空间几何的外接球和内切球问题八个无敌模型Word格式文档下载.docx
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。
36
解：
引理：
正三棱锥的对棱互垂直。
证明如下：
如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角
形ABC的中心，SH平面ABC，SHAB，
ACBC，ADBD，CDAB，AB平面SCD，
ABSC，同理：
BCSA，ACSB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，AMMN，SB//MN，
AMSB，ACSB，SB平面SAC，
SBSA，SBSC，SBSA，BCSA，
SA平面SBC，SASC，
故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，
（2R）2（23）2（23）2（23）236，即4R236，
正三棱锥SABC外接球的表面积是36
4）在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接
球的表面积为（D）A.11B.7
5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为
C.10
40
.
6、4
3，那么它的外接球的表面积是
6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为
何体外接球的体积为
1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几
解析：
（4）在ABC中，BC2AC2AB22ABBCcos1207，
BC7，ABC的外接球直径为
2r
BC
sinBAC
727
33
222
（2R）2（2r）2SA2
，选D
5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为
a,b,c（a,b,cR），则
ab12
bc8，abc24，a3，b4，c2，（2R）2a2b2c229，S4R229，
ac6
（6）（2R）2
2a
b2c23，R2
3，
R3
4
43
3
VR
，
8
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：
如图5，PA平面ABC
解题步骤：
第一步：
将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；
第二步：
O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC，算出小圆O1的半
径O1Dr（三角形的外接圆直径算法：
利用正弦定理，得
abc
sinAsinBsinC
2r）
OO11PA；
第三步：
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①
（2R）2PA2（2r）22RPA2（2r）2；
②R2r2OO12Rr2OO12
2．题设：
如图6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点
P
O
C
A
D
B
图6
图8
O1
（）C
B．2
图9-1
图9-2
ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；
确定球心O的位置，取
先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；
勾股定理：
OA2O1A2O1O2R2（hR）2r2，解出R
R2,S4R21633
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
图9-3
图9-4
图8-3
图7-1
图7-2
图8-1
图8-2
方法
小圆直径参与构造大圆。
选C，（3R）21R2,323RR21R2,
423R0,
例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为
C．16D．以上都不对
1．题设：
如图9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）第一步：
易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r；
第二步：
在PAC中，可根据正弦定理abc2R，求出R
sinAsinBsinC
2．如图9-2，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）
OC2O1C2O1O2R2r2O1O2AC2R2O1O2
3．如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是
圆锥的顶点
确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；
第三步：
4．如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且PAAC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①（2R）2PA2（2r）22RPA2（2r）2；
例3
（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为。
（2）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：
（1）由正弦定理或找球心都可得2R7，S4R249，
4
（2）方法一：
找球心的位置，易知r1，h1，hr，故球心在正方形的中心ABCD处，R1，V
3方法二：
大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，
2R2，R1，V
3）在三棱锥PABC中，PAPBPC3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外
接球的体积为（
）
C.4D.
A．B.
选D，圆锥A,B,C
在以r
3的圆上，R1
4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球径,且SC2，则此棱锥的体积为（）
O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直A
例4
（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
9
且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为
R1，球的体积为V
2）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，
若ABACAA12,BAC120，则此
16
球的表面积等于
BC23，2r234，r2，R5，S20
sin120
3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，
EAEB3,AD2,AEB60，则多面体EABCD的外接球的表面积为
折叠型，法一：
EAB的外接圆半径为r13，OO11，
R132；
法二：
O1M3，r2O2D13，R23134，R2，S16
2244
（4）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4,AC6,A,AA14则直三棱柱ABCA1B1C1的外接球
1113111的表面积为。
160
BC16362461228，BC27，2r237437，r237，
R2r2（AA1）228440，S160
2333
类型五、折叠模型
题设：
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）
先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H2；
过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC；
解OEH1，算出OH1，在RtOCH1中，勾股定理：
OH12CH12OC2
例5三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥PABC外接球的半径为.
R2AO2AH2O1H2O1O25，R15
1133
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ABCD，ADBC，ACBD）第一步：
画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
设出长方体的长宽高分别为
a,b,c，ADBCx，ABCDy，ACBDz，列方程组，
13
三棱锥的体积为V1Sh3
34
面积为
29
设长宽高分别为a,b,c，则a2b29，
如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，
b2c24，c2a2162（a2b2c2）941629，2（a2b2c2）941629，
2929，S
22
1
OP,OC，则OAOBOCOPAB，O为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中求出2
半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定
值。
则四面体ABCD的外接球的体积为（）
125125125125
A．B．C．D．
12963
（1）2RAC5，R5，V4R34125125，选C
23386
2）在矩形ABCD中，AB2，BC3，沿BD将矩形ABCD折叠，
连接AC，所得三棱锥
ABCD
的外接球的表面积为
（2）BD的中点是球心O，2RBD13，S4R213；
类型八、锥体的内切球问题
如图14，三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。
先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；
求DHBD，POPHr，PD是侧面ABP的高；
如图15，四棱锥PABC上正四棱锥，求其外接球的半径
先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；
求FHBC，POPHr，PF是侧面PCD的高；
由POG相似于PFH，建立等式：
OGPO，解出
HFPF
3．题设：
三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径
等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
设内切球的半径为r，建立等式：
VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBC
111
SABCrSPABrSPAC
3ABC3PAB3PAC
3（SABCSPABSPACSPBC）r
解出r
习题：
1．若三棱锥
A.3
【A】（2R）2416166，R3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2．三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，
32
SABC的三条侧棱两两垂直，且SA2，SBSC4，则该三棱锥的外接球半径为（）B.6C.36D.9
SA23，则该三
棱锥的外接球体积等于
3224解析：
2r2，（2R）241216，R24，R2，外接球体积
sin603【外心法（加中垂线）找球心；
正弦定理求球小圆半径】3．正三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于.
6．三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC，ABBC，则三棱锥PABC外接球的半径为.
AC是公共的斜边，AC的中点是球心O，球半径为R1
3VPABC
SOABC*SOPABSOPACSOPBC
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