哈尔滨工程大学随机过程课后答案文档格式.doc
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三、例1.4.2与例1.5.5的融合
四、定理2.5.3—P76
五、习题0.8
六、例3.2.2
2010
一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达式，间接说明老师给出证法不够合理）
二、例1.2.1
三、例2.1.4
四、例2.2.2
五、习题2.6
六、习题3.3
引理1.3.1解法纠正
许瓦兹不等式
证明：
例1.4.2解法详解
已知随机过程的均值为零，相关函数为为常数。
求其积分过程的均值函数和相关函数。
解：
不妨设
同理当时
（此处书上印刷有误）
例1.5.5解法同上
例1.5.6解法详解
普松过程公式推导：
例2.1.2解法详解
设为零均值正交增量过程且，
令，
试证明为平稳过程。
同理可解出其他情况，整理得：
例2.1.3印刷有误
例2.2.2解法详解
设为平稳正态过程，，且为已知，求作用于平方滤波器时，输出过程的统计性质。
例2.2.3解法详解
例2.3.1解法纠正
此处老师解释为常值函数默认为
例2.3.1，例2.3.2解法详解
，
为狄拉克函数，为而产生
定理2.5.1印刷有误，解法详解
定理2.5.2解法详解
为平稳随机过程，
以下步骤同定理2.5.1
定理2.5.3印刷有误
多处连续错误，可直接覆盖
充分性：
将（2.5.18）式展开，有
定理2.5.4解法详解
即证
剩余步骤同定理2.5.3充分性证明。
定理2.5.5解法详解
记为平稳随机序列，，中心相关函数为，
记进一步
假设为平稳随机序列，
记
则成立的充要条件是
必要性：
“”：
印刷出错
（3.2.4）
（3.2.5）
（3.2.21）
（3.4.39）
例3.2.3解法详解
书后习题
概率论（第0章）：
1.设随机变量的联合密度函数为
试证两两独立，但不相互独立。
两两独立；
不相互独立。
2.设服从普松分布，参数为，
试求（Ⅰ）（Ⅱ）的分布。
（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
。
3.设为相互独立且均服从正态分布的随机变量，试求的分布密度函数。
为相互独立
服从柯西分布。
4.设为相互独立且均服从正态分布的随机变量，试证与相互独立。
设，，
解得，
5.设随机变量X分布函数为
试求特征函数试求特征函数。
6.如果随机变量的密度函数为
，试求特征函数。
7.设有如下特征函数：
试求分布密度函数。
1）
2）
3）
8.设随机变量均服从柯西分布，其密度函数为
，，且，，，试证对特征函数有，但并不独立。
对，
并不独立。
9.设是上的连续、单调上升函数，且，，试证的充要条件是，其中为随机变量序列。
设
对使，由于，对于该，必，当时有，
对，必，当时有
10.设为独立随机变量序列，密度函数为
试问是否服从强大数定理。
服从强大数定理；
服从强大数定理。
11.设为独立随机变量序列且，试证服从大数定律但不服从强大数定律。
大数定律：
对，必，使，必使，于是当时，
服从大数定律；
强大数定律：
不服从强大数定律。
12.设为随机变量序列且方差有界，即，如果相关系数满足，，试证明服从大数定理。
对第二项，当项数不超过，由于，，
对第三项，当项数不超过，由于，，
服从大数定理。
13.设为正态分布函数列，并且收敛于分布函数，试证是正态分布函数。
即证和存在
连续且，必使，，
所以存在且；
取积分线路为，，且在积分路径上有，故，
所以存在且。
14.取，为中所有波雷尔点集所构成的代数，为勒贝格测度，则为一概率空间，令
一般地，把分成个等长区间，令
现定义
则为随机变量序列，
试证依概率收敛于零但不几乎处处收敛于零。
当有，；
对，必使，
即，
不几乎处处收敛于零。
15.对于14题中所叙述的随机变量序列试证虽然不成立但却有。
当有，
不成立。
第一章：
1.设为普松过程，，试求有限维分布函数族。
设，
因为普松过程是马尔科夫过程，
2.设为随机过程，，其中为随机变量且分布函数为已知，求有限维分布函数族。
3.设为二阶矩过程，试证自相关函数在任意处连续等价于在任意处连续。
充分性显然；
在连续，
必要性得证。
4.设二阶矩过程的均值函数为零，相关函数为为常数，试分析均方意义下的连续性，可积性和可微性。
均方连续；
为二阶矩过程，均方可积；
均方可微。
5.设为正态随机过程且，
试证对任意，有
备注：
（1）
参见O211.6-42/L80，P7
（2）
参见O211.6-44/Z85-2，P100
详细步骤参见：
O211.6-42/L80，P17
O211.6-44/Z85-2，P114
6.随机过程的切比雪夫不等式。
设为实值均方可微随机过程，
记，。
试证：
（Ⅲ）
（Ⅳ）
（Ⅴ）于是，随机过程的切比雪夫不等式为：
同理：
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
（Ⅳ）由（Ⅲ）得：
（Ⅴ）由（Ⅰ）、（Ⅳ）得：
7.试证明普松过程均方连续，均方可积，但不均方可微。
对的分析就等同于对的分析。
均方可积；
不均方可微。
8.设为一阶滑动合序列，
，其中
是相互独立服从正态分布的随机变量序列为常数，试问该过程是否为正态过程，平稳过程，马尔科夫过程及独立增量过程？
，为的线性组合；
为正态过程；
，为常数；
且，只与时间差有关；
为平稳过程；
，只与最近时刻有关；
为马尔科夫过程；
不为独立增量过程。
9.设为随机过程的自相关函数，试证也是自相关函数，其中为任意实数。
为的自相关函数。
10.设为正态随机变量序列，它均方收敛于随机变量，试证是正态随机变量。
，；
是正态随机变量。
11.设为正态随机过程，且及存在，试证及也是随机过程。
正态过程的线性组合为正态过程
为的线性组合
是随机过程；
是随机过程。
12.设为平稳随机过程，且自相关函数及二维密度函数均为已知。
（Ⅰ）试证
（Ⅱ）求出
（Ⅰ）证明：
由切比雪夫不等式
则，
（Ⅱ）解：
13.设为随机过程，对任意其一维分布密度函数为正态分布，现规定，试求函数使得在上具有均匀分布。
参见O211.6-44/Z85-2，P68
14.设是具有密度的随机变量，现构成如下微分方程：
，，试求其解过程的均值函数，相关函数及的一维密度函数。
15.设是独立同分布随机变量序列且，，又设为实数列，且，试证明必均方收敛。
，即均方收敛。
第二章：
1.判断下列函数能否成为平稳随机过程的自相关函数，若是的话，进一步判断所对应的平稳过程是否均方连续？
均方可积？
均方可微？
平稳随机过程的自相关函数性质：
图见下页，结果自理。
2.设为均方连续平稳过程，，相关函数与功率谱密度函数均为已知，取实常数，定义，试证明为均方连续平稳过程，并求，。
均值为常数；
相关函数只与有关；
为均方连续平稳过程。
3.设和是平稳且平稳相依的随机过程，均为已知。
试求一阶预报中的值，及二阶预报中的及值，以使用目标函数为最小，其中为常数。
4.设为正态过程，且，则它是平稳马尔科夫过程的充要条件是：
，其中是标准中心自相关函数。
平稳马尔科夫过程性质：
老师未给出出处，知道就好。
“”
该过程必平稳；
该过程是平稳马尔科夫过程。
5.设为正态过程，且，则它是均方连续的平稳马尔科夫过程的充要条件是自相关函数满足。
连续，
6.设为零均值次均方可微的平稳过程，试证对任意，阶导数过程仍为平均过程。
的阶导数过程仍为平均过程。
7.设为实平稳过程，，其功率谱密度函数为连续函数，试证对任意正整数及任意，矩阵是正定的。
矩阵是正定的。
8.设为实平稳过程，其功率谱密度函数为已知且假定导数过程存在，试证明：
均为平稳过程，并求功率谱密度函数，其中为单位阶跃函数。
卷积公式：
9.设为零均值白噪声过程，记
（Ⅰ）解：
（Ⅱ）证明：
（Ⅲ）证明：
10.设为平稳随机过程，试证明在任意处可作台劳展开：
的充要条件是其自相关函数在处可作台劳展开：
11.设平稳过程的功率谱密度函数为试证必为解析过程，即对任意有
第三章
1.设单输入、单输出线性系统的传递函数为，单位脉冲响应函数为即，系统输入量为零均值实平稳过程且自相关函数为已知，试证明：
3.系统如图所示
其中，，设系统输入是零均值白噪声且，试求系统输出的均方误差。
4.设为零均值实平稳过程，其功率谱密度函数为，为其希尔伯特变换，令，试求平稳过程的自相关函数及功率谱密度函数。
由公式（3.4.13）得
由公式（3.4.38）前段落内公式得
由公式（3.4.28）得
由公式（3.4.29）得
5.系统如图所示
其中为单位脉冲列，在内为个单位脉冲的概率为，（通常称之为普松脉冲列），开关以相等时间间隔交替关断工作，系统单位脉冲响应为，试求当开始关、断
工作时，输出的均值函数。
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