叙述并证明余弦定理精选多篇证明范本docWord文件下载.docx
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c=a+b·
a+b
∴c=a·
a+2a·
b+b·
b∴c=a+b+2|a||b|cosπ-θ
以上粗体字符表示向量
又∵cosπ-θ=-cosθ
∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ注意：
这里用到了三角函数公式
再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*cosc
即cosc=a2+b2-c2/2*a*b
同理可证其他，而下面的cosc=c2-b2-a2/2ab就是将cosc移到左边表示一下。
平面几何证法
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所对的边为c，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a
则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
根据勾股定理可得：
ac2=ad2+dc2
b2=sinb*c2+a-cosb*c2
b2=sinb*c2+a2-2ac*cosb+cosb2*c2
b2=sinb2+cosb2*c2-2ac*cosb+a2
b2=c2+a2-2ac*cosb
cosb=c2+a2-b2/2ac
编辑本段作用
1已知三角形的三条边长，可求出三个内角
2已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。
3已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。
见解三角形公式，推导过程略。
判定定理一两根判别法：
若记mc1,c2为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取
减号的值
①若mc1,c2=2,则有两解
②若mc1,c2=1,则有一解
③若mc1,c2=0,则有零解即无解。
注意：
若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
判定定理二角边判别法:
一当absina时
①当ba且cosa0即a为锐角时，则有两解
②当ba且cosa=0即a为直角或钝角时,则有零解即无解
③当b=a且cosa0即a为锐角时，则有一解
④当b=a且cosa=0即a为直角或钝角时,则有零解即无解
⑤当b二当a=bsina时
①当cosa0即a为锐角时,则有一解
②当cosa=0即a为直角或钝角时，则有零解即无解
三当a例如：
已知△abc的三边之比为5：
4：
3，求最大的内角。
解设三角形的三边为a,b,c且a:
b:
c=5:
4:
3.
由三角形中大边对大角可知：
∠a为最大的角。
由余弦定理
cosa=0
所以∠a=90°
.
再如△abc中，ab=2,ac=3,∠a=60度，求bc之长。
解由余弦定理可知
bc2=ab2+ac2-2ab×
ac·
=4+9-2×
2×
3×
cos60
=13-12x0.5
=13-6
=7
所以bc=√7.注：
cos60=0.5,可以用计算器算
以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。
编辑本段其他
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。
即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。
同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。
第二篇：
余弦定理证明过程
在△abc中，设bc＝a，ac＝b，ab＝c，试根据b，c，a来表示a。
分析：
由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，边a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用边角关系表示，db可利用ab－ad转化为ad，进而在rt△aｄc内求解。
解：
过c作cd⊥ab，垂足为d，则在rt△cｄb中，根据勾股定理可得：
a2＝cｄ2＋bｄ2
∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2
又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·
aｄ＋aｄ2
∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·
aｄ＋aｄ2＝b2＋c2
－2c·
aｄ又∵在rt△aｄc中，ad＝b·
cosa∴a2＝b2＋c2－2bccosa类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc
第三篇：
余弦定理及其证明
余弦定理及其证明1.三角形的正弦定理证明：
步骤1.
在锐角△abc中，设三边为a，b，c。
作ch⊥ab垂足为点h
ch=a·
sinb
ch=b·
sina
∴a·
sinb=b·
得到
a/sina=b/sinb
同理，在△abc中，
b/sinb=c/sinc
步骤2.
证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：
如图，任意三角形abc,作abc的外接圆o.
作直径bd交⊙o于d.
连接da.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
类似可证其余两个等式。
2.三角形的余弦定理证明：
平面几何证法：
ac=ad+dc
b=sinb*c+a-cosb*c
b=sinb*c+a+cosb*c-2ac*cosb
b=sinb+cosb*c-2ac*cosb+a
b=c+a-2ac*cosb
cosb=c+a-b/2ac
3
在△abc中，ab=c、bc=a、2
=a+b-2a*cd
因为cosc=cd/b
所以cd=b*cosc
所以c=a+b-2ab*cosc
题目中表示平方。
2
谈正、余弦定理的多种证法
聊城二中魏清泉
正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教a版教材《数学》必修5是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.
定理：
在△abc中，ab=c,ac=b,bc=a,则
1正弦定理==;
2余弦定理
c2=a2+b2-2abcosc,
b2=a2+c2-2accosb,
a2=b2+c2-2bccosa.
一、正弦定理的证明
证法一：
如图1，设ad、be、cf分别是△abc的三条高。
则有
ad=bsin∠bca，
be=csin∠cab，
cf=asin∠abc。
所以s△abc=abcsin∠bca
=bcsin∠cab
=casin∠abc.
证法二：
如图1，设ad、be、cf分别是△abc的3条高。
ad=bsin∠bca=csin∠abc，
be=asin∠bca=csin∠cab。
证法三：
如图2，设cd=2r是△abc的外接圆
的直径，则∠dac=90°
，∠abc=∠adc。
证法四：
如图3，设单位向量j与向量ac垂直。
因为ab=ac+cb，
所以jab=jac+cb=jac+jcb.
因为jac=0，
jcb=|j||cb|cos90°
-∠c=asinc，
jab=|j||ab|cos90°
-∠a=csina.
二、余弦定理的证明
法一：
在△abc中，已知，求c。
过a作，
在rt中，，
法二：
，即：
法三：
先证明如下等式：
⑴
证明：
故⑴式成立，再由正弦定理变形，得
结合⑴、有
即.
同理可证
三、正余弦定理的统一证明
建立如下图所示的直角坐标系，则a=0，0、b=c,0，又由任意角三角函数的定义可得：
c=bcosa,bsina，以ab、bc为邻边作平行四边形abcc′，则∠bac′=π-∠b，
∴c′acos（π-b,asinπ-b）=c′-acosb,asinb.
根据向量的运算：
=-acosb,asinb，
=-=bcosa-c,bsina,
1由=：
得
asinb=bsina,即
=.
同理可得：
∴==.
2由=b-cosa-c2+bsina2=b2+c2-2bccosa，
又||=a,
∴a2=b2+c2-2bccosa.
同理：
c2=a2+b2-2abcosc;
b2=a2+c2-2accosb.
如图5，
设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知
，
即
将1式改写为
化简得b2-a2-c2=-2accosb.
即b2=a2+c2-2accosb.4
第四篇：
余弦定理证明
余弦定理证明在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a--
bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知：
ac=ad+dc
b=sinb*c+a-cosb*c
b=sinb*c+a+cosb*c-2ac*cosb
b=sinb+cosb*c-2ac*cosb+a
b=c+a-2ac*cosb
所以，cosb=c+a-b/2ac
如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是b，0，由三角函数的定义得b点坐标是ccosa，csina.∴cb=ccosa-b，csina.现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是acos（π-c，asinπ-c）即d点坐标是-acosc，asinc,∴ad=-acosc，asinc而ad=cb∴-acosc，asinc=ccosa-b，csina∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：
a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:
mb=1/2
mc=1/2ma=√c+（a/2-ac*cosb）
=1/2√4c+a-4ac*cosb
由b=a+c-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式：
ma=1/2√
=1/2√2b+2c-a
mb=
mc=
4
ma=√c+（a/2-ac*cosb）
证毕。
第五篇：
余弦定理证明过程ma=√c+（a/2-ac*cosb）
在任意△abc中,作ad⊥bc.
宣城市物流业专题调研材料-调研报告
宣城市物流业专题调研
一、物流业发展基本情况
（一）物流业基础设施
截止2011年底，全市注册登记物流企业148户，总注册资本2亿元。
2011年全市货运总量为1.28亿吨，周转量255.47亿吨公里，并保持15.8%和14.2%的平均增长率，完成内河港口吞吐量110.5万吨，同比增长12.4%。
全市各类货运业户17100余户，其中各类道路货运企业220余户，各类货运车辆22500余辆，参与货物运输的其他运输车辆6500余辆。
近三年宣城市物流业增加值情况
单位：
亿元
年份物流业增加值服务业增加值占服务业比重（%）占GDP比重（%）增速（%）2009年30.3166.3
18.2
7.0
8.0
2010年32.9189.0
17.46.38.52011年35.6
219.4
35.65.38.3
（二）第三方物流企业发展情况
安徽婉饰琳物流有限公司，作为一家具备一级国际货运代理权的外贸进出口物流企业，已在宣城建立并发展。
中国·
茶府拟组建物流运营管理中心，目前已积聚经营信息物流和零担物流的客户300余家。
其中意向入驻的有80余家，已经入驻的30家。
（三）物流园区建设
双桥物流园于2010年10月底启动。
物流园区规划范围21.2平方公里，一期规划12.9平方公里，起步区规划4.9平方公里。
一期规划了“一核三区”，即公共服务中心和商贸服务区、生产加工服务区、农副农资产品服务区。
目前，在建和签约的项目共10个，协议总投资180亿元，累计完成固定资产投资24.6亿元。
百汇商贸物流园、中国·
茶府、农副产品批发市场等3个项目进展顺利。
其中，百汇商贸物流园，总投资20亿元，规划总面积1000亩，分三期建成。
目前一期建设已基本完工。
茶府项目，总投资16.6亿元，占地460亩，茶产品展示中心已建成，招商工作已经全面启动。
农副产品批发市场项目，总投资5.7亿元，占地330亩，总建筑面积18.7万平方米。
一期6.3万平方米农副产品交易区已封顶，计划11月份试运营。
（四）存在问题
基础设施相对落后，信息化水平较低。
一是海关、商检尚未建成。
二是直接为物流业服务的仓储、停车场、港口、火车站货运堆场等基础设施严重缺乏。
三是信息化水平低。
缺乏统一的物流公共信息平台，物流企业之间、区域之间，物流企业与一、二、三产业企业之间供销信息不畅，难以实现信息资源共享，物流运输工具空载率高，物流成本居高不下，严重影响物流企业效益水平和服务质量。
四是规划的物流园区建设除双桥物流园外，其他园区和场站建设步伐较慢。
二、当地促进物流业的做法
2010年出台的《关于加快市本级服务业发展的若干政策意见》（宣政〔2010〕76号）文件制定了物流业相关保障措施，包括土地、行政收费、税收等优惠政策，为我市现代物流业的快速发展提供了政策支撑。
三、物流业发展形势分析
虽然我市现代物流业处在起步阶段，但已具备一定的发展条件。
一是明显的区位优势。
我市是全省唯一与江苏、浙江两省交界的地级市，是长三角地区向内地产业转移的首选地。
同时，我市紧临以上海、南京、杭州、和宁波为中心的长江三角物流圈，区位优势日益显现。
二是一定的产业基础。
我市经济发展正处于一个加快发展、跨越崛起阶段。
“十二五”期间，我市将建成“三个基地（承接东部产业转移的新型加工制造业基地;
面向长三角的优质农副产品生产供应基地;
以自然生态和宣城地域文化为特色的旅游休闲度假基地）一个枢纽（皖苏浙边界地区重要的交通枢纽）”，物流业快速发展基础条件逐步具备。
三是难得的政策机遇。
国务院、省政府相继出台加快物流业发展规划和优惠的扶持政策，给我市带来难得的发展机遇和良好的政策环境。
省政府《现代物流业发展规划》将我市纳入“皖江外向型现代物流产业带”。
定位为与长三角和中西部地区相连接的区域性物流集散和分拨、配送中心，规划我市为地区性物流节点城市。
四是良好的发展环境。
市委、市政府高度重视现代物流业发展，强力推动物流园区建设，市直相关部门把推进物流业发展作为中心工作开展，企业要求加快发展现代物流的愿望较为迫切，这些都为物流业发展提供了良好的外部环境。
四、加快物流业发展的意见和建议
（一）出台专项规划和扶持政策。
对列入物流业发展规划的物流园区和重点物流业项目，要优先保障用地，并参照工业地价收取出让金，相关费用按下限收取或采取减、免、先征后奖励返还政策。
完善税收配套政策。
参照国家税务总局《关于试点物流企业有关税收政策问题的通知》，制定物流企业税收政策，建立统一的物流企业纳税体系。
对提供供应链管理、电子商务等物流服务的企业，符合相关认定条件，给予高新技术企业的认定，并享受相关优惠政策。
设立物流专项激励扶持资金，促进企业发展壮大。
（二）加强交通运输管理。
严厉打击公路“三乱”，免除物流企业不合理负担；
开辟鲜活农产品运输绿色通道，为城市配送车辆进城通行、停靠和装卸作业提供便利；
制定最低运费保护限价政策，建立物流运价参照客运业制定货运业燃料成本补贴制度。
（三）协调解决企业融资难题。
商业银行在防范资金风险的前提下，放宽物流企业贷款融资条件，降低其融资成本；
建立物流业融资担保体系,协助中小物流企业取得贷款；
推广物流金融新模式，鼓励重点物流企业特别是第三方物流企业通过发行股票、债券等方式募集资金；
对于重点物流企业在物流园区、重点项目建设方面给予投资补助、贷款贴息等方面的扶持。
（四）健全人才培养引进和保障机制。
制定物流人才培养使用规划，培育现代物流专业人才。
建立物流人才引进激励机制，积极引进包括规划编制、政策制定、教学科研、物流企业管理等方面人才。
鼓励和支持外地和本地物流人才在宣投资创业。
大力开展物流职业资格培训与认证，形成多层次的物流人才工作体系。
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