三年级奥数暑假复习讲义教师版.docx

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三年级奥数暑假复习讲义教师版

三年级奥数暑假复习讲义

【课程说明】

由于培优大纲顺序和本课程顺序不同，所以在学习此课程时，有些讲次安排打乱了，重新排序不会影响知识点的学习。

【课程目标】

提升兴趣

※激发学生学习的主动性，乐于思考，乐于学习

培养习惯

※传授给学生正确的数学学习习惯，解题习惯

收获成绩

※通过正确的引导帮助孩子提高成绩，积累成就感和自信心

第一讲高斯求和

第二讲找简单数列的规律

第三讲上楼梯问题

第四讲植树与方阵问题

第五讲归一问题

第六讲平均数问题

第七讲和倍问题

第八讲差倍问题

第九讲和差问题

第十讲年龄问题

第十一讲鸡兔同笼问题

第十二讲盈亏问题

第十三讲巧求周长

第一讲高斯求和

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

　　1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

　　老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？

原来小高斯通过细心观察发现：

　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

　　1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为

　（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：

（1）1，2，3，4，5，…，100；

（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。

　　其中

（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；

（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和=（首项+末项）×项数÷2。

例11＋2＋3＋…＋1999＝？

分析与解：

这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得

原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

　　注意：

利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例211＋12＋13＋…＋31＝？

分析与解：

这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

根据首项、末项、公差的关系，可以得到

项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）。

例3、3＋7＋11＋…＋99＝？

分析与解：

3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，

项数=（99－3）÷4＋1＝25，

原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

解：

末项=25＋3×（40-1）＝142，

和=（25＋142）×40÷2＝3340。

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。

例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。

问：

（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？

（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

分析：

最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：

由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。

解：

（1）最大三角形面积为

　（1＋3＋5＋…＋15）×12

＝［（1＋15）×8÷2］×12

＝768（厘米2）。

　2）火柴棍的数目为

　　3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

答：

最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。

例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。

这时盒子里共有多少只乒乓球？

分析与解：

一只球变成3只球，实际上多了2只球。

第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。

因此拿了十次后，多了

　2×1＋2×2＋…＋2×10

＝2×（1＋2＋…＋10）

＝2×55＝110（只）。

　　加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

　　综合列式为：

（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3

＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

 练习3

　　1.计算下列各题：

（1）2＋4＋6＋…＋200；

（2）17＋19＋21＋…＋39；

（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。

2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。

问：

时钟一昼夜敲打多少次？

5.求100以内除以3余2的所有数的和。

6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？

练习

　　1.

（1）10100；

（2）336；（3）440；（4）780。

　　2.1127。

提示：

项数=（93-5）÷4+1=23。

　　3.2565。

提示：

末项=13+5×（30-1）=158。

　　4.180次。

解：

（1+2+…+12）×2+24=180（次）。

　　5.1650。

解：

2+5+8+…+98=1650。

　　6.45个。

提示：

十位数为1，2，…，9的分别有1，2，…，9个。

第二讲找简单数列的规律

　这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。

　　按一定次序排列的一列数就叫数列。

例如，

（1）1，2，3，4，5，6，…

（2）1，2，4，8，16，32；

（3）1，0，0，1，0，0，1，…

（4）1，1，2，3，5，8，13。

　　一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。

如，数列

（1）的第3项是3，数列

（2）的第3项是4。

一般地，我们将数列的第n项记作an。

　　数列中的数可以是有限多个，如数列

（2）（4），也可以是无限多个，如数列

（1）（3）。

　　许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。

　　数列

（1）是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：

后项=前项+1，或第n项an＝n。

　　数列

（2）的规律是：

后项=前项×2，或第n项

　　数列（3）的规律是：

“1，0，0”周而复始地出现。

　　数列（4）的规律是：

从第三项起，每项等于它前面两项的和，即

　　a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，

　　a6=3+5=8，a7=5+8=13。

　　常见的较简单的数列规律有这样几类：

　　第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。

例如数列

（1）

（2）。

　　第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。

例如数列（3）（4）。

　　第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。

这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。

例1找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：

（1）4，7，10，13，（），…

（2）84，72，60，（），（）；

（3）2，6，18，（），（），…

（4）625，125，25，（），（）；

（5）1，4，9，16，（），…

（6）2，6，12，20，（），（），…

解：

通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现

（1）的规律是：

前项+3=后项。

所以应填16。

（2）的规律是：

前项-12=后项。

所以应填48，36。

（3）的规律是：

前项×3=后项。

所以应填54，162。

（4）的规律是：

前项÷5=后项。

所以应填5，1。

（5）的规律是：

数列各项依次为

　　1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，

　　所以应填5×5=25。

（6）的规律是：

数列各项依次为

　　2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，

　　所以，应填5×6=30，6×7=42。

　　说明：

本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an可以用n来表示。

各数列的第n项分别可以表示为

（1）an＝3n+1；

（2）an＝96-12n；

（3）an＝2×3n-1；（4）an＝55-n；（5）an＝n2；（6）an＝n（n+1）。

　　这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列

（1）的第100项等于3×100+1=301。

本例中，数列

（2）（4）只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。

例2找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：

（1）1，2，2，3，3，4，（），（）；

（2）（），（），10，5，12，6，14，7；

（3）3，7，10，17，27，（）；

（4）1，2，2，4，8，32，（）。

解：

通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。

（1）把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：

前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。

（2）把后面已知的六个数分成三组：

10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。

（3）这个数列的规律是：

前面两项的和等于后面一项，故应填（17+27=）44。

（4）这个数列的规律是：

前面两项的乘积等于后面一项，故应填（8×32=）256。

例3找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：

（1）18，20，24，30，（）；

（2）11，12，14，18，26，（）；

（3）2，5，11，23，47，（），（）。

解：

（1）因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明（后项-前项）组成一新数列2，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故

　　a5=8+30=38。

（2）12-11=1，14-12=2，18-14=4，26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，…按此规律，8后面为16。

因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。

（3）观察数列前、后项的关系，后项=前项×2+1，所以

　　a6=2a5+1＝2×47+1＝95，

　　a7＝2a6+1＝2×95+1=191。

例4找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：

（1）12，15，17，30，22，45，（），（）；

（2）2，8，5，6，8，4，（），（）。

解：

（1）数列的第1，3，5，…项组成一个新数列12，17，22，…其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；数列的第2，4，6，…项组成一个新数列15，30，45，…其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。

故应填27，60。

（2）如

（1）分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，…中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4，…中，4后面的数应为2。

故应填11，2。

 练习5

　1、按其规律在下列各数列的（）内填数。

　　1.56，49，42，35，（）。

　　2.11，15，19，23，（），…

　　3.3，6，12，24，（）。

　　4.2，3，5，9，17，（），…

　　5.1，3，4，7，11，（）。

　　6.1，3，7，13，21，（）。

　　7.3，5，3，10，3，15，（），（）。

　　8.8，3，9，4，10，5，（），（）。

　　9.2，5，10，17，26，（）。

　　10.15，21，18，19，21，17，（），（）。

　　11.数列1，3，5，7，11，13，15，17。

（1）如果其中缺少一个数，那么这个数是几？

应补在何处？

（2）如果其中多了一个数，那么这个数是几？

为什么？

答案与提示 

练习

　　1.28。

　　2.27。

　　3.48。

　　4.33。

提示：

“后项-前项”依次为1，2，4，8，16，…

　　5.18。

提示：

后项等于前两项之和。

　　6.31。

提示：

“后项-前项”依次为2，4，6，8，10。

　　7.3，20。

　　8.11，6。

　　9.37。

提示：

an=n2+1。

　　10.24，15。

提示：

奇数项为15，18，21，24；偶数项为21，19，17，15。

　　11.

（1）缺9，在7与11之间；

（2）多15，因为除15以外都不是合数。

2、观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.

　　①2，5，8，11，（），17，20。

　　②19，17，15，13，（），9，7。

　　③1，3，9，27，（），243。

　　④64，32，16，8，（），2。

　　⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…

　　⑥1，3，4，7，11，18，（），47…

　　⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.

　　⑧1，2，6，24，120，（），5040。

　　⑨1，1，3，7，13，（），31。

　　⑩1，3，7，15，31，（），127，255。

　　（11）1，4，9，16，25，（），49，64。

　　（12）0，3，8，15，24，（），48，63。

　　（13）1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.

　　（14）2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.

分析与解答

　　①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：

11＋3=14。

　　②同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：

13—2=11。

　　不妨把①与②联系起来继续观察，容易看出：

数列①中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列①是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：

即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这样的数列，称为等差数列.

　　③1，3，9，27，（），243。

　　此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：

3=1×3，9=3×3，27=9×3.因此，括号中应填81，即81=27×3，代入后，243也符合规律，即243＝81×3。

　　④64，32，16，8，（），2

　　与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即：

　　因此，括号中填4，代入后符合规律。

　　综合③④考虑，数列③是递增的数列，数列④是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：

每列数中，相邻两项的商都相等.像③④这样的数列，我们把它称为等比数列。

　　⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…

　　首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括号中应填的数是13，即13=5+8，21=8+13，34=13+21。

　　这个以1，1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：

如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列⑤的原型，因此，数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。

　　⑥1，3，4，7，11，18，（），47…

　　在学习了数列⑤的前提下，数列⑥的规律就显而易见了，从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29，即29=11＋18。

　　数列⑥不同于数列⑤的原因是：

数列⑥的第2项为3，而数列⑤为1，数列⑥称为鲁卡斯数列。

　　⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）。

　　方法1：

继续考察相邻项之间的关系，可以发现：

　　因此，可以猜想，这个数列的规律为：

每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第9项为45，即45＝36＋9.代入验算，正确。

　　方法2：

其实，这一列数有如下的规律：

　　第1项：

1=1

　　第2项：

3=1＋2

　　第3项：

6=1+2+3

　　第4项：

10=1+2+3+4

　　第5项：

（）

　　第6项：

21=1+2+3+4+5+6

　　第7项：

28=1+2+3+4+5+6+7

　　第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8

　　第9项：

（）

　　即这个数列的规律是：

每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，

　　第五项为15，即：

15=1+2+3+4+5；

　　第九项为45，即：

45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。

　　⑧1，2，6，24，120，（），5040。

　　方法1：

这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：

　　所以，这个数列的规律是：

除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即720=120×6。

　　方法2：

受⑦的影响，可以考虑连续自然数，显然：

　　第1项1=1

　　第2项2=1×2

　　第3项6=1×2×3

　　第4项24=1×2×3×4

　　第5项120=1×2×3×4×5

　　第6项（）

　　第7项5040=1×2×3×4×5×6×7

　　所以，第6项应为1×2×3×4×5×6=720

　　⑨1，1，3，7，13，（），31

　　与⑦类似：

　　可以猜想，数列⑨的规律是该项=前项+2×（项数-2）（第1项除外），那么，括号中应填21，代入验证，符合规律。

　　⑩1，3，7，15，31，（），127，255。

　　则：

　　因此，括号中的数应填为63。

　　小结：

寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：

①寻找各项与项数间的关系；②考虑相邻项之间的关系.然后，再归纳总结出一般的规律。

　　事实上，数列⑦或数列⑧的两种方法，就是分别从以上两个不同的角度来考虑问题的.但有时候，从两个角度的综合考虑会更有利于问题的解决.因此，仔细观察，认真思考，选择适当的方法，会使我们的学习更上一层楼。

　　在⑩题中，1=2-1

　　3=22-1

　　7=23-1

　　15=24-1

　　31=25-1

　　127=27-1

　　255=28-1

　　所以，括号中为26-1即63。

　　（11）1，4，9，16，25，（），49，64.

　　1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，49=7×7，64=8×8，即每项都等于自身项数与项数的乘积，所以括号中的数是36。

　　本题各项只与项数有关，如果从相邻项关系来考虑问题，势必要走弯路。

　　（12）0，3，8，15，24，（），48，63。

　　仔细观察，发现数列（12）的每一项加上1正好等于数列（11），因此，本数列的规律是项=项数×项数-1.所以，括号中填35，即35=6×6-1。

　　（13）1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）。

　　前面的方法均不适用于这个数列，在观察的过程中，可以发现，本数列中的某些数是很有规律的，如1，2，3，4，5，而它们恰好是第1项、第3项、第5项、第7项和第9项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下：

　　奇数项：

1，2，3，4，5

　　偶数项：

2，4，8，16可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列.因此，括号中的数，即第10项应为32（32=16×2）。

　　（14）2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）。

　　同上考虑，把数列分为奇、偶项：

　　偶数项：

2，4，6，8，10

　　奇数项：

1，3，9，27，（）.所以，偶数项为等差数列，奇数项为等比数列，括号中应填81（81=27×3）。

　　像（13）（14）这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列。

3、按一定的规律在括号中填上适当的数：

　　1.1，2，3，4，5，（），7…

　　2.100，95，90，85，80，（），70

　　3.1，2，4，8，16，（），64

　　5.2，1，3，4，7，（），18，29，47

　　6.1，2，5，10，17，（），37，50

　　7.1，8，27，64，125，（），343

　　8.1，9，2，8，3，（），4，6，5，5

第三讲上楼梯问题

有这样一道题目：

如果每上一层楼梯需要1分钟，那么从一层上到四层需要多少分钟？

如果你的答案是4分钟，那么你就错了.正确的答案应该是3分钟。

　　为什么是3分钟而不是4分钟呢？

原来从一层上到四层，只要上三层楼梯，而不是四层楼梯。

　　下面我们来看几个类似的问题。

　　例1裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？

　　分析如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3个2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天，……

　　我们可以从中发现规律：

所用的天数比2米的个数少1.因此，只要看16米里有几个2米，问题就可以解决了。

　　解：

16米中包含2米的个数：

16÷2=8（个）

　　剪去最后一段所用的天数：

8-1=7（天）

　　答：

第七天就可以剪去最后一段。

　　例2一根木料在24秒内被切成了4段，用同样的速度切成5段，需要多少秒？

　　可以从中发现规律：

切的次数总比切的段数少1.因此，在24秒内切了4段，实际只切了3次，这样我们就可以求出切一次所用的时间了，又由于用同样的速度切成5段；实际上切了4次，这样切成5段所用的时间就可以求出来了。

　　解：

切一次所用的时间：

24÷（4-1）=8（秒）

　　切5段所用的时间：

8×（5-1）=32（秒）

　　答：

用同样的速度切成5段，要用32秒。

　　例3三年级同学120人排成4路纵队，也就是4个