Q.Add（Ew）;//可能含最优解
Q.Delete（Ew）;//取下一扩展结点
解答：
斜线标识的部分完成的功能为：
提前更新bestw值；
这样做可以尽早的进行对右子树的剪枝。
具体为：
算法Maxloading初始时将bestw设置为0，直到搜索到第一个叶结点时才更新bestw。
因此在算法搜索到第一个叶子结点之前，总有bestw=0，r>0故Ew+r>bestw总是成立。
也就是说，此时右子树测试不起作用。
为了使上述右子树测试尽早生效，应提早更新bestw。
又知算法最终找到的最优值是所求问题的子集树中所有可行结点相应重量的最大值。
而结点所相应得重量仅在搜索进入左子树是增加，因此，可以在算法每一次进入左子树时更新bestw的值。
7.最长公共子序列问题：
给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。
由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值的递归关系。
用c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。
其中，Xi={x1,x2,…,xi}；Yj={y1,y2,…,yj}。
当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列。
故此时C[i][j]=0。
其它情况下，由最优子结构性质可建立递归关系如下：
在程序中，b[i][j]记录C[i][j]的值是由哪一个子问题的解得到的。
（1）请填写程序中的空格，以使函数LCSLength完成计算最优值的功能。
voidLCSLength（intm，intn，char*x，char*y，int**c，int**b）
{
inti，j;
for（i=1;i<=m;i++）c[i][0]=0;
for（i=1;i<=n;i++）c[0][i]=0;
for（i=1;i<=m;i++）
for（j=1;j<=n;j++）{
if（x[i]==y[j]）{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;b[i][j]=1;}
elseif（c[i-1][j]>=c[i][j-1]）{
c[i][j]=c[i-1][j];b[i][j]=2;}
else{c[i][j]=c[i][j-1];b[i][j]=3;}
}
}
（2）函数LCS实现根据b的内容打印出Xi和Yj的最长公共子序列。
请填写程序中的空格，以使函数LCS完成构造最长公共子序列的功能（请将b[i][j]的取值与
（1）中您填写的取值对应，否则视为错误）。
voidLCS（inti，intj，char*x，int**b）
{
if（i==0||j==0）return;
if（b[i][j]==1）{
LCS（i-1，j-1，x，b）;
cout<}
elseif（b[i][j]==2）LCS（i-1，j，x，b）;
elseLCS（i，j-1，x，b）;
}
8.对下面的递归算法，写出调用f（4）的执行结果。
voidf（intk）
{if（k>0）
{printf（"%d\n",k）;
f（k-1）;
f（k-1）;
}
}
二、复杂性分析
1、MERGESORT（low，high）
iflowthenmid←（low，high）/2；
MERGESORT（low，mid）；
MERGESORT（mid+1，high）；
MERGE（low，mid，high）；
endif
endMERGESORT
答:
1、递归方程
设n=2k
解递归方程：
2、procedureS1（P，W，M，X，n）
i←1;a←0
whilei≤ndo
ifW（i）>Mthenreturnendif
a←a+i
i←i+1;
repeat
end
解：
i←1;s←0时间为：
O
（1）
whilei≤ndo循环n次
循环体内所用时间为O
（1）
所以总时间为:
T（n）=O
（1）+nO
（1）=O（n）
3.procedurePARTITION（m,p）
Integerm,p,i;globalA（m:
p-1）
v←A（m）;i←m
loop
loopi←i+1untilA（i）≥vrepeat
loopp←p-1untilA（p）≤vrepeat
ifithencallINTERCHANGE（A（i）,A（p））
elseexit
endif
repeat
A（m）←A（p）;A（p）←v
EndPARTITION
解：
最多的查找次数是p-m+1次
4.procedureF1（n）
ifn<2thenreturn
（1）
elsereturn（F2（2,n,1,1））
endif
endF1
procedureF2（i,n,x,y）
ifi≤n
thencallF2（i+1,n,y,x+y）
endif
return（y）
endF2
解：
F2（2，n,1,1）的时间复杂度为：
T（n）=O（n-2）;因为i≤n时要递归调用F2，一共是n-2次
当n＝1时F1（n）的时间为O
（1）
当n>1时F1（n）的时间复杂度与F2（2,n,1,1）的时间复杂度相同即为为O（n）
5.procedureMAX（A,n,j）
xmax←A
（1）;j←1
fori←2tondo
ifA（i）>xmaxthenxmax←A（i）;j←i;endif
repeat
endMAX
解：
xmax←A
（1）;j←1时间为：
O
（1）
fori←2tondo循环最多n-1次
所以总时间为:
T（n）=O
（1）+（n-1）O
（1）=O（n）
6.procedureBINSRCH（A,n,x,j）
integerlow,high,mid,j,n;
low←1;high←n
whilelow≤highdo
mid←|_（low+high）/2_|
case
:
xhigh←mid-1
:
x>A（mid）:
low←mid+1
:
else:
j←mid;return
endcase
repeat
j←0
endBINSRCH
解：
log2n+1
三、算法理解
1、写出多段图最短路经动态规划算法求解下列实例的过程，并求出最优值。
各边的代价如下：
C（1,2）=3，C（1,3）=5，C（1,4）=2
C（2,6）=8，C（2,7）=4，C（3,5）=5，C（3,6）=4，C（4,5）=2，C（4,6）=1
C（5,8）=4，C（6,8）=5，C（7,8）=6
解：
Cost（4,8）=0
Cost（3,7）=C（7,8）+0=6，D[5]=8
Cost（3,6）=C（6，8）+0=5,D[6]=8
Cost（3,5）=C（5，8）+0=4D[7]=8
Cost（2,4）=min{C（4，6）+Cost（3,6）,C（4，5）+Cost（3,5）}
=min{1+5,2+4}=6D[4]=6
Cost（2,3）=min{C（3，6）+Cost（3,6）}
=min{4+5}=9D[3]=5
Cost（2,2）=min{C（2，6）+Cost（3,6）,C（2，7）+Cost（3,7）}
=min{8+5,4+6}=10D[2]=7
Cost（1,1）=min{C（1,2）+Cost（2,2）,C（1,3）+Cost（2,3）,C（1,4）+Cost（2,4）}
=min{3+10,5+9,2+6}=8
D[1]=4
1→4→6→8
2、写出maxmin算法对下列实例中找最大数和最小数的过程。
数组A=（48,12,61,3,5,19,32,7）
解：
写出maxmin算法对下列实例中找最大数和最小数的过程。
数组A=（）
1、48,12,61,3,5,19,32,7
2、48,1261,35,1932,7
3、48～61,12～319～32，5～7
4、61～323～5
5、613
3、快速排序算法对下列实例排序，算法执行过程中，写出数组A第一次被分割的过程。
A=（65,70,75,80,85,55,50,2）
解：
第一个分割元素为65
4、归并排序算法对下列实例排序，写出算法执行过程。
A=（48,12,61,3,5,19,32,7）
解：
48,12,61,35,19,32,7
48,1261,35,1932,7
12,483,615,197,32
3,12,48,615,7,19，32
3,5,7,12，19，32，48,61
5、写出图着色问题的回溯算法的判断X[k]是否合理的过程。
解：
i←0
whileiifG[k,i]=1andX[k]=X[i]then
returnfalse
i←i+1
repeat
ifi=kthenreturntrue
6、对于下图，写出图着色算法得出一种着色方案的过程。
解：
K←1
X[1]←1,返回true
X[2]←1,返回false;X[2]←X[2]+1=2,返回true
X[3]←1,返回false;X[3]←X[3]+1=2,返回false;X[3]←X[3]+1=3,返回true
X[4]←1,返回false;X[4]←X[4]+1=2,返回false;X[4]←X[4]+1=3,返回true
找到一个解（1，2，3，3）
7、写出第7题的状态空间树。
解：
8、写出归并排序算法对下列实例排序的过程。
（6,2,9,3,5,1,8,7）
解：
调用第一层次6,2,9,35,1,8,7分成两个子问题
调用第二层次6,29,35,18,7分成四个子问题
调用第三层次62935187分成八个子问题
调用第四层次只有一个元素返回上一层
第三层归并2,63,91,57,8返回上一层
第二层归并2,3,6,91,5,7,8返回上一层
第一层归并1,2,3,5,6,7,8,9排序结束，返回主函数
9、写出用背包问题贪心算法解决下列实例的过程。
P=（18,12,4,1）
W=（12,10,8,3）
M=25
解:
实例符合P（i）/W（i）≥P（i+1）/W（i+1）的顺序。
CU←25,X←0
W[1]x[1]←1;CU←CU-W[1]=13;
W[2]x[2]←1;CU←CU-W[2]=3;
W[3]>CU:
x[3]←CU/W[3]=3/8;
实例的解为：
（1，1，3/8，0）
11、有一个有序表为{1，3，9，12，32，41，45，62，75，77，82，95，100}，当使用二分查找值为82的结点时，经过多少次比较后查找成功并给出过程。
解：
有一个有序表为{1，3，9，12，32，41，45，62，75，77，82，95，100}，当使用二分查找值为82的结点时，经过多少次比较后查找成功并给出过程。
一共要要执行四次才能找到值为82的数。
12、使用prim算法构造出如下图G的一棵最小生成树。
dist（1,2）=6;dist（2,5）=3;dist（5,6）=6;dist（6,4）=2;dist（4,1）=5;
dist（1,3）=1;dist（2,3）=5;dist（3,4）=5;dist（3,6）=4;dist（5,3）=6
解：
使用普里姆算法构造出如下图G的一棵最小生成树。
dist（1,2）=6;dist（2,5）=3;dist（5,6）=6;dist（6,4）=2;dist（4,1）=5;
dist（1,3）=1;dist（2,3）=5;dist（3,4）=5;dist（3,6）=4;dist（5,3）=6
13、有如下函数说明
intf（intx,inty）
{
f=xMody+1;
}
已知a=10,b=4,c=5则执行k=f（f（a+c,b）,f（b,c））后，k的值是多少并写出详细过程。
解：
有如下函数说明
intf（intx,inty）
{
f=xMody+1;
}
已知a=10,b=4,c=5则执行k=f（f（a+c,b）,f（b,c））后，k的值是多少并写出详细过程。
}
K的值是5
14、McCathy函数定义如下：
当x>100时m（x）=x-10;
当x<=100时m（x）=m（m（x+11））;
编写一个递归函数计算给定x的m（x）值。
解：
McCathy函数定义如下：
当x>100时m（x）=x-10;
当x<=100时m（x）=m（m（x+11））;
编写一个递归函数计算给定x的m（x）值。
intm（intx）
{
inty;
if（x>100）return（x-100）;
else
{
y=m（x+11）;
return（m（y））;
}
}
15、设计一个算法在一个向量A中找出最大数和最小数的元素。
解：
设计一个算法在一个向量A中找出最大数和最小数的元素。
Voidmaxmin（A,n）
VectorA;
intn;
{
intmax,min,i;
max=A[1];min=A[1];
for（i=2;i<=n;i++）
if（A[i]>max）max=A[i];
elseif（A[i]printf（“max=%d,min=%d\n”,max,min）;
}
四、设计算法
1.设有n项独立的作业{1,2,…,n},由m台相同的机器加工处理。
作业i所需要的处理时间为ti。
约定：
任何一项作业可在任何一台机器上处理，但未完工前不准中断处理；任何作业不能拆分更小的子作业。
多机调度问题要求给出一种调度方案，使所给的n个作业在尽可能短的时间内由m台机器处理完。
设计算法，并讨论是否可获最优解。
解：
对于处理机j，用S[j]表示处理机j已有的作业数，用P[j,k]表示处理机j的第k个作业的序号。
1）将作业按照t[1]≥t[2]≥……≥t[n]排序
2）S[1:
m]清零j←0//从第一个处理机开始安排
3）fori←1tondo//安排n个作业
j←jmodm+1//选下一个处理机
S[j]←S[j]+1;
P[j,S[j]]←i；
Repeat
2.设有n种面值为:
d1≥d2≥……≥dn的钱币，需要找零钱M，如何选择钱币dk，的数目Xk，满足
d1×Xi＋……dn×Xn=M，使得
Xi＋……Xn最小
请选择贪心策略，并设计贪心算法。
解：
贪心原则：
每次选择最大面值硬币。
CU←M;i←1;X←0//X为解向量
WhileCU≠0do
X[i]←CUdivd[i]//X[i]为第i中硬币数
CU←CU-d[i]*X[i]
i←i+1;
repeat
3.有n个物品，已知n=7,利润为P=（10,5,15,7,6,18,3），重量W=（2,3,5,7,1,4,1），背包容积M=15,物品只能选择全部装入背包或不装入背包，设计贪心算法，并讨论是否可获最优解。
解：
定义结构体数组G，将物品编号、利润、重量作为一个结构体：
例如G[k]={1,10,2}
求最优解，按利润/重量的递减序，有
{5,6,1,6}{1,10,2,5}{6,18,4,9/2}{3,15,5,3}{7,3,1,3}{2,5,3,5/3}{4,7,7,1}
算法
procedureKNAPSACK（P，W，M，X，n）
//P（1：
n）和W（1；n）分别含有按
P（i）/W（i）≥P（i+1）/W（i+1）排序的n件物品的效益值
和重量。
M是背包的容量大小，而x（1：
n）是解向量//
realP（1：
n），W（1：
n），X（1：
n），M，cu；
integeri，n；
X←0//将解向量初始化为零//
cu←M//cu是背包剩余容量//
fori←1tondo
ifW（i）>cuthenexitendif
X（i）←1
cu←cu-W（i）
repeat
endGREEDY-KNAPSACK
根据算法得出的解：
X=（1,1,1,1,1,0,0）获利润52，而解
（1,1,1,1,0,1,0）可获利润54
因此贪心法不一定获得最优解。
4.设计只求一个哈密顿环的回溯算法。
解：
Hamiltonian（n）
{k←1;x[k]←0;
Whilek>0do
x[k]←x[k]+1;
whileB（k）=falseandx[k]≤ndo
x[k]←x[k]+1;repeat
Ifx[k]≤nthen
ifk=nthen{printx;return}
else{k←k+1;x[k]←0;}endif
elsek←k-1
endif
repeat
end
procedureB（k）
{G[x[k-1],x[k]]≠1thenreturnfalse;
fori←1tok-1do
ifx[i]=x[k]thenreturnfalse;endif
repeat
returntrue;
}
5．利用对称性设计算法，求n为偶数的皇后问题所有解。
解：
利用对称性设计算法，求n为偶数的皇后问题所有解。
procedureNQUEENS1（n）
a←0//计数器清零
X
（1）←0；k←1//k是当前行；X（k）是当前列//
Whilek>0do//对所有的行执行以下语句//
1）{X（k）←X（k）+1//移到下一列//
WhileX（k）≤nandnotPLACE（k）do
2）X（k）←X（k）十l
ifX（k）≤n
thenifk=n/
then
{print（X），a←a+1//找到一个解计数器a加1//
ifa=n/2thenreturn//找到n/2个解算法结束
3）else{k←k+1；X（k）←0；}
4）elsek←k－1//回溯//
}
endNQUEENS
1、对于下列各组函数f（n）和g（n），确定f（n）=O（g（n））或
或
，并简述理由。
（12分）
（1）
（2）
（3）
解：
简答如下：
（1）
，
（2）
，（3）
2、试用分治法实现有重复元素的排列问题：
设
是要进行排列的
个元素，其中元素
可能相同，试计算
的所有不同排列。
（13分）
解：
解答如下：
Template
voidPerm（Typelist[],intk,intm）
{
if（k==m）{
for（inti=0;i<=m;i++）cout<cout<}
elsefor（inti=k;i<=m;i++）
if（ok（lis
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