哈尔滨工程大学随机过程课后答案文档格式.doc
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三、例1.4.2与例1.5.5的融合
四、定理2.5.3—P76
五、习题0.8
六、例3.2.2
2010
一、习题0.4(附加条件给出两个新随机变量表达式,间接说明老师给出证法不够合理)
二、例1.2.1
三、例2.1.4
四、例2.2.2
五、习题2.6
六、习题3.3
引理1.3.1解法纠正
许瓦兹不等式
证明:
例1.4.2解法详解
已知随机过程的均值为零,相关函数为为常数。
求其积分过程的均值函数和相关函数。
解:
不妨设
同理当时
(此处书上印刷有误)
例1.5.5解法同上
例1.5.6解法详解
普松过程公式推导:
例2.1.2解法详解
设为零均值正交增量过程且,
令,
试证明为平稳过程。
同理可解出其他情况,整理得:
例2.1.3印刷有误
例2.2.2解法详解
设为平稳正态过程,,且为已知,求作用于平方滤波器时,输出过程的统计性质。
例2.2.3解法详解
例2.3.1解法纠正
此处老师解释为常值函数默认为
例2.3.1,例2.3.2解法详解
,
为狄拉克函数,为而产生
定理2.5.1印刷有误,解法详解
定理2.5.2解法详解
为平稳随机过程,
以下步骤同定理2.5.1
定理2.5.3印刷有误
多处连续错误,可直接覆盖
充分性:
将(2.5.18)式展开,有
定理2.5.4解法详解
即证
剩余步骤同定理2.5.3充分性证明。
定理2.5.5解法详解
记为平稳随机序列,,中心相关函数为,
记进一步
假设为平稳随机序列,
记
则成立的充要条件是
必要性:
“”:
印刷出错
(3.2.4)
(3.2.5)
(3.2.21)
(3.4.39)
例3.2.3解法详解
书后习题
概率论(第0章):
1.设随机变量的联合密度函数为
试证两两独立,但不相互独立。
两两独立;
不相互独立。
2.设服从普松分布,参数为,
试求(Ⅰ)(Ⅱ)的分布。
(Ⅰ)
;
(Ⅱ)
。
3.设为相互独立且均服从正态分布的随机变量,试求的分布密度函数。
为相互独立
服从柯西分布。
4.设为相互独立且均服从正态分布的随机变量,试证与相互独立。
设,,
解得,
5.设随机变量X分布函数为
试求特征函数试求特征函数。
6.如果随机变量的密度函数为
,试求特征函数。
7.设有如下特征函数:
试求分布密度函数。
1)
2)
3)
8.设随机变量均服从柯西分布,其密度函数为
,,且,,,试证对特征函数有,但并不独立。
对,
并不独立。
9.设是上的连续、单调上升函数,且,,试证的充要条件是,其中为随机变量序列。
设
对使,由于,对于该,必,当时有,
对,必,当时有
10.设为独立随机变量序列,密度函数为
试问是否服从强大数定理。
服从强大数定理;
服从强大数定理。
11.设为独立随机变量序列且,试证服从大数定律但不服从强大数定律。
大数定律:
对,必,使,必使,于是当时,
服从大数定律;
强大数定律:
不服从强大数定律。
12.设为随机变量序列且方差有界,即,如果相关系数满足,,试证明服从大数定理。
对第二项,当项数不超过,由于,,
对第三项,当项数不超过,由于,,
服从大数定理。
13.设为正态分布函数列,并且收敛于分布函数,试证是正态分布函数。
即证和存在
连续且,必使,,
所以存在且;
取积分线路为,,且在积分路径上有,故,
所以存在且。
14.取,为中所有波雷尔点集所构成的代数,为勒贝格测度,则为一概率空间,令
一般地,把分成个等长区间,令
现定义
则为随机变量序列,
试证依概率收敛于零但不几乎处处收敛于零。
当有,;
对,必使,
即,
不几乎处处收敛于零。
15.对于14题中所叙述的随机变量序列试证虽然不成立但却有。
当有,
不成立。
第一章:
1.设为普松过程,,试求有限维分布函数族。
设,
因为普松过程是马尔科夫过程,
2.设为随机过程,,其中为随机变量且分布函数为已知,求有限维分布函数族。
3.设为二阶矩过程,试证自相关函数在任意处连续等价于在任意处连续。
充分性显然;
在连续,
必要性得证。
4.设二阶矩过程的均值函数为零,相关函数为为常数,试分析均方意义下的连续性,可积性和可微性。
均方连续;
为二阶矩过程,均方可积;
均方可微。
5.设为正态随机过程且,
试证对任意,有
备注:
(1)
参见O211.6-42/L80,P7
(2)
参见O211.6-44/Z85-2,P100
详细步骤参见:
O211.6-42/L80,P17
O211.6-44/Z85-2,P114
6.随机过程的切比雪夫不等式。
设为实值均方可微随机过程,
记,。
试证:
(Ⅲ)
(Ⅳ)
(Ⅴ)于是,随机过程的切比雪夫不等式为:
同理:
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:
(Ⅳ)由(Ⅲ)得:
(Ⅴ)由(Ⅰ)、(Ⅳ)得:
7.试证明普松过程均方连续,均方可积,但不均方可微。
对的分析就等同于对的分析。
均方可积;
不均方可微。
8.设为一阶滑动合序列,
,其中
是相互独立服从正态分布的随机变量序列为常数,试问该过程是否为正态过程,平稳过程,马尔科夫过程及独立增量过程?
,为的线性组合;
为正态过程;
,为常数;
且,只与时间差有关;
为平稳过程;
,只与最近时刻有关;
为马尔科夫过程;
不为独立增量过程。
9.设为随机过程的自相关函数,试证也是自相关函数,其中为任意实数。
为的自相关函数。
10.设为正态随机变量序列,它均方收敛于随机变量,试证是正态随机变量。
,;
是正态随机变量。
11.设为正态随机过程,且及存在,试证及也是随机过程。
正态过程的线性组合为正态过程
为的线性组合
是随机过程;
是随机过程。
12.设为平稳随机过程,且自相关函数及二维密度函数均为已知。
(Ⅰ)试证
(Ⅱ)求出
(Ⅰ)证明:
由切比雪夫不等式
则,
(Ⅱ)解:
13.设为随机过程,对任意其一维分布密度函数为正态分布,现规定,试求函数使得在上具有均匀分布。
参见O211.6-44/Z85-2,P68
14.设是具有密度的随机变量,现构成如下微分方程:
,,试求其解过程的均值函数,相关函数及的一维密度函数。
15.设是独立同分布随机变量序列且,,又设为实数列,且,试证明必均方收敛。
,即均方收敛。
第二章:
1.判断下列函数能否成为平稳随机过程的自相关函数,若是的话,进一步判断所对应的平稳过程是否均方连续?
均方可积?
均方可微?
平稳随机过程的自相关函数性质:
图见下页,结果自理。
2.设为均方连续平稳过程,,相关函数与功率谱密度函数均为已知,取实常数,定义,试证明为均方连续平稳过程,并求,。
均值为常数;
相关函数只与有关;
为均方连续平稳过程。
3.设和是平稳且平稳相依的随机过程,均为已知。
试求一阶预报中的值,及二阶预报中的及值,以使用目标函数为最小,其中为常数。
4.设为正态过程,且,则它是平稳马尔科夫过程的充要条件是:
,其中是标准中心自相关函数。
平稳马尔科夫过程性质:
老师未给出出处,知道就好。
“”
该过程必平稳;
该过程是平稳马尔科夫过程。
5.设为正态过程,且,则它是均方连续的平稳马尔科夫过程的充要条件是自相关函数满足。
连续,
6.设为零均值次均方可微的平稳过程,试证对任意,阶导数过程仍为平均过程。
的阶导数过程仍为平均过程。
7.设为实平稳过程,,其功率谱密度函数为连续函数,试证对任意正整数及任意,矩阵是正定的。
矩阵是正定的。
8.设为实平稳过程,其功率谱密度函数为已知且假定导数过程存在,试证明:
均为平稳过程,并求功率谱密度函数,其中为单位阶跃函数。
卷积公式:
9.设为零均值白噪声过程,记
(Ⅰ)解:
(Ⅱ)证明:
(Ⅲ)证明:
10.设为平稳随机过程,试证明在任意处可作台劳展开:
的充要条件是其自相关函数在处可作台劳展开:
11.设平稳过程的功率谱密度函数为试证必为解析过程,即对任意有
第三章
1.设单输入、单输出线性系统的传递函数为,单位脉冲响应函数为即,系统输入量为零均值实平稳过程且自相关函数为已知,试证明:
3.系统如图所示
其中,,设系统输入是零均值白噪声且,试求系统输出的均方误差。
4.设为零均值实平稳过程,其功率谱密度函数为,为其希尔伯特变换,令,试求平稳过程的自相关函数及功率谱密度函数。
由公式(3.4.13)得
由公式(3.4.38)前段落内公式得
由公式(3.4.28)得
由公式(3.4.29)得
5.系统如图所示
其中为单位脉冲列,在内为个单位脉冲的概率为,(通常称之为普松脉冲列),开关以相等时间间隔交替关断工作,系统单位脉冲响应为,试求当开始关、断
工作时,输出的均值函数。