹣9+6=﹣4，

∵﹣4＜0＜15，

∴y1＞0＞y2．

故选A．

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

5．可以用来说明命题“若|a|＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　　）

A．a=3B．a=2C．a=﹣2D．a=﹣1

【分析】说明命题为假命题，反例满足条件，但不能满足结论，利用此方法可得到a=﹣2．

【解答】解：

说明命题“若|a|＞1，则a＞1”是假命题的反例时，a取满足|a|＞1但不满足a＞1的值．

故选C．

【点评】本题考查了命题与定理：

判断一件事情的语句，叫做命题．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，若CD=2，则DE的长为（　　）

A．2B．3C．4D．5

【分析】根据角平分线的性质定理解答即可．

【解答】解：

∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=DC=2．

故选：

A．

【点评】题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

7．已知a＞b＞0，那么下列不等式组中无解的是（　　）

A．B．C．D．

【分析】由各个选项可以得到x的解集，然后根据a＞b＞0，可知哪个选项不成立，本题得以解决．

【解答】解：

∵a＞b＞0，

∴由A知，﹣b＜x＜a成立；

由B知﹣a＜x＜﹣b成立；

由C知﹣a＜x＜b成立；

由D知a＜x＜﹣b不成立；

故选D．

【点评】本题考查不等式的解集，解题的关键是明确不等式的解集成立的条件，要符合题意．

8．△ABC中，O是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，已知BC=a（a是常数），设△ABC的周长为y，△AEF的周长为x，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】由于点O是△ABC的内心，根据内心的性质得到OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，又EF∥BC，可得到∠1=∠3，则EO=EB，同理可得FO=FC，再根据周长的所以可得到y=x+a，（x＞0），即它是一次函数，即可得到正确选项．

【解答】解：

如图，∵点O是△ABC的内心，

∴∠1=∠2，

又∵EF∥BC，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠3，

∴EO=EB，

同理可得FO=FC，

∵x=AE+EO+FO+AF，

y=AE+BE+AF+FC+BC，

∴y=x+a，（x＞0），

即y是x的一次函数，

所以B选项正确．

故选B．

【点评】本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象和性质以及内心的性质和平行线的性质，正确得出函数关系式是解题关键．

9．等腰△ABC的周长为10，则其腰长x的取值范围是（　　）

A．x＞B．x＜5C．＜x＜5D．≤x≤5

【分析】根据三角形的性质，两边之和大于第三边列出不等式可求出腰长的取值范围．

【解答】解：

设腰长为x，则底边长为10﹣2x，依题意得：

，解得＜x＜5．

故选C．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，根据三角形两边的和大于第三边列出不等式组即可．

10．已知两点M（3，2），N（﹣1，3），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为（　　）

A．（0，）B．（，0）C．（，0）D．（，0）

【分析】先求得M的对称点M′的坐标，根据两点的坐标代入一次函数解析式中，确定一次函数解析式，然后根据点P在x轴上，则其纵坐标是0，求出横坐标即可．

【解答】解：

作M点关于x轴的对称点M′，

∵M（3，2），

∴M′（3，﹣2），

设直线M′N的解析式为y=kx+b，

∴，

解得，

∴直线M′N的解析式为y=﹣x+，

∵P的纵坐标为0，

∴﹣x+=0，解得x=，

∴P（，0）．

故选D．

【点评】此题考查了最短路径问题和用待定系数法求一次函数解析式，判断出M、P、N三点共线时MN最小是解题的关键．

二、填一填

11．若等腰三角形的边长分别为4和6，则它的周长为　16或14　．

【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．

【解答】解：

当4是底时，三边为4，6，6，能构成三角形，周长为4+6+6=16；

当6是底时，三边为4，4，6，能构成三角形，周长为4+4+6=14．

故周长为16或14．

故答案为：

16或14．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．

12．若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围为　a＜3　．

【分析】根据不等式的性质，可得答案．

【解答】解：

由不等号的方向改变，得

a﹣3＜0，

解得a＜3，

故答案为：

a＜3．

【点评】本题考查了不等式的性质，利用不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题关键．

13．已知三角形的三条边分别为，2，，则此三角形的面积为　　．

【分析】已知三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后根据三角形面积公式即可求得面积．

【解答】解：

∵（）2+22=（）2，

∴此三角形为直角三角形，

∴此三角形的面积为：

×2×=．

故答案为：

．

【点评】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．

14．在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，则斜边中线长为　2.5或　．

【分析】分两种情况：

①AB为斜边时；②AB和BC为直角边长时，在直角三角形中，已知两直角边根据勾股定理可以求得斜边的长度；根据斜边的中线长等于斜边长的一半即可解题．

【解答】解：

在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，

①AB为斜边时，斜边中线长为AB=2.5；

②AB和BC为直角边长时，

由勾股定理得：

斜边长==，

则斜边中线长为AC=；

故答案为：

2.5或．

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了斜边中线长是斜边长的一半的性质，进行分类讨论是解题的关键．

15．已知点P（a，b）在直线y=x﹣1上，点Q（﹣a，2b）在直线y=x+1上，则代数式a2﹣4b2﹣1的值为　1　．

【分析】将点的坐标代入直线中可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程即可得出a、b的值，将其代入代数式a2﹣4b2﹣1中，即可得出结论．

【解答】解：

由已知得：

，

解得：

．

∴a2﹣4b2﹣1=﹣4×﹣1=1．

故答案为：

1．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解二元一次方程组，解题的关键是求出a、b的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在直线上得出方程（或方程组）是关键．

16．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（0，2），点M在直线y=﹣2x+b上，且AM=OM=2，则b的值为　1﹣2或1+2　．

【分析】根据题意画出图形，∴△OAM是等边三角形，易知M（，1）或（﹣，1，利用待定系数法即可解决问题．

【解答】解：

如图，∵AM=OM=OA=2，

∴△OAM是等边三角形，

易知M（，1）或（﹣，1）

当M（，1）时，1=2+b，解得b=1﹣2，

当M（﹣，1）时，1=﹣2+b，解得b=1+2，

故答案为：

1﹣2或1+2．

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

三、全面答一答

17．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长皆为1．请在网格上画出长度分别为，，的线段．

【分析】由勾股定理得出：

是直角边长为1，1的直角三角形的斜边；是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，4的直角三角形的斜边．

【解答】解：

如图所示，图中的AB，CD，EF即为所求，

AB==，CD==，EF==．

【点评】本题考查了勾股定理；解决本题的关键是找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长．

18．证明命题“三角形的三内角和为180°”是真命题．

【分析】先写出已知、求证，然后作射线BD，过C点作CE∥AB，利用平行线的性质把三角形三个角转化到一个平角的位置，然后根据平角的定义可判断三角形的三内角和为180°．

【解答】已知：

∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角，

求证：

∠A+∠B+∠C=180°，

证明：

作射线BD，过C点作CE∥AB，如图，

∵CE∥AB，

∴∠1=∠A，∠2=∠B，

而∠C+∠1+∠2=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°．

所以命题“三角形的三内角和为180°”是真命题．

【点评】本题考查了命题与定理：

判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．

19．一个长方形的周长是12cm，一边长是x（cm）．

（1）求它的另一条边长y关于x的函数表达式以及x的取值范围；

（2）请画出这个函数的图象．

【分析】

（1）根据长方形的周长公式，可得答案．

（2）由

（1）中的函数解析式画出函数图象即可．

【解答】解：

（1）由周长为12cm的长方形的一边长是x（cm），得

y=﹣x，即y=6﹣x．

因为，

所以0＜x＜6．

（2）由

（1）知，y=6﹣x（0＜x＜6）．

当x=0时，y=6，

当y=0时，x=6，

即该直线经过点（0，6）和（6，0）．

故其函数图象如图所示：

．

【点评】本题考查了一次函数的应用和函数自变量的取值范围，利用矩形周长公式得出不等式组是解题关键．

20．已知a+1＞0，2a﹣2＜0．

（1）求a的取值范围；

（2）若a﹣b=3，求a+b的取值范围．

【分析】

（1）解两个不等式组成的方程组即可求得a的范围；

（2）根据a﹣b=3可得b=a﹣3，则a+b=2a﹣3，然后根据a的范围即可求解．

【解答】解：

（1）根据题意得，

解①得a＞﹣1，

解②得a＜1，

则a的范围是﹣1＜a＜1；

（2）∵a﹣b=3，

∴b=a﹣3，

∴a+b=2a﹣3，

∴﹣﹣5＜2a﹣3＜﹣1，即﹣5＜a+b＜﹣1．

【点评】本题考查了不等式组的解法以及不等式的性质，把a+b利用a表示是关键．

21．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：

如果y'=，那么称点Q为点P的“关联点”．例如：

点（2，3）的“关联点”为点（2，3），点（﹣2，3）的“关联点”为点（﹣2，﹣3）．

（1）①点（2，1）的“关联点”为　（2，1）　；

②点（3，﹣1）的“关联点”为　（3，﹣1）　；

（2）①如果点P′（﹣2，1）是一次函数y=x+1图象上点P的“关联点”，那么点P的坐标为　（﹣2，﹣1）　；

②如果点Q′（m，2）是一次函数y=x+1图象上点Q的“关联点”，求点Q的坐标．

【分析】

（1）①②根据关联点的定义解答即可；

（2）①根据关联点的定义解答即可；

②由题意点Q是纵坐标为2或﹣2，由此就考了解决问题．

【解答】解：

（1）①点（2，1）的“关联点”为（2，1）；

②点（3，﹣1）的“关联点”为（3，﹣1）；

故答案为（2，1），（3，﹣1）；

（2）①∵点P′（﹣2，1）是一次函数y=x+1图象上点P的“关联点”，

∴P（﹣2，﹣1）；

故答案为（﹣2，﹣1）；

②由题意点Q是纵坐标为2或﹣2，

∴Q（1，2），或（﹣3，﹣2）．

【点评】本题考查一次函数图象上的坐标的特征，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．

22．如图，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于点E，AF⊥CF于点F，其中0°＜∠ACF＜45°．

（1）求证：

△BEC≌△CFA；

（2）若AF=5，EF=8，求BE的长；

（3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断△QEF的形状，并说明理由．

【分析】

（1）首先证明∠B=∠ACF，即可根据AAS证明两三角形全等．

（2）由△BEC≌△CFA，推出AF=CE=5，BE=CF，由CF=CE+EF=5+8=13，即可解决问题．

（3）△QEF是等腰直角三角形．如图，由此EQ交AF的延长线于M．只要证明△BQE≌△AQM，即可解决问题．

【解答】

（1）证明：

∵∠BCA=∠BEC=∠F=90°，

∴∠BCE+∠B=90°，∠BCE+∠ACF=90°，

∴∠B=∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

，

∴△BEC≌△CFA．

解：

（2）∵△BEC≌△CFA，

∴AF=CE=5，BE=CF，

∵CF=CE+EF=5+8=13，

∴BE=13．

（3）结论：

△QEF是等腰直角三角形．

理由：

如图，由此EQ交AF的延长线于M．

∵BE⊥CF，AF⊥CF，

∴BE∥AM，

∴∠BEQ=∠M，

在△BQE和△AQM中，

，

∴△BQE≌△AQM，

∴EQ=QM，BE=AM=CF，

∵CE=AF，

∴FE=FM，

∴FQ⊥EM，QF=QM=QE，

∴△QEF是等腰直角三角形．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会解题常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

23．直线y=x+b（b＞0）与x，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（﹣6，0），过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且=．

（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；

（2）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P坐标；

（3）在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD并请直接写出点D的坐标．

【分析】

（1）思想利用待定系数法求出点B坐标、点C坐标，再利用待定系数法即可解决问题．

（2）如图1中，由题意PB=PC，设PB=PC=x．在Rt△POC中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．

（3）设点C关于直线AB的对称点为D，则△ABD≌△ABC，求出直线CD的解析式，利用中点坐标公式即可解决问题，再根据对称性可得另一个满足条件的点D′坐标．

【解答】解：

（1）把A的坐标为（﹣6，0）代入y=x+b中，得到b=6，

∴B（0，6），

∵=，

∴OC=2，

∴C（2，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，解得，

∴直线BC的解析式为y=﹣3x+6．

（2）如图1中，由题意PB=PC，设PB=PC=x．

在Rt△POC中，∵OP=6﹣x，PC=x，OC=2，

∴x2=（6﹣x）2+22，

∴x=，

∴OP=6﹣=，

∴P（0，）．

（3）如图2中，

设点C关于直线AB的对称点为D，则△ABD≌△ABC，

∵直线AB的解析式为y=x+6，

∴直线CD的解析式为y=﹣x+2，

由，解得，

∴H（﹣2，4），

∵DH=HC，

∴D（﹣6，8），

根据对称性点D关于直线y=﹣x的对称点D′（﹣8，6）也满足条件．

综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣6，8）或（﹣8，6）．

【点评】本题考查一次函数综合题、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数利用方程组确定两个函数的图象的交点坐标，属于中考压轴题．